1、中外高中數學教材比較研究一、 香港、臺灣地區及國外（以下簡稱“境外”）高中數學教材的特點1提供豐富背景，引導探索感悟，強化應用意識境外許多優秀教材一個共同的特點是，提供了豐富的背景資料，突出數學的有用性。如日本教材充分突出數學應用的工具性，十分重視理論聯系實際。比如，其中的一套教材在每一章開頭都配上與本章課題相應的圖案，“平行與合同”一章的標題圖是一架靜電復印機在復印。講等式的性質時聯系天平稱量，講函數時聯系電燈的亮度等。新加坡的教材也很好地體現了數學的應用價值，不過，他們沒有把“應用”單列成一塊，而是體現和滲透于整個課程中，貫穿始終。不是人為地拼湊應用問題，更不是先有純粹的數學知識，然后才有

2、數學知識的應用。美國教材更是將數學的有用性發揮到極至，如其UCSMP教材中的三角函數部分就充分體現了這一特點：芝加哥1951年1981年的月平均氣溫、阿拉斯加的安克雷奇一年中有代表性的10天的白晝時間、單擺、風車等與三角函數有關的問題被安排在例題、習題中。境外教材普遍重視數學交流，盡可能地給學生提供探索、發現的機會。如英國教材重視對問題的開放化，美國教材中有數學萬花鏡、數學游戲、錯在哪里、想想看、數學史話等欄目，有的教材還在引入概念時提供啟發發現的原型（思考題），以引導探索的方式進行知識呈現。很多美國教材都有供進一步研究的參考書目、供進一步了解或研究的相關網址等。 在知識呈現方式上，同樣也強調

3、增強探索性。如美國UCSMP教材中三角函數一章有這樣一個問題：大風車的輪子頂點離地面45英尺，輪子以每分鐘2周勻速運動。某人登上車輪，10秒后到達頂點，。這個作業告訴你如何導出這個函數關系式。在對這個問題的探索性活動結束后還給出了一個“實習作業”：到娛樂公園收集有關風車輪的尺寸和轉速，并用一個模型來描述人在風車上離地面的高度與登上風車的時間的函數關系。將現代教育技術手段用于探索、發現，更是境外教材普遍使用的。美國的一本教材講“函數圖象的平移”時，讓學生研究函數y=|x|,y=|x-3|,y=|x|+3等的圖象，要求學生先手畫，再用圖形計算器檢驗，很自然地由學生自己發現了：其實都是由y=|x|“

4、變”過來的，使學生真正成為建構知識的主體。正如日本的課題標準中所描述的，要給學生提供更多的探索機會。如實踐操作（如實地測量）、社會調查、思考分析等，在學生獲得成功的同時，也發展了其積極的態度和自身數學上的成就感（新加坡的大綱中也有類似的提法）。這是數學教學的目標之一。2形式生動活潑，編排機動靈活，遵循認知規律從教學內容上看，境外優秀教材（如美國）重視分析學生的心理特征，根據不同年齡段的學生的認知結構的可接受性，安排教學內容。如大多數美國教材、香港教材和IB課程，在處理解析幾何內容時，都把它分成直線、圓和圓錐曲線三部分，分別插入各個年齡段去講授，直線方程在初二就全部解決了。我國為了保證解析幾何內

5、容的完整性，直線方程一直到高二才出現在課本上。從呈現方式上看，國外許多優秀教材的呈現方式豐富多彩，強調用豐富的背景材料增加學生的感性認識，注意運用學科知識的內在聯系漸近地深化，循序漸進地發展。如美國教材ELEMENTARY MATHEMATICAL ANALYSIS（Throdorc her berg and James.D.Bristol）通過系統整理和復習初等數學，介紹初等微積分的基本方法。再如美國大多數教材在處理函數概念時，都是先定義關系，再將函數定義成一種特殊的關系，映射觀點只是一帶而過。在這一點上，到目前為止，我國的數學教育工作者還沒有一個統一的認識，原因之一就是教師、研究人員以大人

6、的認知能力去評價學生，總認為集合映射很容易理解，包括數列的“N”定義。可能這些人已經忘記了自己當初的學習經歷，或者也可能他們確實很聰明。我們幾十年來從教的經驗得出的結論與他們大不相同。 臺灣的一本教材在處理極限這部分內容時更是獨具一格：不用嚴格的“N”、“”定義，而采用描述性的定義方式。這樣，他們先定義函數（連續）極限，后研究數列（離散）極限，因前者可用連續函數的圖象引導，在直觀圖象的啟發下，學生很容易掌握，在此基礎上再學習數列極限反而容易了。這種從學生認知能力出發進行的別出心裁的設計是很值得我們學習的。 英國、新加坡的教材更是按學生能力和水平，將內容進行“多層次結構”的設計，對不同學生提不同

