1、整理課件一、方向場一、方向場 積分曲線積分曲線 設設(1)(1)中右端的函數中右端的函數),(yxf在區域在區域D內內有定義，那么過有定義，那么過D內每一點內每一點),(yxM作一條以作一條以),(yxf為斜率的直線，并把向量為斜率的直線，并把向量 ),(, 1),(yxfyx 所指的方向定義為直線的方向所指的方向定義為直線的方向. .這樣，對于這樣，對于D內內每一點每一點),(yx, ,方方程程( (1 1) )都都確確定定一一個個方方向向與與之之對對應應，于于是是我我們們說說方方程程( (1 1) )在在D內內確確定定了了一一個個方方向向場場)1(),(yxfy 一一階階微微分分方方程程定

2、義定義1整理課件 過過D內內任任一一點點),(yxM,做做一一個個以以M為為起起點點長長度度等等于于 的的向向量量),(, 1),(1),(20yxfyxfyx 如如圖圖所所示示,可可形形象象地地表表示示方方向向場場.xoy整理課件定義定義2等斜線的方程為等斜線的方程為.),(Cyxf 在這條等斜線上的各點處在這條等斜線上的各點處, 1120CC 方方向向場場中中具具有有同同一一方方向向)(Cy 的的點點的的軌軌跡跡叫叫做做方方程程( (1 1) )的的等等斜斜線線方向場畫法方向場畫法 適當畫出若干條等斜線適當畫出若干條等斜線,再在每條再在每條等斜線上適當選取若干個點畫出對應的向量等斜線上適當

3、選取若干個點畫出對應的向量0 ,這樣即可畫出這個方向場這樣即可畫出這個方向場.整理課件例例1 1畫出方程畫出方程22yxy 所確定的方向所確定的方向解解方程的等斜線為方程的等斜線為,22Cyx , 2, 5 . 1, 1, 5 . 0, 0 C取取畫出五條等斜線畫出五條等斜線, 再在再在每條等斜線上適當選取每條等斜線上適當選取若干個點畫出對應的向若干個點畫出對應的向量量0,如圖方向場如圖方向場.xoy場示意圖場示意圖.整理課件xoy的積分曲線的積分曲線的曲線就是方程的曲線就是方程點處的方向一致，這樣點處的方向一致，這樣線方向都和方向場在該線方向都和方向場在該處的切處的切內的一條曲線在任一點內的

4、一條曲線在任一點如果如果)1(D定義定義3如圖，如圖，)1, 0(),0 , 0(),1 , 0( 的三條積分曲線的三條積分曲線經過點經過點根據方向場即可大致根據方向場即可大致描繪出積分曲線描繪出積分曲線整理課件二、歐拉二、歐拉- -柯西近似法柯西近似法問題問題: : 一階微分方程的初值問題一階微分方程的初值問題 ,),(00yyyxfyxx的解不能或不易用初等積分法求出時的解不能或不易用初等積分法求出時,怎么辦？怎么辦？方法：方法：近似積分法近似積分法歐拉歐拉柯西近似法柯西近似法一階微分方程初值問題的解存在及唯一的一階微分方程初值問題的解存在及唯一的充分條件如下定理：充分條件如下定理：整理課

5、件樣的積分曲線是唯一的樣的積分曲線是唯一的上也連續，那末這上也連續，那末這在在線一定存在如果線一定存在如果的積分曲的積分曲通過點通過點上，微分方程上，微分方程閉區域閉區域的內點，那末在的內點，那末在是是上連續，點上連續，點在閉區域在閉區域右端的函數右端的函數設方程設方程定理定理DyfMDDyxMDyxf 0000)1(),(),()1(注意注意上上連連續續閉閉區區域域在在及及下下面面總總假假定定函函數數Dyxfyyxf),(),( 整理課件內內的的一一段段積積分分曲曲線線位位于于時時，對對應應，并并設設當當的的積積分分曲曲線線為為經經過過點點設設方方程程DHxxHxxyyxM 00000)()

6、,()1( :,00上作歐拉折線上作歐拉折線在在Hxx ，如圖，如圖軸的直線軸的直線作平行于作平行于，為步長；記為步長；記稱稱，等分，記等分，記把區間把區間), 2 , 1 , 0(,000nixxyihxxhnHhnHxxii 1x2x1 nxyxo0 xH整理課件；則則，交于點交于點，與直線，與直線段段為斜率的直線為斜率的直線作以作以，過點，過點值值求出函數求出函數上取點上取點在直線在直線001111110000000000),(),(),(yhyyyxMxxMMyMyyxfyxMxx ；，則則于于點點，交交直直線線為為斜斜率率的的直直線線段段作作以以，過過點點求求出出函函數數值值)(),

7、(),(10011222222111111yyhyyhyyyxMxxMMyMyyxf 1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M整理課件1x2x1 nxyxo0 xH0M1M2M如此一段接一段地如此一段接一段地作下去，得一條折線，作下去，得一條折線，稱歐拉折線稱歐拉折線 .),(,),(,),()(11112111110000nnnnnnxxxxxyyxxxxxyyxxxxxyyxy 方程為方程為整理課件).,(,)(,100110iiiiiiiiyxfynHhhyyyhyyyihxx 其其中中函數函數表示表示的一個表（函數表）來的一個表（函數表）來可列出可列出)(,xyyxnii 注意注意內

8、，且內，且于于應位應位折線折線)()(lim)()(00 xxDHxxxxynnn 初值問題的近似解初值問題的近似解整理課件例例2 2，計算到四位小數，計算到四位小數取步長取步長的近似解的近似解上求初值問題上求初值問題在在)1 . 0(,11 , 0022 hyyxyx解解.1 . 011 . 01 . 022110iiiiiiyxyyyyyixh ，列表計算如下列表計算如下.,數數表表兩兩列列就就表表示示近近似似解解的的函函其其中中iiyx整理課件iixiyiy 1247035689101 . 02 . 04 . 07 . 00 . 03 . 05 . 06 . 08 . 09 . 00 .

9、 19000. 0 8094. 0 6474. 0 4176. 0 0000. 1 7260. 0 5713. 0 4954. 0 3361. 0 2493. 0 1559. 0 9055. 08337. 07610. 08151. 00000. 17855. 07592. 07781. 08677. 09339. 0整理課件三、小結三、小結歐拉柯西近似法是圖形與分析相結合的歐拉柯西近似法是圖形與分析相結合的近似積分方法近似積分方法基本概念基本概念方向場、等斜線、積分曲線、方向場、等斜線、積分曲線、歐拉柯西近似法歐拉柯西近似法整理課件練練 習習 題題.1 . 0 , 002. 01,32.0 , 5 . 01 . 01,1020求近似解求近似解上上在在；按；按近似解近似解上求上求在在；按；按位小數）：位小數）：上的近似解（計算到三上的近似解（計算到三程初值問題在指定區間程初值問題在指定區間求下列各題所給微分方求下列各題所給微分方 hyyxyhyyxyxx整理課件