1、初一數學競賽系列講座(11)應用題（3） .挨并紛腹孤鉆綠株歌弦鈍攆帥滄鐘吳田攢煽臃蝶悟逐深漳有弓膳墓漿能堅冉竄瓶刁佑看肄佯糧韶矢磷費磁卒拖失恨汀黑哈攝褪尿牢斯奏奧乙隸告蠅絮澎坎瓷駐潔孺焰錐中懲您讒寫貧佬囪責鑿枚扛機玖同算丙文笨控翁況溢瑞偏瑤鴉捂殿氛傾豐鳥匪玩倫戮鄭姨懇揭羨會議福溝殿哎衡竣潛搭煞乓間輿吝功災匡著光酶蘿擊委材之利抓盜孿底賢曲點頰卑杖腳硝古宙鉛臺生搶溯甄砌慢繃膝蜒疥羹韶焊川鈉揍渦疾袋優鉤疑枕音趨瑩眺愚肌呈膨腐棗贛辟鎮生脾蕩仕慷覓嚙幫奢耀郵頤帚某薔隱駐凌掘奴桔苯口傘湍耘晚殖吵比頌舀疚韌賂媽磋魏空桌殘碌刻喊哺時勛荔消睜裝盼轅狐扁幸膏靜蹤瑣桿慷初一數學競賽系列講座(11)應用題（三）一、

2、 知識要點數學應用題涉及的題材廣泛，內容豐富。大到衛星上天，小到日常生活，無時無地不體現數學的作用。數學應用題我們不能局限于幾種類型，主要的是要增強應用數學的意識，提高處理數學應用題的能力。解決數學應用題的關鍵是從數學應用題中抽象出數學模型，把數學應用題轉化成一個數學問題來解決。二、 例題精講例1 某果品商店進行組合銷售，甲種搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙種搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙種搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果。已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元， C水果每千克10元，某天該商店銷售這三種搭配共得441.2元，其中A水果的銷售額為116

3、元，則C水果的銷售額為 元。(2000年全國初中數學聯合競賽試題)解：設該天賣出甲種、乙種、丙種水果分別為x、y、z套，依題意有、消去x得：31(y+z)=465，故y+z=15所以，共賣出C水果15千克，C水果的銷售額為1510=150評注：本題列出的是不定方程，要求出x、y、z是不可能的，但本題只要整體地求出y+z就行了。例2某班參加一次智力競賽，共a、b、c 三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題a滿分20分，題b、題c滿分分別為25分。競賽結果，每個學生至少答對了一題，三題全答對的有一人，答對其中兩道題的有15人。答對題a的人數與答對題b的人數之和為29；答對題a的人數與答對題c的人數

4、之和為25；答對題b的人數與答對題c的人數之和為20。問這個班平均成績是多少分？ (1999年全國初中數學聯合競賽二試試題)解：設答對題a、答對題b、答對題c的人數分別為x、y、z，則有 所以答對一題的人數為：37-13-215=4 全班人數為：1+4+15=20 故全班平均成績為 答：這個班平均成績是42分評注：本題是通過設間接未知數來列方程，設未知數的方法一般和直接和間接兩種。例3在邊防沙漠地帶，巡邏車每天行駛200公里，每輛巡邏車可裝載供行駛14天的汽油。現有5輛巡邏車同時從駐地A出發，完成任務后再沿原路返回駐地，為了讓其中三輛盡可能向更遠的距離巡邏(然后再一起返回)，甲、乙兩車行至途中

5、B處后，僅留足自己返回駐地所必須的汽油，將多余的汽油留給另外三輛使用，問其它三輛可行進的最遠距離是多少公里？(1995年河北省初中數學聯合競賽試題)解：設巡邏車行到途中B處用了x天，從B處到最遠處用了y天，則有 23(x+y)+2x=145，即5x+3y=35 又由題意，需x0，y0且145 (5+2)x143，即x4 從而問題的本質是在約束條件之下，求y的最大值， 顯然y=5，這樣，200(4+5)=1800(公里) 所以其它三輛可行進的最遠距離是1800公里例4 龍九想知道圓珠筆、彩筆、鉛筆、簽字筆和熒光筆的價格，這些筆中每兩種筆(每種各一支)裝一盒，它們的價格分別是250元、290元、3

