1、編輯ppt第三節第三節 不定積分的分部積分法不定積分的分部積分法一、基本內容一、基本內容問題問題 ?dxxex解決思路解決思路利用兩個函數乘積的求導法則利用兩個函數乘積的求導法則.設函數設函數 u=u(x) 和和 v=v(x)具有連續導數具有連續導數, ,)(vuvuuv ,)(vuuvvu ,ddxvuuvxvu .dduvuvvu 分部積分公式分部積分公式例例1 1 求不定積分求不定積分.d xxex解解,xu 設設xevxdd xxexd xexexxd.Cexexx )(dxex分部積分法的關鍵是正確選擇分部積分法的關鍵是正確選擇 u 和和 v . .,dduvuvvu ,dxe 例例

2、2 2 求不定積分求不定積分.dcos xxx若若 xxxdcos xxxxxdsin2cos222顯然顯然 , u 和和 dv 選擇不當選擇不當，積分更難進行，積分更難進行.解解 xxxdcos )(sindxx xxxxdsinsin.cossinCxxx )2(dcos2xx編輯ppt說明：說明：口訣（反、對、冪、三、指）口訣（反、對、冪、三、指）例例3 3 求不定積分求不定積分.d)1(2 xexx解解 xexxd)1(2 xxeexxxd2)1(2.)(2)1(2Cexeexxxx .)32(2Cexxx )(d)1(2xex再次使用再次使用分部積分法分部積分法 )(d2)1(2xx

3、exex例例4 4 求不定積分求不定積分解解 xxxdarctanxxxxxd112arctan2222 xxxxd)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )2(darctan2xx.darctan xxx例例5 5 求不定積分求不定積分解解 xxdarcsin)(arcsindarcsinxxxx xxxxxd1arcsin2.darcsin xx.1arcsin2Cxxx 編輯ppt說明：說明：單純的反三角函數、對數函數積分，單純的反三角函數、對數函數積分，可直接運用分部積分；可直接運用分部積分；例例6 6 求不定積分求不定積分.dsin xxe

4、x解解 xxexdsin )cosd(xex xxexexxdcoscos )d(sincosxexexx xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsin)cos(sin2xxex 注意循環注意循環形式形式.C 編輯ppt說明：說明：不定積分可通過解方程求得，但要注意不定積分可通過解方程求得，但要注意結果結果+C；可連續幾次利用多次分部，但每次應可連續幾次利用多次分部，但每次應塞同一類函數；塞同一類函數；例例 求不定積分求不定積分.dsec3 xx解解 dxx3sec xxxdsecsec2 )(secdtantansecxxxx xxdsec3 )(tandsecxx xxxxx

5、dsectantansec2 xxxxxd)sec(sectansec3 xxxxxxdsectanseclntansec3Cxxxx )tanseclntan(sec21例例 求不定積分求不定積分.d)sin(ln xx解解 xx d)sin(ln )sin(lnd)sin(lnxxxx xxxxd)cos(ln)sin(ln )cos(lnd)cos(ln)sin(lnxxxxxx xxxxxd)sin(ln)cos(ln)sin(ln xx d)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 例例 求不定積分求不定積分.d)sin(ln xx解解,lnux 令令,uex 則則,dd

6、uexu xx d)sin(ln uueudsin例例7 7 求不定積分求不定積分 .d12sinxx解解,12ux 令令 xxd12sin uuudsin,212 ux則則,dduux )cos(duu uuuudcoscosCuuu sincos.12sin12cos12Cxxx 編輯ppt說明：說明：有時應結合換元積分，先換元后再分部；有時應結合換元積分，先換元后再分部；解解 xxfxd)( )(dxfx,d)()( xxfxxf,d)(2 Cexxfx由由已已知知可可得得兩邊同時對兩邊同時對 x 求導求導, 得得,2)(2xxexf xxfxd)( xxfxxfd)()(.2222Ce

7、exxx 編輯ppt說明：說明：被積函數中含有抽象函數的導函數，常被積函數中含有抽象函數的導函數，常考慮用分部積分；考慮用分部積分；說明：利用分部積分法可得求不定積分的遞說明：利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式推公式解解.d)(ln xxxn例例9 9 求積分求積分 xxxInnd)(ln )2d()(ln2xxn )(lnd21)(ln2122nnxxxx xxxnxxnnd)(ln2)(ln2112122)(ln21 nnInxx)1,(* nNn)(*Nn 遞遞推推公公式式為為),1,( ,2)(ln21*12 nNnInxxInnn xxxIdln1而而 )2(dln2xx )(l

