1、第一講 相似三角形的判定及有關性質3.4 直角三角形的射影定理備課組：高二數學組 主備人：柴海斌 持案人： 授課班級： 授課時間： 教學目標 知識與技能：掌握直角三角形中成比例的線段的性質，并能初步用它解決“直角三角形斜邊上的高”圖形中的計算和證明問題.方法與過程： 通過問題設計，層層跟進，引導學生探索和發現射影定理。情感與價值觀：培養特殊化研究問題的方法和方程、轉化思想。 教學重難點重點：直角三角形的射影定理的證明及應用；難點：直角三角形的射影定理的證明。 教學過程二、教學引入 什么是射影？點和線段的正射影簡稱為射影（讓學生復習并挖掘下圖中的基本性質.）已知：如圖，ACB=90°，

2、CDAB于D.(1)圖中有幾條線段?(答：6條，分別記為AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)(2)圖中有幾個銳角?數量有何關系?(3)圖中有幾對相似三角形?可寫出幾組比例式?由圖中ACDCBDABC，可分別寫出三組比例式： (ACDCDB); (CBDABC); (ACDABC).(4)觀察第(3)題的結果，有幾個帶有比例中項的比例式?如何用一句話概括敘述這幾個比例中項的表達式?只有三個比例中項的表達式，(5)由上可得到哪些等積式?CD2=AD·BD，BC2=BD·BA，AC2=AD·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩

3、直角邊在斜邊上的射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在斜邊上的射影與斜邊的比例中項。請同學們自己寫出已知條件并證明。已知：在RTABC中，ABC=90。 ，CDAB于D。求證：CD2=AD*BD BC2=BD*AB AC2=AD*AB證明：在RTABC中，因為ABC=90。 CDABB+DCB=90º , ACD+DCB=90º所以B=ACD，故 CBDACD所以 在RTACB與RTBDC中，為公共角，同理，由，討論：用勾股定理能證明射影定理嗎？寫出你的想法.證明：二、當堂訓練1、如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D。求 解：是半圓上的圓周角，,即ABC是直角三角形。又射

4、影定理可得 2、如圖，ABC中，頂點C在AB邊上的射影為D，且。求證：ABC是直角三角形。證明： 在CDA和BDC中，三、課堂小結與反思四、課后檢測1如圖141中，ACB=90°，CDAB于D，AD=3，BD=2，則AC：BC的值是(C )A3：2 B9：4 C： D：2在RtACB中，C=90°，CDAB于D，若BD：AD=1：4，則tanBCD的值是(C ) A. B. C. D. 23下列命題中，正確的有(B ) 兩個直角三角形是相似三角形； 等邊三角形都是相似三角形； 銳角三角形都是相似三角形； 兩個等腰直角三角形是相似三角形 A1個 B. 2個 C. 3個 D4個

5、4已知直角ABC中，斜邊AB=5cm，BC=2 cm，D為AC上一點，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，則DE=( C )A1.24 cm B1.26 cmC1.28cm D1.3 cm5如圖142，在ABC中，BAC=90°，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E。試說明：圖142(1)AB·AC=AD·BC；(2)AD3=BC·BE·CF。解：(1)在RtABC中，ADBC，SABC=AB·AC=BC·ADAB·AC=BC·AD。(2)在RtADB中，DEAB，由射影定理得BD2=BE

6、3;AB同理CD2=CF·AC，BD2·CD2=BE·AB·CF·AC *又在RtBAC中，ADBCAD2=BD·DC， *式化為AD4=BE·CF·AB·AC，即AD3=BE·CF·AB·AC·由(1)知AB·AC=BC·AD，代入上式得AD3=BE·CF·BC 應用射影定理證明比例線段6如圖143，已知：BD、CE是ABC的兩條高，過點D的直線交BC和BA的延長線于G、H，交CE于F，且H=BCF。求證：GD2=GF

7、83;GH。證明：H=BCE，B=B，CEBH，BCEBHGBGH=BEC=90°，HGBCBDAC，在RtBCD中，由射影定理得，GD2=BG·CG GFC=EFH，FCGFHE，FGC=FEH，FGC=BGHFCGBHG，BG·GC=GH·FG 由得，GD2=GH·FG7如圖144，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：AE·AB=AF·AC。證明：ADBC，BAD+B=90°又DEAB，BAD+EDA=90°B=EDA，又BAD=DAE，ABDADE(兩角相等的兩個三角形相似)

8、，即AD2=AB·AE 同理可證：AD2=AF·AC，AE·AB=AF·AC綜合·拓展練綜合運用，拓展知能8在RtABC中，BAC=90°，ADBC于點D，若，則( C ) A. B. C. D. 9如圖145，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，在圖中的六條線段中，你認為只要知道( B )條線段的長，就可以求其他線段的長。A1 B2 C3 D410如圖146，在梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，垂足為E，ABC=45°，過E作AD的垂線交AD于F，交BC于G，過E作AD的平行線交AB于H。求證：FG2=AF·

9、;DF+BG·CG+AH·BH。證明：因為EF2=AF·FD，EG2=BG·CG，所以FG2=(EF+EG)2=EF2+2EF·EG+EG2=AF·FD+BG·CG+2EF·EG因為ABC=45°，所以2(EF+EG)2=(AH+BH)2而EF=AHsin45°AH， EG=BHsin45°=BH2EF2=AH2，2EG2=BH2所以2EF·EG=AH·BH所以FG2=AF·FD+BG·CG+AH·BH11ABC中，若角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，試用余弦定理證明以下射影公式。(1)c=acosB+bcosA；(2)a=bcosC+ccosB；(3)b=ccosA+acosC。證明：（1）由余弦定理得同理可證： a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC高考·模擬練體驗高考，模擬實戰12在ABC中，ACB=90°，CDAB于D，AD：BD=2：3，則ACD與CBD的相似比為( )A2：3 B4：9 C：3 D不確定13RtABC中，ACBC，CDAB于點D，AD=4，sinACD=，則BC=_，CD=_。答案解析C解析：如圖D123，在RtACB中，CD