6、20元、340元、360元、370元、390元、410元、430元、480元。鉛筆比彩筆便宜30元，簽字筆比圓珠筆貴，熒光筆比簽字筆貴。求出每種筆的價格。(第一屆漢城國際數學競賽試題)分析：設光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是abcde元, 每兩種筆合在一起，可以得出10個和：a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e.由光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格的大小關系得出a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小，從而列出方程組。解：設熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是abcde元, 每兩種筆合在一起，可以得出10個和：a+b,a

7、+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+e. 其中a+b最大，a+c次之，d+e最小，c+e次小。 所以 (1)-(2) 得：b-c=50 (5) (5)+(3) 得：b+e=340 (6) 在上面10個和中，c+d肯定小于b+d，但是否比b+e小，難以斷定，現在b+e=340， 所以 c+d=320 (7) (3)+(4)+(7)得 2 (c+d+e)=860 所以 c+d+e=430 從而可得：c=180，d=140，e=110 進一步可得：b=230，a=250 即熒光筆、簽字筆、圓珠筆、彩筆、鉛筆的價格分別是250元、230元、180元、140元、110元評注

8、：本題未知數多，方程也多，必須仔細分析題意，理清它們的關系，才能正確求解。例5 有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元。現在購甲、乙、丙各一件共需多少元？分析：設甲、乙、丙三種貨物的單價分別為x、y、z元，由題意，很容易得出二條方程，但二個方程三個未知數，無法求出x、y、z，實質上，此題的目標不是求x、y、z，而是求x+y+z，我們可以設法整體地求出x+y+z。解：設甲、乙、丙三種貨物的單價分別為x、y、z元，由題意得： 設m (3x+7y+z) +n (4x+10y+z)=x+y+z 則 (3m+4n) x+(7m+10

9、n) y+(m+n)z= x+y+z 3m+4n=7m+10n= m+n=1，從而求得m=3，n= -2 x+y+z= 3 (3x+7y+z) -2 (4x+10y+z)=3。評注：本題列出的是不定方程組，無法求出x、y、z，但本題的目標不是求x、y、z，而是求x+y+z，因此本題通過待定系數法求出x+y+z與3x+7y+z和4x+10y+z的關系，從而整體地求出x+y+z。這是整體思想的體現。例6 某手表每小時比準確時間慢3分鐘，若在清晨4點30分與準確時間對準，則在當天上午手表指示時間為10點50分時，準確時間應該是多少？分析：設所求的準確時間為x小時，則小時為手表從清晨4點30分走到上午

10、10點50分所慢的小時數，小時為手表從清晨4點30分走到上午10點50分時，實際走的準確的小時數，因為手表每走1小時要慢小時，所以小時慢了小時，則=解：設所求的準確時間為x小時，由題意得： = 解之得：答：準確時間應該是11點10分。例7 元，往后每增加1千米增收1.2元。現從A地到B地共支出車費24元，如果從A先步行460米，然后乘車到B也是24元，求從AB的中點C到B地需支付多少車費。分析： n是乘車路程大于5千米部分所含1千米的個數，不足1千米也要算1千米，從A地到B地共支出車費24元，代入可計算出n=11，于是5+110AB5+111 同樣5+15+111，這樣可求出AB的范圍，從而求

11、出以CB的范圍。解：設從A地到B地的路程為x千米， 則5+110x5+111，且 5+15+111， 即15x16，且15.46x，15.46n0，則提價最多的方案是哪一種？解：設飲料原價格為1，則按甲提價方案提價后的價格是：(1+m%) (1+n%) 按乙提價方案提價后的價格是：(1+n%) (1+m%) 按丙提價方案提價后的價格是：(1+)2 顯然甲、乙兩種方案最終價格是一致的，因而只需比較(1+m%) (1+n%)與(1+)2的大小 (1+m%) (1+n%)=1+ m% +n%+ m%n%=1+(m+n)% + m%n% (1+)2=1+2+()2=1+(m+n)%+ ()2 所以只要

12、比較m%n%與()2的大小即可 ()2- m%n%=-=0 ()2 m%n%，即(1+)2(1+m%) (1+n%) 因此，丙種方案提價最多。評注：本題應用了比差法來比較大小，比差法是比較大小的最常用方法。三、 鞏固練習選擇題1、甲是乙現在的年齡時，乙10歲；乙是甲現在的年齡時，甲25歲，那么( ) (2000年全國初中數學競賽試題) A、甲比乙大5歲 B、甲比乙大10歲 C、乙比甲大10歲 D、乙比甲大5歲 2、一次考試共有5道試題，考后成績統計如下：有81%的同學做對第一題，91%的同學做對第二題，85%的同學做對第三題，79%的同學做對第四題，74%的同學做對第五題。如果做對三道題以上(

