1、萬有引力理論的成就【學習目標】1了解萬有引力定律在天文學上的重要應用2會用萬有引力定律計算天體的質量3理解并運用萬有引力定律處理天體問題的思路、方法【要點梳理】要點一、萬有引力與重力要點詮釋：地球對物體的引力是物體受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力這是因為地球在不停地自轉，地球上的一切物體都隨著地球的自轉而繞地軸做勻速圓周運動，這就需要向心力這個向心力的方向是垂直指向地軸的，它的大小是，式中的r是物體與地軸的距離，是地球自轉的角速度這個向心力來自哪里?只能來自地球對物體的引力F，它是引力F的一個分力，如圖所示，引力F的另一個分力才是物體的重力mg 在不同緯度的地方，物體做勻速圓周運動的

2、角速度相同，而圓周的半徑r不同，這個半徑在赤道處最大，在兩極最小(等于零)緯度為處的物體隨地球自轉所需的向心力(R為地球半徑)由公式可見，隨著緯度的升高，向心力將減小，作為引力的另一個分量，重力則隨緯度的升高而增大，在兩極處rRcos90°0，所以在兩極，引力等于重力在赤道上，物體的重力、引力和向心力在一條直線上，方向相同，此時重力等于引力與向心力之差，即此時重力最小從圖中還可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北兩極和赤道上重力mg才指向地心 (1)重力是由萬有引力產生的，重力實際上是萬有引力的一個分力，物體的重力隨其緯度的增大而增大，并且除兩極和赤道上外，重力并不指向地心 (

3、2)物體隨地球自轉所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略計算中，可以認為物體所受的重力等于物體所受地球的萬有引力，即要點二、天體質量計算的幾種方法 要點詮釋：萬有引力定律從動力學角度解決了天體運動問題天體運動遵循與地面上物體相同的動力學規律行星(或衛星)的運動可視為勻速圓周運動，由恒星對其行星(或行星對其衛星)的萬有引力提供向心力 運用萬有引力定律，不僅可以計算太陽的質量，還可以計算其他天體的質量下面以地球質量的計算為例，介紹幾種計算天體質量的方法 (1)若已知月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據萬有引力等于向心力，即，可求得地球的質量 (2)若已知月球

4、繞地球做勻速圓周運動的半徑r和月球運行的線速度v，由于地球對月球的引力等于月球做勻速圓周運動的向心力，得 可得地球的質量為 (3)若已知月球運行的線速度v和運行周期T，由于地球對月球的引力等于月球做勻速圓周運動的向心力，得 以上兩式消去r，解得 (4)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據物體的重力近似等于地球對物體的引力，得 解得地球的質量為要點三、天體密度的計算要點詮釋： (1)利用天體表面的重力加速度來求天體的自身密度 由和， 得 其中g為天體表面的重力加速度，R為天體半徑 (2)利用天體的衛星來求天體的密度 設衛星繞天體運動的軌道半徑為r，周期為T，天體半徑為R，則可列出方程

5、： 得 當天體的衛星環繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度為要點四、發現未知天體要點詮釋：發現海王星 天王星的“出軌”現象，激發了法國青年天文學家勒維耶和英國劍橋大學學生亞當斯的濃厚興趣勒維耶經常到巴黎天文臺去查閱天王星觀察資料，并把這些資料跟自己理論計算的結果對比亞當斯也不斷到劍橋大學天文臺去，他還得到一份英國皇家格林尼治天文臺的資料，這使他的理論計算能及時跟觀察資料比較他們兩人根據自己的計算結果，各自獨立地得出結論：在天王星的附近，還有一顆新的行星！ 1846年9月23日晚，德國的伽勒在勒維耶預言的位置附近發現了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發現的行星”這就是海王星 憑借

6、著萬有引力定律，通過計算，在筆尖下發現了新的天體，這充分地顯示了科學理論的威力要點五、解決天體運動問題的基本思路 要點詮釋： (1)將行星繞恒星的運動、衛星繞行星的運動均視為勻速圓周運動，所需向心力是由萬有引力提供的根據圓周運動的知識和牛頓第二定律列式求解有關天體運動的一些物理量，有如下關系： 若已知環繞中心天體運動的行星(或衛星)繞恒星(或行星)做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據萬有引力提供向心力可知：，得恒星或行星的質量 此種方法只能求解中心天體的質量，而不能求出做圓周運動的行星或衛星的質量 (2)若已知星球表面的重力加速度g和星球的半徑，忽略星球自轉的影響，則星球對物體的萬有引力等

7、于物體的重力，有，所以 其中是在有關計算中常用到的一個替換關系，被稱為“黃金代換”【典型例題】類型一、萬有引力的計算例1、已知太陽的質量M=2.0×1030kg，地球的質量m=6.0×1024kg，太陽與地球相距r=1.5×1011m，求（1）太陽對地球的萬有引力；（2）地球對太陽的萬有引力。【思路點撥】太陽對地球的萬有引力與地球對太陽的萬有引力是作用力與反作用力。【解析】根據萬有引力定律有：根據作用力與反作用力的關系，地球對太陽的引力與太陽對地球的引力大小相等，方向相反，即F'=F=3.56×1022N【總結升華】根據萬有引力定律，任何兩個物體

8、之間都相互吸引，引力的大小與兩物體質量的乘積成正比，與其距離的平方成反比，即，地球對太陽的引力與太陽對地球的引力大小相等，方向相反，二者的關系是作用力與反作用力。例2、甲、乙兩物體之間的萬有引力大小為F，若乙物體質量不變，甲物體質量減少1/2，同時甲、乙物體間距離也減少1/2，則甲、乙物體之間萬有引力的大小變為（ ）A、F B、F/2 C、F/4 D、2F【答案】D【思路點撥】注意到公式中各量之間的比例關系可以較快速解題。【解析】根據萬有引力定律有：【總結升華】正確理解萬有引力定律中的萬有引力大小跟什么有關系，正確應用比例的方法求解。舉一反三【變式】兩大小相同的實心小鐵球緊靠在一起時，它們之間

