1、最新資料推薦高考抽象函數技巧總結由于函數概念比較抽象，學生對解有關函數記號f(x)的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數概念的理解，更好地掌握函數的性質，培養靈活性；提高解題能力，優化學生數學思維素質。現 將常見解法及意義總結如下：一、求表達式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量x的代數式，從而求出f(x),這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力。x例 1：已知 f () =2x+1，求 f (x).x 1解：設 _x_ = uUx=-u-. f(u)=2-u-+1=2uf(x)=2xx 11 -u1 -u 1 - u1 - x2.湊合法：在已知f(g(

2、x) =h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u)表示的代數式，再利用代換即可求f(x).此解法簡潔，還能進一步復習代換法。1 Q 1例 2：已知 f(x+) = x +-,求 f(x) x x11 o 111 o11解：: f (x 十一)=(x+)(x 1 +。)=(x+)(x +一)一3)又. | x+|=| x| +至 1x xx x xx | x |23f(x) =x(x 3) =x 3x, (| x | 1)3.待定系數法：先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數。例 3.已知 f(x)二次實函數，且 f(x + 1)+ f(x1) = x2+2x+4

3、，求 f(x).解：設 f (x) =ax2 +bx +c ,則 f(x+1) + f (x-1)=a(x+1)2 +b(x+1) + c + a(x-1)2 +b(x-1)+c2(a c) =42213= 2ax +2bx+2(a+c) =x +2x+4 比較系數得 2a =1= a=,b = 1,c = ，222b =21 23f (x) = 一 x x 一2 24.利用函數性質法：主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式.例4.已知y = f (x)為奇函數，當x0時，f (x) = lg(x +1)，求f (x)解：f (x)為奇函數，f (x)的定義域關于原點對稱，故先求x0,f (

4、-x) =lg( -x 1) =lg(1 -x),f(x)為奇函數，lg(1 x) = f (x) = f (x)，當 x0 時 f (x) = lg(1 x)，lg(1 x),x .0f(x)=-lg(1-x),x ： 01例5.一已知f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，且有f(x) + g(x) =,求f(x),g(x).x -1解：: f(x)為偶函數，g(x)為奇函數，f (-x) = f (x), g(-x) = -g(x),1.，不妨用-x代換f(x) + g(x)=中的x,x-111 小-f ( -x) + g(x)=即 f (x) - g(x)= -x -1x 11x顯見+即可

5、消去g(x)，求出函數f (x) =1 再代入求出g(x)=Fx 1x 15.賦值法：給自變量取特殊值，從而發現規律，求出 f(x)的表達式例6：設f(x)的定義域為自然數集，且滿足條件f(x+1)= f (x) + f (y) + xy,及f (1)=1,求f(x)解： f(x)的定義域為 N,取 y=1,則有 f(x+1)= f(x)+x+1 f(1)=1, f (2) = f(1)+2, f (3) = f (2)+3 f(n)= f(n1) + n以上各式相加，有 f(n) =1+2+3+ n = n(n+1)f (x) =1x(x + 1),xw N22二、利用函數性質，解f(x)的

6、有關問題1 .判斷函數的奇偶性：例7已知f(x + y)+f (x y)=2f (x)f (y),對一切實數x、y都成立，且f (0) # 0,求證f (x)為偶 函數。證明：令x=0,則已知等式變為 f (y) + f (y) =2f (0) f (y)在中令 y =0貝u 2 f(0) =2 f(0) f (0) w0. f (0)=1，f (y) + f(y) = 2f (y) f( y)= f (y)f (x)為偶函數。2 .確定參數的取值范圍例8：奇函數f (x)在定義域(-1,1)內遞減，求滿足f(1 m)+f (1 m2) 0的實數m的取值范圍。222解：由 f (1 m) +

7、f (1 m ) 0 得 f (1 m) f (1 m ), ., f (x)為函數，/. f (1 - m) f (m -1)IT ： 1 -m ：二 1又 f (x)在(-1 , 1)內遞減，1 m2 -1 1= 0 cm 12.1 -m m -13.解不定式的有關題目例 9：如果 f(x) = ax2+bx+c 對任意的 t有 f (2+t) = f2t),比較 f (15 f(2)、f (4)的大小解：對任意t有f (2+t) = f 2t)，x =2為拋物線y =ax2 + bx + c的對稱軸又.其開口向上，f(2)最小，f (1)= f (3) .在2, +8)上，f(x)為增函