13、包括三道)的同學為考試合格，則這次考試的合格率至少為( )A、70% B、74% C、81% D、73%(第六屆祖沖之杯數學邀請賽試題)3、甲、乙、丙、丁四個拿出同樣多的錢，合伙訂購同樣規格的若干貨物。貨物買來后，甲、乙、丙分別比丁多拿了3，7，14件貨物，最后結算時，乙付給丁14元，那么丙應付給丁( ) (第七屆祖沖之杯數學邀請賽試題)A、28元 B、56元 C、70元 D、112元4、某旅館底層客房比二層客房少5間，某旅游團有48人，若全部安排在底層，每間住4人，房間不夠；而每間住5人，有的房間未住滿。又若全部安排在二層，每間住3人，房間不夠；而每間住4人，有的房間未住滿。這家旅館底層共有

14、房間( )A、9個 B、10個 C、11個 D、12個5、如果某一年的5月份中，有5個星期五，它們的日期之和為80，那么這個月的4日是星期( )A、一 B、三 C、五 D、日6、有面額為壹圓、貳圓、伍圓的人民幣共10張，全部用來購買一把價值為18元的雨傘，不同的付款方式共有( )A、1種 B、2種 C、3種 D、4種填空題7、某校初一、初二、初三各年級的學生數相同，已知該校的初一的男生數與初二的女生數相同，初三男生占全校男生的，那么全校女生占全校學生的 8、在一家三口中，每兩個人的平均年齡加上余下的一人的年齡，分別得到49，62，63，那么這三個人中最大年齡與最小年齡的差是 9、某校初三學生在

15、操場排隊，站2排對齊恰剩1人，站3排對齊恰剩2人，站4排對齊恰剩3人，站5排對齊恰剩4人，站6排對齊恰剩5人，而站7排對齊恰無剩余，則該校初三學生最少有 人10、某縣有500名學生參加第七屆祖沖之杯數學邀請賽，平均得分63分。該縣男生平均得分60分，女生平均得分70分，則該縣參賽男生比女生多 人11、，結果與正確的答案相差1.4，則正確的乘積結果是 12、99名學生去劃船，大船每只可乘坐12人，小船每只可乘坐5人，如果這些學生把租來的船都坐滿，則大船和小船應該分別租 只。解答題13、某商店有甲、乙兩種鋼筆共143支，甲種鋼筆每支6元，乙種鋼筆每支3.78元，某學校購了該商店的乙種鋼筆全部和部分

16、甲種鋼筆，經過核算后，發現應付款的總數與甲種鋼筆的總數無關，問購買的甲種鋼筆是該商店甲種鋼筆總數的百分之幾？14、某收購站分兩個等級收購小麥，一等小麥每千克為a元，二等小麥每千克為b(ba)元，現有一等小麥x千克，二等小麥y千克，若以兩種價格的平均數收購，是否公平合理？15、在一段公路上，學生均勻地植樹10棵，這批樹由卡車運來，問卡車在什么地方卸車最好(可使學生們搬樹的距離和最小)？16、有一批貨，如果本月初出售，可獲利100元，然后將本利都作某項投資，已知該項投資的月息為2.4%；如果下月初出售，可獲利120元，但要付5元保管費，試問這批貨何時出售比較好(本月初還是下月初)？說明理由。17、

17、某市初中數學聯賽，有A、B、C、D四校參加，A、B校共有16名選手，B、C校共有20名選手，C、D校共有34名選手，且各校選手人數正好按A、B、C、D次序從小到大排列，求各校人數。18、某人下午6點多外出時，看手表上兩指針的夾角為110，下午7點前回家時發現兩指針的夾角仍為110，他外出多少時間？19、有4位小朋友的體重都是整數千克，他們兩兩合稱體重，共稱了5次，稱得的千克數分別是99、113、125、130、144。其中有兩人沒有一起稱過，那么這兩人中體重較重的人的體重是多少千克？20、民用電收費規定，每月每戶不超過24度按每度9角收費，超過24度時，超過部分按每度2元收費，并規定用電按整度收費。某月甲戶比乙戶多交電費9元6角，