7、要求，就是在教學課時的安排上也很靈活。這種不僅考慮不同年齡學生的思維能力、認知水平，而且對同年齡的學生的學習能力也區別對待的做法是值得充分肯定的。另外，境外教材設計的靈巧，印刷的精美，形式的活潑，很強的可讀性都是值得我們認真學習的。3目標取向多元，充分發展個性，注重橫向聯系德國中小學教育有多種形式，分主要學校、實科學校和完全中學。根據培養目標的不同，各自有著自己的教學大綱和教材，這樣的教育是多元化的。這種教育目標多元化正是德國先進教育理念的體現。這種多元化的教育觀既體現了社會對人的需求的多元化，也能夠根據學生各自對數學的興趣、愛好、能力，盡量做到發展個性，以人為本。 日本教材體現了面向全體學生

8、的原則，堅持“大眾數學”的理念。他們的學生小學二年級起就學習統計知識，初三進一步學習概率與統計，讓學生在初中就懂得資料整理、資料比較、古典概率、樣本調查等知識。為了使這些重要知識的教學落到實處，他們采取了多軌制的形式，分層教學，使全體學生掌握“必需的數學”。另一方面，日本的數學教材很強調內容的改革，大膽刪去了平面幾何的系統教學，只剩下最實用的部分，而且不自成系統。他們將概率統計串于全套教材之中，既把它作為實用知識和方法，又把它作為培養學生邏輯思維能力的素材。 臺灣教材的理念是：著重從實例出發，使學生有具體的概念，再做理論的推演，互相印證。以達由淺入深，循序漸進之功效。他們高一、高二統一教材，題

9、為基礎數學，高三階段，文科學普通數學，理科學理科數學。總結構是分塊組合混合編寫。這種做法與我們的新課程標準的處理方法有相似之處，兩者比較，我們的可選擇性更強，但操作起來可能復雜一些。美國中學數學教材的多樣化更是突出：象威士康星州的一個學校的教學計劃，光是數學課程，就提供了不少于15種的學習程序，最淺的只達到我們初二的水平，高的則達到我國的大一結束的水平。根據這種要求，教材的多樣化就隨之形成了。盡管美國的中學數學教材種類繁多，系統多樣，但其共性特征也很明顯：都注意于學生自學，該詳細處則詳細，該放手時則放手：很重視探究問題的安排。美國的這種讓各種教材相互競爭，讓不同的人選用不同的教材的做法，對人的

10、全面素質的培養、對學生的個性發展，無疑是十分有益的。西方的不少教材打破幾何、代數、三角各分支之間的界限，混合在一起講授，這樣可減少內容的重復講授，顯得緊湊而便于學生掌握。如美國Prentice Hall出版的Advanced Mathematics中的一章“Polar Coordinate and Complex Numbers”(極坐標和復數)，這一章揭示了“極角和輻角”、“極徑和模”之間的天然聯系，使學生比較輕松地掌握了極坐標及復數這兩個不太容易的數學內容，體會了這兩個數學概念的聯系。4文化氛圍濃厚，材料新穎有趣，技術運用充分在美國的一本1989年出版的教材中的邏輯部分，教材在邊沿空白處介

11、紹了英國數學家George Boole(18151864)。他的著作思想的規律把邏輯發展為抽象的數學系統，出現了邏輯運算的規則，“且”“或”“非”的提出和符號。用這一思想，他建立了邏輯代數。又介紹了德國數學家De Morgan(18061871)、英國數學家John Venn(18341922)的治學精神和貢獻。美國上世紀70年代出版的一本幾何課本中介紹了五位科學家的傳記，他們并不是數學家（分別是女建筑家、測量學天文學家、工程數學家、經濟學家等），重點介紹他們的治學精神和把數學應用到別的學科中去的事跡。又介紹了地質工作者、普通計件工、制圖工、木工、會計、計算機軟件的發展等不同工種的經歷，著重說

12、明數學的應用。美國的Ray C.Jurgensen,Richard G.brown,John W.Jurgensem等人所編的一本幾何教材中向學生介紹了計算值的幾種不同途徑（要求學生用計算器計算）：十八世紀的Sharpe:十七世紀的Waills:十七世紀的Leibniz：及十六世紀的Vieta的一種計算方法。以上這些事實說明一個問題：國外的很多優秀教材特別重視對學生人文精神的培養。很多國家的教材都是在激烈的競爭中不斷創新，不斷完善的。正是由于這種與時俱進的精神，使其教材的內容始終體現出時代感，極大可能地將最新成果加以包容。如當計算機進入教學后，美國的一些教材就將運用計算機進行函數擬合引進教材、