8、數 f (3) f (4), . f (2) f (1)0時，f (x) 0, f ( 1) = 2,求f (x)在區間2, 1上的值域。分析：由題設可知，函數 f (x)是用二無茶(尢H 0)的抽象函數，因此求函數 f (x)的值域，關鍵在于研究它的單調性。解：設勤卬則#X】.當需0時JCO0 . J(孫一河)0./)-/=力電-修) 口 即 丁優)/&1)，.- f (x)為增函數。在條件中，令y= x,則丁一/十,(一切，再令x=y= 0,則f(0)= 2 f(0),f(0)= 0,故 f ( x) = f (x) , f (x)為奇函數，f (1) =- f (1) = 2,又 f (

9、2) = 2 f (1) =4,f (x)的值域為4, 2。例2、已知函數f (x)對任意工，JE衣，滿足條件f (x) +f (y) =2 + f (x + y),且當x0時，f(x) 2, f (3) = 5,求不等式- 2* - 2) 3 的解。分析：由題設條件可猜測：f (x)是丫 = *+ 2的抽象函數，且f (x)為單調增函數，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數符號，從而可求得不等式的解。解：設馬 , .當時/2/5兩)2則八小)丁【(啊-馬)+覆 /(科-才+ 丁如)-2 2+JO)-2 ,了即/(心)/(G), f (x)為單調增函數。/=/(2+1) = / + /

10、-2 = /(D + / - 2 + 川)-2 = 3/(1)-4又 f (3) = 5,f (1) =3。一“-2)j - 2s-2 1 ,即_ 2 - 3 0 ,解得不等式的解為一1 a 0。解：(1)令丫=0代入/泛十月=/(編了8,則/熾)=/(/(0),，/口-/L。若f (x) =0,則對任意五1 f 有/)=/(心)= ,這與題設矛盾，f (x)W0, f (0) =1。(2)令 y= xw 0,則，)一丁 J5)一 - ,又由(1)知 f (x)半 0, f (2x) 0,即 f (x) 0,故對任意x, f (x) 0恒成立。例4、是否存在函數f (x),使下列三個條件：f

11、(x)0,x e N;jG &)=/(白)-丁3 a,bE N .f (2) =4。同時成立？若存在，求出 f (x)的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設可猜想存在 / 7 ,又由f (2) =4可得a=2.故猜測存在函數 產=2; 用數學歸 納法證明如下：(1)x=1 時，./ 7(1 + D -/(D V(D-W- 4 ,又: x e N 時,f (x) 0, /(Q-2-21, 結論正確。假設X =無，3之1且無e的時有/)=則x=k+ 1時JR + D = 出=2 2 = 2卬， x= k+ 1時，結論正確。綜上所述，x為一切自然數時(工)=213、對數函數型抽象函數對數函數型抽

12、象函數，即由對數函數抽象而得到的函數。例5、設f (x)是定義在(0, +8)上的單調增函數，滿足 了(工村“方十)，=1 ,求：(1) f (1);(2)若f (x) + f (x 8) 2,求x的取值范圍。分析：由題設可猜測 f (x)是對數函數 b宮孑兀的抽象函數，f (1) =0, f (9) =2。解：(1)+ /(1)=0。子 7c1 73 7=2 ,從而有 f (x) +f (x8) W f (9),即一怎1%/(9), f (x)是(0, +8)上的增函數，故最新資料推薦x(z-85 0產一名，解之得：8x0, a是定義域中的一個數)；當 0vxv 2a 時，f (x) 0。試

13、問：(1) f (x)的奇偶性如何？說明理由。(2)在(0, 4a)上，f (x)的單調性如何？說明理由。分析：由題設知f (x)是y的抽象函數，從而由丁 = 一以8犬及題設條件猜想：f (x)是奇函數且霜在(0, 4a)上是增函數(這里把 a看成Z進行猜想)。解：(i) . f (x)的定義域關于原點對稱，且 x卜電是定義域中的數時有石)一/(屯)，.勺一鼻)在定義域中。:.f (x)是奇函數。(0, 2a)上 f (x) 0,(2)設 0V xivx22a,則 0x2-xi2a, 在/值+i是 f (xi)f (xi) , f (x2), f (x2 xi)均小于零，進而知”?)中的 f

