1、天銳教育必修2第四章直線和圓復習 一圓的標準方程學習目標：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程；能用待定系數法、幾何法求圓的標準方程.知識要點：1. 圓的標準方程：方程表示圓心為A（a，b），半徑長為r的圓.2. 求圓的標準方程的常用方法：（1）幾何法：根據題意，求出圓心坐標與半徑，然后寫出標準方程；（2）待定系數法：先根據條件列出關于a、b、r的方程組，然后解出a、b、r，再代入標準方程.例題精講：【例1】過點、且圓心在直線xy20上的圓的方程是（ ）.A.（x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）24解：由圓心

2、在直線xy20上可以得到A、C滿足條件, 再把A點坐標（1，1）代入圓方程. A不滿足條件. 所以，選C.另解：設圓心C的坐標為(a，b)，半徑為r, 因為圓心C在直線x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圓的方程為（x1）2+（y1）2=4. 選C.【例2】求下列各圓的方程：（1）過點，圓心；（2）圓心在直線上的圓C與y軸交于兩點解：（1）設所求圓的方程為. 則 ， 解得. 圓的方程為.（2）圓心在線段AB的垂直平分線上，代入直線得，圓心為，半徑. 圓C的方程為.【例3】一個圓經過點與，圓心在直線

3、上，求此圓的方程.解：設圓心，則， 解得.圓的半徑. 圓的標準方程為.另解：線段AB的中點，即. 直線AB的斜率.所以弦AB的垂直平分線的方程為，即.解方程組，得， 即圓心.圓的半徑. 圓的標準方程為.點評：兩種解法，都是先求出圓心與半徑，第一種解法用設圓心坐標后列方程而求，第二種解法用兩條直線的交點求圓心. 由上可得，解法關鍵都是如何求圓心與半徑.二圓的一般方程學習目標：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的一般方程；能用待定系數法求圓的一般方程.知識要點：1. 圓的一般方程：方程 （）表示圓心是，半徑長為的圓. 2. 軌跡方程是指點動點M的坐標滿足的關系式.例題精講：【例1】求

4、過三點A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圓的方程.解：設所求圓的方程為. 則， 解得. 圓的方程為.【例2】設方程，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及圓心的軌跡方程. 解：配方得，該方程表示圓，則有，得，此時圓心的軌跡方程為，消去m，得，由得x=m+3. 所求的軌跡方程是，【例3】已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓上運動，求線段AB的中點軌跡方程. （教材P133 例5 另解）（利用中點坐標公式可更簡單）解：設圓的圓心為P(-1,0)，半徑長為2，線段AB中點為M(x, y). NM(x,y)AyxPB(4,3)取PB中點N,其坐標為(,)，即N(,). M、N為AB

5、、PB的中點, MNPA且MN=PA=1. 動點M的軌跡為以N為圓心，半徑長為1的圓.所求軌跡方程為：.點評：此解為定義法，利用中位線這一幾何性質，將所求動點的軌跡轉化為到定點的距離等于定長，即圓的定義. 解法關鍵是連接PB，取PB的中點N，得到MN的長度為定值. 教材中的解法是通過設動點的坐標，然后找出相關的幾何條件，得到動點坐標所滿足等式即所求軌跡方程.【例4】求經過兩點，且在兩坐標軸上的四個截距之和為4的圓的方程.解：設所求圓的方程為. 當時，則； 當時，則.則， 解得. 圓的方程為.點評：用待定系數法的一般步驟是“設（設含待定系數的方程）列（利用條件列出系數所滿足的方程組）求（解方程組

6、）寫（寫出所求方程）”. 當已知圓上三點或兩點時，選用圓的一般方程形式較為簡單. 當易知圓心和半徑時，選用圓的標準方程形式易求解.三 直線與圓的位置關系學習目標：能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.知識要點：1. 直線與圓的位置關系及其判定： 方法一：方程組思想，由直線與圓的方程組成的方程組，消去x或（y），化為一元二次方程，由判別式符號進行判別；方法二：利用圓心（）到直線的距離，比較d與r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相離.2. 直線與圓的相切研究，是高考考查的重要內容. 同時，我們要熟記直線與圓的各種方程、幾何性質，也要掌握一些