9、的萬有引力是F，若兩個半徑是小鐵球半徑2倍的實心大鐵球緊靠在一起，則它們之間的萬有引力為：（ ）A、2F B、4F C、8F D、16F【答案】D【解析】小鐵球之間的萬有引力：大鐵球的半徑是小鐵球的2倍，其質量：對小鐵球： 對于大鐵球： 則兩大鐵球間的萬有引力： 正確答案選D類型二、補償法計算萬有引力例3. 如圖所示，一個質量為M的勻質實心球，半徑為R如果從球上挖去一個直徑為R的球，放在相距為d的地方求下列兩種情況下，兩球之間的引力分別是多大? (1)從球的正中心挖去； (2)從與球面相切處挖去； 并指出在什么條件下，兩種計算結果相同?【思路點撥】所求萬有引力可由均質實心球與m間的萬有引力減去

10、所挖去的小球與m間萬有引力求得。【解析】根據勻質球的質量與其半徑的關系，兩部分的質量分別為 (1)如圖甲所示，根據萬有引力定律，這時兩球之間的引力為 (2)如圖乙所示，在這種情況下，不能直接用萬有引力公式計算為此，可利用等效割補法，先將M轉化為理想模型，即用同樣的材料將其填補為實心球M，這時，兩者之間的引力為 由于填補空心球而增加的引力為 所以，這時M與m之間的引力為 當時，M可以視為質點這時，引力變為即這時兩種計算結果相同 【點評】萬有引力定律表達式只適用于計算質點間變力，在高中階段常見的質點模型是質量分布均勻的球體，因而利用“割補法”構成質點模型，再利用萬有引力定律與力的合成知識可求“缺失

11、”球間的引力類型三、天體表面重力加速度問題例4.1990年5月，紫金山天文臺將他們發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，該小行星的半徑為16km。若將此小行星和地球均看成質量分布均勻的球體，小行星密度與地球相同。已知地球半徑R=6400km，地球表面重力加速度為g。這個小行星表面的重力加速度為（ ）A.400g B. C.20g D. 【答案】B【思路點撥】 此題屬于天體表面重力加速度問題，需用黃金代換法求解。【解析】質量分布均勻的球體的密度地球表面的重力加速度：吳健雄星表面的重力加速度：故B選項正確。【總結升華】對天體來說，可以認為重力等于萬有引力。隨著高度的增加重力加速度減小，物體所受的

12、重力減小。舉一反三【變式1】如果地球表面的重力加速度為g，物體在距地面3倍的地球半徑時的重力加速度為g'。則二者之比是 。A、1：91 B、9：1 C、1：16 D、16：1【答案】D【解析】距地面的高度為3R，則距地心為4R，根據萬有引力公式有：解上述方程得【變式2】假定 Z星和地球都是球體。Z星質量和地球質量之比為p，Z星的半徑與地球半徑之比為q。那么離Z星表面高處的重力加速度和離地球表面高處的重力加速度之比等于多少？【解析】因物體的重力來自萬有引力，所以離Z星表面高處有：可得：同理可得：故類型四、天體質量、密度的計算例5.月球繞地球轉動的周期為T，軌道半徑為r，地球半徑為R，引力

13、常量為G，請寫出地球質量和地球密度的表達式。【思路點撥】 本題屬于計算天體質量問題，要考慮天體質量的計算公式和的應用。【解析】地球對月球的萬有引力提供月球繞地球運動的向心力，由解得地球密度【總結升華】（1）利用這種方法可以比較精確地測出地球的質量和密度。（2）利用這種方法求解的是中心天體的質量，而不是繞中心天體運轉的天體的質量。（3）這種通過可直接測量的量（軌道半徑和周期），間接測量出原本無法直接測量的量的方法，是科學研究的重要方法。舉一反三【高清課程：萬有引力定律的應用 例1】【變式】一宇航員為了估測一星球的質量，他在該星球的表面做自由落體實驗：讓小球在離地面h高處自由下落，他測出經時間t小

14、球落地，又已知該星球的半徑為R，試估算該星球的質量。【答案】類型五、雙星問題 例6.宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起。（1）試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質量之反比。（2）設兩者的質量分別為和，兩者相距L，試寫出它們角速度的表達式。【思路點撥】 雙星之間的作用力是兩星之間的萬有引力，要做穩定的勻速圓周運動，只有依靠萬有引力提供向心力，又因以兩者連線上某點為圓心，所以半徑之和不變，故運動過程中角速度不變，再由萬有引力定律可以解得。【解析】（1）要保持兩天體間距L不變，兩者做圓周運動的角速度必須相同。

15、設兩者軌跡圓心為O，圓半徑分別為和，如圖所示，m2m 1R1R2O所以根據線速度與角速度的關系得所以 （2）由得由得且聯立解得【總結升華】解決雙星問題的關鍵，要抓住兩點：（1）兩星的角速度相同；（2）所需向心力的大小相等舉一反三【變式1】神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統的運動規律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云時，發現了LMCX-3雙星系統，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點，不考慮其他天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率和運行周期T。（1）可見星A所受暗星B的引力可等效為位于O點處質量為的星體（視為質點）對它的引力，設A和B的質量分別為，試求（用表示）（2）求暗星B的質量與可見星A的速率、運行周期T、和質量之間的關系式。【解析】（1）設A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運動的角速度相同，設其為。由牛頓運動定律，有，設A、B之間的距離為r,又，由上述各式得由萬有引力定律