14、(x2), .在(0, 2a)上 f (x)是增函數。f(a) = f(2a -a)又八了十1十1r=i, .，一心)，f(2a) = 0,設 2avxv4a,則 0V x- 2a0,即在(2a, 4a)上 f (x) 0。設 2axiX24a,則 0vx2xi2a,從而知 f (xi) , f(X2)均大于零。f(X2x。0, .,) ,即f (xi)v f(x2),即f(x)在(2a,4a)上也是增函數。綜上所述，f(x)在(0,4a)上是增函數。5、哥函數型抽象函數哥函數型抽象函數，即由募函數抽象而得到的函數。例 8、已知函數 f (x)對任意實數 x、y 都有 f (xy) = f (

15、x) f (y),且 f (1) = 1, f (27) =9, 當0 V k c 1時，/即)。(1)判斷f (x)的奇偶性；(2)判斷f (x)在0, +8)上的單調性，并給出證明；(3)若口之。且，S+D4的，求a的取值范圍。2分析：由題設可知f (x)是哥函數y = 的抽象函數，從而可猜想f(刈是偶函數，且在0, +8) 上是增函數。解：(1)令 y = 1,則 f ( x) = f (x) - f (1)，= f (1) = 1, f (x) = f (x) , f (x)為偶函數。(2)設U工均電，x2 ,如心,/ () 1。工1) +/3,求 f(3) , f(9)的值。解：取3

16、 ,得6) = /+,因為5 ,所以5又取二O/(9) = /(3) + /(3)=-得_1、卡門 左 一+左43口/土V - 2 V- 3i/(2) -1, 7(6)=-評析：通過觀察已知與未知的聯系， 巧妙地賦值，取芥一& y - ，這樣便把已知條件5與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4.設函數f(x)定義于實數集上，對于任意實數x、v,+ #)總成立，且存在為W的，使得丁千 /,求函數“X)的值域。解：令x=T = ,得/ =/，即有/(0) =或40)= 1。若，(0) = 0 ,則/=/(1+0)=(工)八。)=0 ,對任意xR均成立， 這與存在

17、實數 與注的，使得 肛)，丁國)成立矛盾，故H 0 ,必有40) = 1。由于/*+) =/)對任意小VER均成立，因此，對任意xaR ,有0下面來證明，對任意1 ,設存在見它R,使得/)=,則八)= 這與上面已證的7矛盾，因此，對任意X E凡/* 所以, 評析：在處理抽象函數的問題時，往往需要對某些變量進行適當的賦值，這是一般向特殊轉化的必要手段。四、解析式問題T 1n I心/W+/C) = 1十工例5.設對滿足 A的所有實數x,函數J k 滿足X，求f(x)的解析式。解：在中以?代換其中X,得:ZA -1 A1再在（1）中以工-1代換X,得八一二7）十/二三|了-1x -1一+化簡得：2M

18、1）評析：如果把X和 X 分別看作兩個變量，怎樣實現由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵。通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現這種轉化的重要策略。五、單調性問題例6.設f（x）定義于實數集上，當X、Q時，/（用1,且對于任意實數X、y,有丁（工+y）=/5）一/3 ,求證：在R上為增函數。證明：在用=力力/8）中取工=尸=0,得八。）=（0）產若/=0,令0。,則/=0,與/1矛盾所以八0）工0 ,即有八0）= 1當。時，, 1 。；當界口時，尤 0, /（r） o而一 一1/（x） = -一 0所以又當X 一 0時，/（0）= 1 0所以對任意工三尺

19、，恒有丁（琦40設一 80,/（為一町）1所以, ：. 一. .：一一一所以尸二/5）在r上為增函數。評析：一般地，抽象函數所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數值的分解與 組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯。六、奇偶性問題 例7.已知函數w R X豐）對任意不等于零的實數 修、句都有了（巧,河）二（西）+/（工力，試 判斷函數f（x）的奇偶性。解：取x】=T電=1得：/（一1）二 了（一1）十八1）,所以,二。又取演二孫二T 得：，。）二（一1）+/（一1）,所以，（-1）=。再取勺二力電=-1則/（f ）*（-1）+，（犬），即，（-冗）=（方因為為非