8、nd2ln222xxxx xxxxd2ln22Cxxx 2ln222.,1nIn由遞推公式都可求得由遞推公式都可求得所以對任意確定的所以對任意確定的 編輯ppt例例1010 求不定積分求不定積分 .d)ln1(xxxex解解 xxxexd)ln1( xxexxexxdlnd )(dlndxxexxxe xxexexxexxxdlnd.lnCxex 練習：練習： 求下列不定積分求下列不定積分 .d1arctan)1(2xxxx .d)1()2(2xxxex .d1)1()3(1xexxxx編輯ppt二、小結二、小結.單純的反三角函數、對數函數積分，單純的反三角函數、對數函數積分，可直接運用分部積

9、分；可直接運用分部積分；.口訣（反、對、冪、三、指）口訣（反、對、冪、三、指）;.不定積分可通過解方程求得，但要注意不定積分可通過解方程求得，但要注意結果結果+C；.有時應結合換元積分，先換元后再分部；有時應結合換元積分，先換元后再分部；.被積函數中含有抽象函數的導函數，常被積函數中含有抽象函數的導函數，常考慮用分部積分；考慮用分部積分；. .利用分部積分法可得求不定積分的遞利用分部積分法可得求不定積分的遞推公式。推公式。 .d1arctan)1(2xxxx解解 xxxxd1arctan2 )1d(arctan2xx)(arctand1arctan122xxxx xxxxxd111arctan

10、1222 .)1ln(arctan122Cxxxx xxxxd11arctan122 .d)1()2(2xxxex解解 dxxxex2)1( )11(dxxex )d(111xxxexxxe xexxexxd1Cexxexx 1Cxex 1解解 .d1)1()3(1xexxxx xexexxxxxxdd)1(11原式原式 xexexxxxxxdd)11(112 xeexxxxxd)(d11 xexexexxxxxxdd111.1Cxexx 一、填空題：一、填空題：1 1、 xdxxsin_；2 2、 xdxarcsin_；3 3、計算、計算 xdxx ln2， u可可設設_ _ , , dv_

11、；4 4、計算、計算 xdxexcos， u可可設設_ _ _ , , dv_；5 5、計算、計算 xdxx arctan2， u可可設設_ _ , , dv_； 6 6、 計計算算 dxxex， u可可設設_ _ _ _ _ _ _, , dv_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二、二、 求下列不定積分：求下列不定積分：1 1、 dxxx2cos22； 2 2、 dxxx23)(ln；練練 習習 題題3、 nxdxeaxcos； 4、 dxex3；5、 dxx)cos(ln； 6、 dxxxex232arctan)1( .三三、 已已知知xxsin是是)(xf的的原原函函數數，

12、求求 dxxxf)(. .四四、 設設 CxFdxxf)()(，)(xf可可微微，且且)(xf的的反反函函數數)(1xf 存存在在，則則 CxfFxxfdxxf )()()(111. .一一、1 1、Cxxx sincos； 2 2、Cxxx 21arcsin； 3 3、dxxx2,ln； 4 4、,xe xdxcos； 5 5、dxxx2,arctan； 6 6、dxexx ,. .二、二、1、Cxxxxxx sincossin21623； 2、Cxxxx 6ln6)(ln3)(ln123； 3、Cnxnnxanaeax )sincos(22 4、Cxxex )22(33323；練習題答案練

13、習題答案 5 5、Cxxx )sin(ln)cos(ln2； 6 6、Cexxx arctan2121； 7 7、Cexexexxxx 22. .三、三、Cxxx sin2cos. .編輯ppt例例4 4 求不定積分求不定積分.dcos)2(2 xxxx解解 xxxxdcos)2(2 xxxxxxdsin)1(2sin)2(2 )(sind)2(2xxx )cos(d)1(2sin)2(2xxxxxdcos)cos)(1(2sin)2(2 xxxxxxxCxxxxxx sin2)1(cos2sin)2(2.)1(cos2sin)22(2Cxxxxx 編輯ppt例例9 9 求不定積分求不定積分.d2cos xxex解解 xxexd2cos )d