7、常用公式，例如點線距離公式例題精講：【例1】若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2y22x0相切，則a的值為 .解：將圓x2y22x0的方程化為標準式：（x1）2y21, 其圓心為（1，0），半徑為1，由直線（1a）xy10與該圓相切，則圓心到直線的距離， a1. 【例2】求直線被圓所截得的弦長. 解：由題意，列出方程組，消y得，得，.設直線與圓交于點，則 =.另解：圓心C的坐標是，半徑長. 圓心到直線的距離.所以，直線被圓截得的弦長是.【例3】若經過點的直線與圓相切，則此直線在y軸上的截距是 . 解：圓的標準方程為，則圓心，半徑.設過點的直線方程為，即. 圓心到切線的距離，解得. 直線方程為

8、，在y軸上的截距是1.點評：研究直線和圓的相切，簡捷的方法是利用公式，還可以由方程組只有一個實根進行解答. 選擇恰當的方法，是我們解題的一種能力.【例4】設圓上的點A（2，3）關于直線x+2y=0的對稱點仍在這個圓上，且與直線x-y+1=0相交的弦長為，求圓的方程. 解：設A關于直線x+2y=0的對稱點為A. 由已知得AA為圓的弦，得到AA的對稱軸x+2y=0過圓心.設圓心P（-2a，a），半徑為r， 則r=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2.又弦長，圓心到弦AA的距離為， ， 即4(a+1)2+(a-3)2=2+， 解得a=-7或a=-3.當a=-3時，r=；當a=-7時，r=. 所求

9、圓方程為(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.點評：在解答與圓的弦長相關的一些問題時，常用勾股定理，得到圓心到弦的距離d、半徑r、半弦長的一個勾股式. 這種方法與方程組的思想求解弦長問題相比，計算過程較為簡單.四 圓與圓的位置關系學習目標：能根據給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系. 掌握坐標法的思想，用解方程組判別位置關系或求交點坐標.知識要點：兩圓的位置關系及其判定： 設兩圓圓心分別為，半徑分別為，則：（1）兩圓相交；（2）兩圓外切；（3）兩圓內切；例題精講：【例1】已知圓：，圓：（1）試判斷兩圓的位置關系；（2）求公共弦所在的直線方程.解：（1）圓的圓心為

10、（3,0），半徑為，圓的圓心為（0，2），半徑為，又，圓與相交.（2）由，得公共弦所在的直線方程為.【例2】求經過兩圓和的交點，并且圓心在直線上的圓的方程.解：設所求圓的方程為，即, 則所求圓的圓心為.圓心在直線上，解得. 所求圓的方程為【例3】已知圓C與圓關于直線對稱，則圓C的方程為 A. B. C. D.解：已知圓的半徑，圓心，圓心關于直線的對稱點為，則圓C的方程為. 選C.點評：圓關于直線的對稱圖形仍然是圓，半徑不變，圓心關于直線對稱. 我們要掌握一些常見對稱問題的解答思路，例如點關于直線的對稱，曲線關于直線的對稱，曲線關于點的對稱等，解答理論基礎有中點坐標公式、垂直時斜率乘積為1、代入

11、法、轉化思想.同時，我們也要掌握一些簡單對稱，如點關于直線的對稱點為.【例4】求圓與圓的公共弦的長.解：由題意，列出方程組，消去二次項，得.把代入，得，解得，于是，兩圓的交點坐標是，所以，公共弦長.另解：由題意，列出方程組，消去二次項，得，它即公共弦所在直線的方程.圓的圓心到直線的距離為.所以，兩圓的公共線長為.點評：為何兩圓的方程消去二次項后，即為公共弦所在直線的方程，我們易由曲線系的知識可得. 比較方程思想與幾何方法求解兩圓的公共弦長，幾何方法更為簡捷. 先求公共弦所在直線，再求一圓心到直線的距離，通過公式求得弦長.五直線與圓的方程的應用M(x,y)Q(4,0)oxyP【例1】實數滿足，