20、零函數，所以?。ㄧ鶠榕己瘮?。七、對稱性問題例8.已知函數 （克）滿足x）+/D = 202 ,求八十廣1（2002人的值解：已知式即在對稱關系式 /g+x）+/gK）= 2中取4 = u,占=2加2，所以函數y=/（X）的圖象 關于點（0, 2002）對稱。根據原函數與其反函數的關系，知函數 刀二1a）的圖象關于點（2002, 0）對 稱。所以.： 將上式中的x用舞-1叩1代換，得+廣1（2002 -渝二0評析：這是同一個函數圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：設a、b均為常數，函數產二/0）對一切實數x都滿足/Q+幻+（5工）=2,則函數產=（*）的圖象關于點（a, b）成中心

21、 對稱圖形。 八、網絡綜合問題例9.定義在R上的函數f（x）滿足：對任意實數m,n,總有陽+劃=/（幽）/，且當x0時，0f（x）1 , （1）判斷f（x）的單調性；設工=（工，#|）夕）呂=5, 工一廠+在）=1, 口e號，若加方=0,試確定a的取值范圍。解：（1）在/配+附）=八J中，令犀=1，盟=U,得）=因為*0,所以/ 在/伽+） = /（ 中，令颼=X,I因為當X 口時，。/工）1所以當左0時一方0, 0 /（-五）1而一,111所以 1 0又當x=0時，）= 1 0,所以，綜上可知，對于任意-00 +000 /(x2 - xj 0時,f (x) 0, f (1) =2,求 f (

22、x)在2, 1上的值域。解：設 x1 :二 x2且 x1, x2 w R ,則 x2 xi 0 ,由條件當x A0時，f (x) 0.f (x2 -x1)0又 f&) = f(x2 - xi) xi=f (x2 -x1) f (x1)f (xi)二f (x)為增函數，令 y = -x,則 f (0) = f (x) + f (-x)又令x = y = 0得 f (0) =0二 f (-x) = -f (x),故f (x)為奇函數，J. f (1) =f(1)=2, f (2)=2f (1) = 4二刈在,1上的值域為4, 2二.求參數范圍這類參數隱含在抽象函數給出的運算式中，關鍵是利用函數的奇

23、偶性和它在定義域內的增減性，去掉“ f ”符號，轉化為代數不等式組求解，但要特別注意函數定義域的作用。例3 已知f (x)是定義在(-1, 1 )上的偶函數，且在(0 , 1 )上為增函數，滿足2f (a 2) f (4 a ) 0,試確定a的取值范圍。解：v f(x)是偶函數，且在(0, 1)上是增函數，f (x)在(-1, 0)上是減函數,-1 ： a - 2 ： 1 , 由付 V3 a 45 。-1 ：4-a2 1(1)當 a = 2時，f (a -2) = f (4-a2) = f (0),不等式不成立。(2)當 J3 a 2 時，f (a -2):二 f (4 -a2)-1 a-2

24、a - 4解之得，, 3 :二a :二2(3)當 2 a J5 時，f (a -2):二 f (4 -a2)0 a-2 1一 .2、一 2.=f (a - 4)0 ： a -4-1-2, - 2 a -4解之得，2 ：二a 一 5綜上所述，所求a的取值范圍是(J3, 2)U(2, 積。例4已知f(x)是定義在(-0% 1上的減函數，若f (m2sinx) E f (m + 1+cos2 x)對xR恒成立，求實數m的取值范圍。最新資料推薦2 2.八m sinx 3解：;/m十1十cos2 x m + 1 +cos x2m -sin x 3對x w R恒成立y W 22m - sin x m 1

25、cos x對x W R恒成立u2 2m -3 sinx“2.21x2.5m m1 之sinx+cos x =(sinx) 十 一2274對x W R恒成立，m2 -3 -L4.-.2 m 0 時，f (x)2 ,2f (3) =5,求不等式f(a 2a2) 3的解集。解：設 x1、x2 R R 且 x1 2 ,即 f (x2 x1) 2 0 ,f (x2) = f (x2 -x1)x1=f (x2 -x1) f (x1)-2 f(x1) f(x2) f (x1)故f (x)為增函數，又 f (3) = f (2 1) = f (2) f (1) - 2 = 3f (1) - 4 =5最新資料推