13、用圖形計算器畫函數圖象研究圖象變換問題，等等。由德國施普林格出版社1998年出版的，COMAS（美國數學及其應用聯合會）組織專家編著的的一本教材Principles and Practice of Mathematics中在“線性代數”一節中的“背景聚集”欄目中介紹了“機器人和幾何學”，并配了相關圖片。該書涉及的新穎有趣的“背景”材料還有很多，如“汽車面積計算”、 “是否正在發生全球變暖的情形？”,等等。這些充滿新意的材料既使學生及時接觸到最新的科技成果、最緊迫的社會問題，也使增強了數學應用意識，更激發了學習的興趣。美國的教材FUNDAMENTALS OF MATHEMATICS（1989年版

14、）中有很多有趣的“游戲題”：通常使用的唱片，直徑是12吋，轉速是每分鐘33轉，問唱片上有多少條槽？”這是一個不需計算的問題，只有一條槽，因為它是連通的。肯定會有學生會拿起筆或計算器，結果令人捧腹。更為有趣的是，上述的COMAS編著的教材Principles and Practice of Mathematics在“向量”一節的“背景聚集”欄目中介紹了一張在正在飛行的飛機上打網球的圖片：“我們不知道Ivan Ungen和Gladys Roy是否確實在一架正在飛行的飛機機翼上打網球。若確實的話，設想一下她們該怎樣處理速度向量和力向量。當Gladys將球直接擊向Ivan時會發生什么？如果她希望Iva

15、n將球擊回的話她該向哪兒擊球？飛機加速、減速和勻速時有什么不同？”這樣的問題，既有探索性，又充滿趣味，確能調動學生學習數學的積極性。國外教材都重視對新教育技術的運用，如在上面所介紹的月平均氣溫、白晝時間等問題中用計算機進行函數擬合，講圖象變換時用圖形計算器作圖，用計算機（器）計算等。事實上，在很多教材中都有著計算器的界面和用法介紹，對于傳統的計算手段不適應的問題，都是盡可能地將計算機（器）加以運用。如美國Ray C.Jurgensen主編的一本幾何教材中，在求等腰三角形內接矩形的最大面積時就用了計算器，甚至在進一步研究圓錐的內接圓柱的體積的最值問題時，書中還附有用BASIC語言敘述的程序。 這

16、里還需要特別說明一下，以上所介紹的都是境外教材中的優點，是從大量的境外教材中找出的、可供我們借鑒的成功的方面。其實，境外教材也并不是十全十美，也還都存在著很多不足，或不適用于我們的地方。如有些教材要求太低，雖然在創新意識上很重視，但由于知識基礎太薄弱，思考、創新的數學基礎得不到保證。太過于追求新意，導致與數學相去甚遠，學生的數學能力得不到有效訓練。太多的具體問題，使數學淹沒其中，學生的數學知識系統性太差。練習、習題的量不足，使學生的數學技能得不到有效訓練。等等。這些都是我們應盡量避免的。二、 中國境內現行教材特點分析經過幾代人共同努力，我國中學數學教育成績顯著，這些成績的取得與具有中國特色的中

17、國數學教材也是密切相關的。可以這么說，我國現行高中數學教材在某些方面還是比較優秀的，甚至為西方國家（如美國）的一些教材專家所重視。如：我國現行高中數學教材強調數學知識的系統性，使我們的高中畢業生掌握了較為完整的初等數學知識；強調三大基礎能力，使我們學生的邏輯推理能力、運算能力和空間想象能力得到了充分的訓練；強調數學技能的培養，使我們的學生數學基礎扎實，解題能力強。最新一版的試驗教材還重視了數學思想方法的滲透，有效地培養了學生的思維能力。同時，試驗教材也在一定程度上加強了對數學應用性的體現，如講反函數，原來的教材就是從y=2x+7解x，再引入反函數的概念，既沒有體現產生的過程，反映引入反函數的必