12、求下列各式的最大值和最小值：（1）；（2）.解：原方程為，表示以為圓心，2為半徑的圓. （1）設，幾何意義是：圓上點與點連線的斜率. 由圖可知當直線MQ是圓的切線時，取最大值與最小值。 設切線，即. 圓心P到切線的距離，化簡為，解得或. 的最大值為0,最小值為.（2）設，幾何意義是：直線與圓有公共點. 圓心P到直線的距離2，解得. 的最大值為，最小值為.點評：代數式最大值最小值的研究，常用數形結合思想方法，將要研究的代數問題轉化為幾何問題，關鍵是如何挖掘代數式的特點，利用幾何意義進行轉化。例如，由代數式聯想到兩點的距離公式，或圓的方程；由代數式聯想到兩點的斜率，或直線的方程；由代數式聯想到直線

13、的方程；由代數式聯想到數軸上到兩點的距離之和，等等。六 空間直角坐標系學習目標：通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置.知識要點：1. 空間直角坐標系：從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標系叫做空間直角坐標系O-xyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸. 通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面.2. 右手直角坐標系：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.

14、3. 空間直角坐標系中的坐標：對于空間任一點M，作出M點在三條坐標軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，若射影在相應數軸上的坐標依次為x、y、z，則把有序實數組(x, y, z)叫做M點在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(x, y, z)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標.4. 在xOy平面上的點的豎坐標都是零，在yOz平面上的點的橫坐標都是零，在zOx平面上的點的縱坐標都是零；在Ox軸上的點的縱坐標、豎坐標都是零，在Oy軸上的點的橫坐標、豎坐標都是零，在Oz軸上的點的橫坐標、縱坐標都是零M（6，-2,4）Oxyz624¤例題精講：【例1】在長方體中，AB=

15、12，AD=8，=5，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標.解：以A為原點，射線AB、AD、分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、(0,0,5)、(12,0,5)、(12,8,5)、(0,8,5).【例2】已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標.分析：先由條件求出正四棱錐的高，再根據正四棱錐的對稱性，建立適當的空間直角坐標系. 解：正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，正四棱錐的高為.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB、

16、BC所在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2,-2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,).點評：在求解此類問題時，關鍵是能根據已知圖形，建立適當的空間直角坐標系，從而便于計算所需確定的點的坐標.【例3】在空間直角坐標系中，求出經過A(2,3，1)且平行于坐標平面yOz的平面的方程.分析：求與坐標平面yOz平行的平面的方程，即尋找此平面內任一點所要滿足的條件，可利用與坐標平面yOz平行的平面內的點的特點來求解.解：坐標平面yOzx軸，而平面與坐標平面yOz平行， 平面也與x軸垂直， 平面內的所有點在x

17、軸上的射影都是同一點，即平面與x軸的交點， 平面內的所有點的橫坐標都相等。平面過點A(2,3,1)， 平面內的所有點的橫坐標都是2， 平面的方程為x=2.點評：對于空間直角坐標系中的問題，可先回憶與平面直角坐標系中類似問題的求解方法，再用類比方法求解空間直角坐標系中的問題。本題類似于平面直角坐標系中，求過某一定點且與x軸(或y軸)平行的直線的方程. 空間兩點間的距離公式¤學習目標：通過表示特殊長方體（所有棱分別與坐標軸平行）頂點的坐標，探索并得出空間兩點間的距離公式.¤知識要點：1. 空間兩點、間的距離公式：.2. 坐標法求解立體幾何問題時的三個步驟：在立體幾何圖形中建立空

18、間直角坐標系；依題意確定各相應點的坐標 ；通過坐標運算得到答案.3. 對稱問題，常用對稱的定義求解. 一般地，點P(x, y, z) 關于坐標平面xOy、yOz、zOx的對稱點的坐標分別為(x, y,- z)、(-x, y, z)、(x, -y, z)；關于x軸、y軸、z軸的對稱點的坐標分別為(x, -y,- z)、(-x, y, -z)、(-x, -y, z)；關于原點的對稱點的坐標為(-x,- y,- z).¤例題精講：【例1】已知A(x,2,3)、B(5,4,7)，且|AB|=6，求x的值.解：|AB|=6， 即，解得x=1或x=9.【例2】求點P(1,2,3)關于坐標平面xOy的對稱點的坐標.解：設點P關于坐標平面xOy的對稱點為，連交坐標平面xOy于Q，則坐標平面xOy，且|PQ|=|Q|，在x軸、y軸上的射影分別與P在x軸、y軸上的射影重合， 在z軸上的射影與P在z軸上的射影關于原點對稱，與P的橫坐標、縱坐標分別相同，豎坐標互為相反數， 點P(1,2,3)