26、薦. f(1) =3-2 一 一 一一二 f (a -2a -2) 3= f (1),即a2 -2a -2 1-1 ： a : 3因此不等式f (a2 2a2) 3的解集為a|1a3。4 .證明某些問題例6 設f (x)定義在R上且對任意的x有f(x) = f(x + 1) f (x + 2),求證：f(x)是周期函數，并找出它的一個周期。分析：這同樣是沒有給出函數表達式的抽象函數，其一般解法是根據所給關系式進行遞推，若能得出f(x+T) = f(x) (T為非零常數)則f(x)為周期函數，且周期為 T證明：. f (x) = f (x 1) f (x 2)(1).f (x 1) = f (x

27、 2) 一 f (x 3)(2)(1) +(2)得 f (x) = -f(x+3)(3)由(3)得 f (x 3) = -f (x 6)(4)由(3)和(4)得 f (x) = f (x +6)。上式對任意xWR都成立，因此f (x)是周期函數，且周期為 6。例 7 已知 f (x)對一切 x, y ,滿足 f (0) #0, f(x + y) = f (x)，f (y),且當 x 1 ,求證：(1) x0時，0f(x)0,則x 1 ,而 f (0) -f(x) f(-x) =1f ( -x)=- 1f(x)A 0 f ( x) 1 ,設 x1, x2 w R 且 x1 x2,最新資料推薦則

28、0 c f (x2 x1) f(X2),即f (X)為減函數。5 .綜合問題求解抽象函數的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個知識點，抽象思維程度要求較高，解題時需把握好如下三點：一是注意函數定義域的應用，二是利用函數的奇偶性去掉函數符號“f ”前的“負號”，三是利用函數單調性去掉函數符號“f ”。例8 設函數y=f(X)定義在 R上，當XA0時，f (x) i ,且對任意m, n,有 f (m +n) = f (m) f (n),當 m #n 時 f (m) = f (n)。(i)證明 f (0) = i ;(2)證明：f (X)在R上是增函數；(3)設 A = (x, y)|f (X2) f

29、 (y2) f(i)LB =( x, y)| f (ax+by+c) = i, a, b, cw R, a = 0,若 a1b = 0,求 a, b, c 滿足的條件。解：(i)令 m = n = 0 得 f (0 = f (0 f (0 ,二 f (0) =0或 f(0) =i。若 f (0) =0,當 m #0 時，有 frm +0)= fm) -f (0),這與當 m#n 時，f (m) # f(n)矛盾，, f (0) = i。(2)設 x1 0 ,由已知得 f (x2- x1) i ,因為xi0 , f(x) i ,若 x1 0, f (Xi) Ai,由 f(0) = fx()if

30、(-Xi)f (Xi)=f(-Xi)f (X2) = f(X2 -Xi) f(Xi) f (Xi) 二f(x)在R上為增函數。(3)由 f (x2) f (y2) f(1Hx2 + y2 1 ()由 f (ax + by + c) = 1 得 ax + by +c = 0從(1)、(2)中消去 y得(a2 + b2)x2 +2acx + c2 b2 0 ,因為 aB =0， = (2ac)2-4(a2+b2)(cb - 2) 0,(1)試判斷f (x)的奇偶性;(2)判斷f (x)的單調性;n2 +31 +1) f(2)。解：(1)對條件中的x, y,令x=y = 0,再令y = x可得f (

31、0)f (0) = f (0)f (0) = 0f (xf (-x) =0 f (-x) = - f ()x,所以f (x)是奇函數。(2)設1 Cx1 x2 0,貝U fx：) 1 - fx(x1 一 x2zia fifE).1.1.(3)求證 f(_) + f()+ f(511分析：這是一道以抽象函數為載體，研究函數的單調性與奇偶性，再以這些性質為基礎去研究數列求 和的綜合題。: x1 x2 0, 0 x1x2 1 ,x一包 0 ,從而有 f (x1)- f (x2) 0,即 f (x1) f (x2),1 一 x1x21 - x1x2故f(x)在(-1, 0)上單調遞減，由奇函數性質可知