18、要性，又過于抽象，難以理解。試驗教材中改為從已知時間求位移，變為已知位移求時間，使數學源于生活得到充分體現，且加強了與其它學科的橫向聯系。這些成功經驗在編寫新教材時要得到充分的繼承。不過，我們不能沉迷于已有的成績，要更多地進行理性的思考，對現行教材的不足之處要有一個清醒的認識，并在新教材的編寫過程中加以克服。以下就是我國教材的一些不足之處。1內容過于陳舊，缺少現代氣息缺少現代意識，體現“教育面向現代化，面向世界，面向未來”不夠。幾十年來，內容沒有一點變化，微積分等內容幾進幾出，基本未作考試要求，所以，也沒有幾所學校真正教過。對社會生活有用的概率、統計、向量等內容遲遲未能進入教材。例、習題中也多

19、為理論性的問題，缺少有生活氣息的內容，沒有反映最新科技成就的內容，沒有充滿趣味的內容，使人感到數學就是一付冷面孔。現行試驗版教材已有所改進，但還不很成功。2結論呈現為主，探索活動不足把數學看成是一些現成的法則直接“告訴”學生，未提供知識的發生過程。呈現方式呆板，缺少符合學生思維的求疑、猜測、嘗試、驗證、分析和綜合的過程。教材就象是文獻式的，只提供現成的結論。 現代建構主義的學習理論在國內教材中體現不夠，教材沒有提供讓學生主動進行知識建構的空間。由于沒有脫離“數學學習是累積式、接受式的”傳統的學習觀，片面追求學習的“效率”（其實還是以接受知識的多少來衡量效率的高低），教材幾乎沒有給學生留有思考的

20、空間，發揮的余地。3忽視背景揭示，應用缺乏空間西方教材中數學知識的引入大多都以閱讀材料的方式出現，這些材料內容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動具體的現實問題，有讓人著迷的數學史，有發人深省的懸念，也有沒有解決的各種問題，還有現代數學及其應用的最新發展等。對數學知識和關鍵概念，定義，定理，將有意義的例子穿插其中。學生在娓娓動人的敘述和問題求解中學到了知識，懂得了數學的來源和背景，也體會了數學的應用與價值。如美國芝加哥大學著名數學教育家Usiskin主編的UCSMP教材第一冊中，在介紹十進制時，呈現在學生面前的是古埃及、古羅馬的阿拉伯數字的演化過程的圖片。又如在Prentice Hall出版的美國

21、教材Advanced Mathematics第一章第四節“Relation and Function”（關系與函數）一開頭為了介紹對應與逆對應的概念，給出了“密碼的編制與破譯方法”的問題；在引入矩陣乘法時，要求學生用矩陣作為工具找出飛機航運的網絡關系等。這些都使知識的發生過程得到暴露。反觀我國教材 ，聯系實際不夠，不能體現數學“源于實踐、用于實踐”的本質，沒有體現數學是“生活常識的精微化”特點。所有的一點數學應用，也主要是機械套用現成結論，去處理一些人為編造的“應用題”。其實，現代社會生活、科學技術、生產實踐中存在大量鮮活的材料，只要我們充分挖掘，精心設計，就能給出很多的具有趣味，生活味濃厚的

22、“應用”問題4過分強調體系，“認知”存在困難觀念陳舊，還主要以上世紀50年代的前蘇聯的那套思路為指導思想，過分強調知識的邏輯結構體系，過分追求形式化，而不能考慮學生的思維能力、認知水平。一再堅持用“映射”的觀點定義函數就是一個典型。又如將立體幾何、解析幾何放到高中階段“系統”講授，為的就是“體系”。其實，如果從小學開始逐步滲透空間概念，就不會出現現在的高中生學習立體幾何感到困難重重的局面。同樣，解析幾何各部分內容對學生認知能力的要求也不盡相同，完全可以根據其抽象程度的不同，結合學生的認知水平，將其分解到相應的年級。這種滾動式的學習比集中接受效果一定要好。另一方面，知識的呈現方式也要與學生的認知

23、能力相適應，高中生與小學生、初中生的思維能力和方式是不一樣的，高中教材既不能象小學、初中那樣過分依賴直覺，也不能陷入片面追求形式化的誤區。要有問題的提出和形成過程，規律的發現過程，思路的探索過程，還要有總結、反思的提升過程，這在現行教材中也做得不夠。5目標取向單一，個性難以發展這一點從我們的單一教材，統一要求，統一高考就可以看到。其弊端也是非常明顯的。因為人的能力、興趣愛好、個性特長不一樣，將來從事的職業也不盡相同，其對數學的需求不可能完全一致。新的數學課程標準提出的“人人學有用的數學，不同的人學不同的數學”，是非常正確的。在編寫新教材時應充分注意到不同的人對數學的不同要求，當然，也要注意到不同的人對數學的相同的要求：對