32、，f (x)在(0, 1)上仍是單調減函數。(3) ; f(2n 3n 1f(n 1)(n 2) -1)1-1一)(一) n - 1 n 2f()f(-1f()-f(n+2)511.f(g)+f/)+ f(2n 3n 11111f(;) f(R + f(%) f(二)十十 f( 23341 )一)11f (-) - f ()2 n 21.1。二：二1, . f()：二0n 2n 21f(-) - f(211)f(-)21，二 f +f () + f(-511n2 3n 1.1)f(2)O抽象函數問題分類解析我們將沒有明確給出解析式的函數稱為抽象函數。近年來抽象函數問題頻頻出現于各類考試題中,

33、于這類問題抽象性強，靈活性大，多數同學感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實例作分類解析， 學習參考。1.求定義域這一特性，問這類問題只要緊緊抓住：將函數 fg(x)中的g(x)看作一個整體，相當于 f(x)中的x題就會迎刃而解。例1.函數y = f (x)的定義域為(-, 1,則函數y = flog2(x2-2)的定義域是 。分析：因為10g2 x22)相當于f(x)中的x,所以log2 x2 -2)1 ,解得v2 x W2或2Ex J，。1例2.已知f(x)的定義域為(0, 1),則y = f(x + a)+f(xa)(|a|E)的定義域是 一2 分析：因為x+a及x-a均相當于f(x)中

34、的x,所以0 ：二 x a ： 1 Ira : x ： 1 - a0 x - a 1 a :二 x 1 a1 .(1) 當一一 Wa W0時，則 x= (a, 1+a)2、，一1(2) 當 0 a M 一 時，則 x 匚(a, 1 - a)22. 判斷奇偶性根據已知條件，通過恰當的賦值代換，尋求 f (x)與f(x)的關系。例3.已知f(x)的定義域為R,且對任意實數x, y滿足fx y)= fX) + f (y ,求證：f(x)是偶函數。分析：在 fX y) = fx()十 f (y 中，令 x = y =1 ,得 f (1) = f (1) f(1)= f(1) =0令 x=y=_1,得

35、f(1) = f (_1)+ f (_1)= f(1)=0于是 fx：- ) = f(-1 x) f (一1) f (x)= f (x)故f (x)是偶函數。例4.若函數y = f(xf() x #0)與丫 = f (x)的圖象關于原點對稱，求證：函數y = f (x)是偶函數。證明：設y = f (x)圖象上任意一點為 P ( % , y0): y = f (x與y = f (x)的圖象關于原點對稱，P(x0, y0)關于原點的對稱點(x0, -y0)在y = f(x)的圖象上，-y0 = - f (-x0)V。= f (-xO)又 y = f (x0).f (-x0) = fx 0)即對于

36、函數定義域上的任意x都有f (-x) = f (x),所以y = f (x)是偶函數。3. 判斷單調性根據函數的奇偶性、單調性等有關性質，畫出函數的示意圖，以形助數，問題迅速獲解。例5.如果奇函數f (x)在區間3, 7上是增函數且有最小值為5,那么f(x)在區間-7, -3上是A.增函數且最小值為 -5B.增函數且最大值為 -5C.減函數且最小值為 -5D.減函數且最大值為 -5分析：畫出滿足題意的示意圖1,易知選B。最新資料推薦例6.已知偶函數f(x)在(0, +8)上是減函數，問f(x)在 S, 0)上是增函數還是減函數，并證明 你的結論。分析：如圖2所示，易知f(x)在,0)上是增函數

37、，證明如下:任取 xx ： 2 :二 0=-x15-x2 . 0因為f (x)在(0,十口)上是減函數，所以f (_x1) f (_x2)。又f (x)是偶函數，所以f(-xi)=f(xf),(-x2)=f(x2),從而f (x) f (x2),故f(x)在(q, 0)上是增函數。4 .探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細分析題設條件，通過類似，聯想出函數原型，通過對函數原型的分 析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設函數f(x)的定義域為R,且對任意的x, y有_ c i ,4 1f (x+y) + f(xy)=2f (x)(f y),并存在正實數c,使f()=0。試問f (x)是否為周期

38、函數？若是， 2求出它的一個周期；若不是，請說明理由。分析：仔細觀察分析條件，聯想三角公式，就會發現：y=cosx滿足題設條件，且cos = 0猜測f (x)2是以2c為周期的周期函數。ccc cc cf(x -) 2 f(x 2)-2=2f(x -)f(2)=0f (x c) = -f (x)f (x 2c) = -f (x c) = f (x)故f (x)是周期函數，2c是它的一個周期。5 .求函數值緊扣已知條件進行迭代變換，經有限次迭代可直接求出結果，或者在迭代過程中發現函數具有周期性，利用周期性使問題巧妙獲解。例8.已知f(x)的定義域為R+,且fxy + )= fX ) + fy()

39、對一切正實數x, y都成立，若f(8) = 4,貝U f (2) =。分析：在條件fxy +戶fx( ) +fy：)中，令x = y = 4,得f(8) = f(4)+f(4)=2f(4)=4,.f(4) =2又令x = y = 2,得 f (4) = f(2) + f(2) = 2,. f(2) =1例9.已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足：f(x+2)1 f(x) = 1 + f (x),f =1997 ,求 f (2001)的值。分析：緊扣已知條件，并多次使用，發現f (x)是周期函數，顯然 f (x)。1,于是f(x 2)=1 f (x)1 - f (x)f(x 4)=1 f (x

40、 2)1 - f (x 2)1 . 1f (x)1 - f (x)1 1 f (x)1 - f (x)所以 f (x 8)=1f (x 4)= f(x)故f (x)是以8為周期的周期函數，從而f (2001) =f (8 250 1) = f(1)= 19976 .比較函數值大小利用函數的奇偶性、對稱性等性質將自變量轉化到函數的單調區間內，然后利用其單調性使問題獲解。例10.已知函數f(x)是定義域為R的偶函數，x0時，f(x)是增函數，若x1 0 , x2 A 0 ,且|x1|x2| ,貝U f(x1)，f(x2)的大小關系是 分析：v x1 0, x2 A0且 |x1|x2| ,0 ,二

41、-x1 :二 x2 二 -x2 :二 x1 : 0又x fk( 2 sinjx 恒成立，求 k 的值。分析：由單調性，脫去函數記號，得k2 - sin2 x _ 1k -sinx m k2 -sin2 xk 2 22k (sinx-)(2)442由題意知(1)(2)兩式對一切x R R恒成立，則有-22k-(1sinx)min=19119k-k-(sinx-)max429 . 研究函數的圖象這類問題只要利用函數圖象變換的有關結論，就可獲解。例13.若函數y = f (x+2)是偶函數，則y = f (x)的圖象關于直線對稱。左移2個單位右移2個單位分析：y = f(x)的圖象y = f(x+2

42、)的圖象，而y= f(x+2)是偶函數，對稱軸是x=0,故y = f(x)的對稱軸是x = 2。例14.若函數f(x)的圖象過點(0, 1),則f (x +4)的反函數的圖象必過定點分析：f(x)的圖象過點(0, 1),從而f(x+4)的圖象過點(-4, 1),由原函數與其反函數圖象間的關系易知，f (x+4)的反函數的圖象必過定點 (1, 4)。10 .求解析式例15.設函數f (x)存在反函數，g(x = f(X , h(x與g(x)的圖象關于直線x+y = 0對稱，則函數 h(x)=a. -f (x) B. -f(-x) C. - f(x) D. - f(-x)分析：要求y =h(x)的解析式，實質上就是求 y=h(x)圖象上任一點 Px 0, y0)的橫、縱坐標之間的 關系。點Px0, y0)關于直線y = x的對稱點(-y0, -x0)適合y = f(x),即x0 =g( y0)。又 gx ) = f A(x),1-x0 = f (-y)= -y0 = f (-x)= y =-f (-x0)即 h(x = _f (-x),選 Bo抽象函數的周期問題2001年高考數學(文科)第 22題：設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于直線x=1對稱。對1任息 x1, x2 可0,與都有 f(xx + 2)= f (xf)() x2 。2