1、基本內(nèi)容三元一次方程與一次方程的應(yīng)用知識(shí)精要一、三元一次方程1、如果方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次，這樣的方程組叫做三元一次方程組。2、三元一次方程組的的解法的重要思路是：把三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。3、根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由可以歸納出此類(lèi)方程組為：類(lèi)型一：有表達(dá)式，用代入法。類(lèi)型二：缺某元，消某元。類(lèi)型三：相同未知數(shù)系數(shù)相同或相反，加減消元法。二、一次方程的應(yīng)用1、列一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、歹U、解、答”五步，即：(1)審：通過(guò)審題，把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個(gè)未

2、知數(shù)；(2)找：找出能夠表示題意一個(gè)或兩個(gè)相等關(guān)系；(3)歹U:根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程(組)；(4)解：解這個(gè)方程組，求出一個(gè)或兩個(gè)未知數(shù)的值；(5)答：在對(duì)求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出答案。2、一次方程常碰到的幾中類(lèi)型的應(yīng)用題(1)和、差、倍、分問(wèn)題。(2)調(diào)配問(wèn)題。從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系，常見(jiàn)是“和、差、倍、分”關(guān)系，要注意調(diào)配對(duì)象流動(dòng)的方向和數(shù)量。(3)行程問(wèn)題。相遇問(wèn)題(相向而行)，這類(lèi)問(wèn)題的相等關(guān)系是：各人走路之和等于總路程或同時(shí)走時(shí)兩人所走的時(shí)間相等為等量關(guān)系。追及問(wèn)題(同向而行)，這類(lèi)問(wèn)題的等量關(guān)系是：兩人的路程差等于追及的路程或

3、以追及時(shí)間行程問(wèn)題可以采用畫(huà)示意圖的輔助手段來(lái)幫助理解題意，并注意兩者運(yùn)動(dòng)時(shí)出發(fā)的時(shí)間和地點(diǎn)。(4)工程問(wèn)題。其基本數(shù)量關(guān)系：工作總量=工作效率X工作時(shí)間；合做的效率=各單獨(dú)做13的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時(shí)，常設(shè)總工作量為“1”，分析時(shí)可采用列表或畫(huà)圖來(lái)幫助理解題意。(5)溶液配制問(wèn)題。其基本數(shù)量關(guān)系溶質(zhì)=溶液X濃度 (濃度=可上，溶液=可上) 溶液濃度溶液=溶質(zhì)+溶劑。(6)禾1J潤(rùn)率問(wèn)題。其數(shù)量關(guān)系是：商品的利潤(rùn)率商品利潤(rùn),商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品 商品進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)。(7)銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題。=利息X利息稅率。其數(shù)量關(guān)系是：利息=本金X利率X存期；本息=本金+利息，利息稅(8)數(shù)字問(wèn)題。

4、要正確區(qū)分“數(shù)”與“數(shù)字”兩個(gè)概念，這類(lèi)問(wèn)題通常采用間接設(shè)法，常見(jiàn)的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系。熱身練習(xí)1、由3個(gè)一次方程組成，并且含有 1 個(gè)未知數(shù)的方程叫三元次方程組。2、三元一次方程2x-3y+4z=8，用x、y的代數(shù)式表示z是 z =8+3y2x4x y -z = 113、解方程組 (y+z-x=5，貝U x = _6, y =8, z=3。lz x y =14、有兩桶水，甲桶有水180升，乙桶有水150升，要使甲桶水的體積是乙桶水的體積的兩倍，則應(yīng) 由乙桶向甲桶倒40升水。5、某校七年級(jí)(2)班有學(xué)生50人，其中女生人數(shù)的一半比男生人數(shù)少8人，若設(shè)女生

5、人數(shù) x人,x y = 50男生人數(shù)為y人，可列出方程組為_(kāi)1y - x =8026、某種品牌的電腦的進(jìn)價(jià)為5000元，按物價(jià)局定價(jià)的 9折銷(xiāo)售時(shí)，利潤(rùn)不低于 700元，則此電腦的定價(jià)最少為19000元。7、下列方程中，三兀一次方程共有(B)(1) x+y+z=3；(2) x y z=3 ；(4)_2_=1。 x y zA、1個(gè)B、2個(gè)8、已知甲、乙兩數(shù)之和是42,甲數(shù)的3倍等于乙數(shù)的4倍，求甲、乙兩數(shù).設(shè)甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,由題意可得方程組(B'x + y = 42A.)4x =3y'x + y = 42B.)3x =4yC.420 x=y3 y D.I=14 442 + y

6、 = x3x 4y = 09、小明在做解方程作業(yè)時(shí)，不小心將方程中的一個(gè)常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是:11_ M ,，一 一 、2y - = 、一，怎么呢？小明想了一想，便翻看書(shū)后答案，此方程的解是 2 25y ,很快補(bǔ)好3了這個(gè)常數(shù)，并迅速地完成了作業(yè)，同學(xué)們，你們能補(bǔ)出這個(gè)常數(shù)嗎？它應(yīng)是A、1 B 、2 C 、3 D 、410、一條船在一條河上的順流航速是逆流航速的3倍，這條船在靜水中的航速與河水的流速之比是A.3 ： 1B.2 ： 1C.1D.5 : 2|x 二 51、x + y =7x y z = 6x = 5解： y = 2z = -111、解下列三元一次方程組。x+y+z=1

7、2、z=4x5x2yz=22x=2解：y=2z=812、我市某學(xué)校計(jì)劃向西部山區(qū)的學(xué)生捐贈(zèng)3500冊(cè)圖書(shū)，實(shí)際共捐了4125冊(cè)。其中，初中學(xué)生捐贈(zèng)了原計(jì)劃的120%高中學(xué)生捐贈(zèng)了原計(jì)劃的115%,問(wèn)初中學(xué)生和高中學(xué)生比原計(jì)劃多捐了多少冊(cè)？解：設(shè)初中原計(jì)劃捐x冊(cè)，則可列方程(3500-x)M115%+xM120%=4125解得x=2000,則初中比高中多捐500冊(cè)。13、某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)，共有16道選擇題，評(píng)分辦法是：答對(duì)一題給6分，答錯(cuò)一題倒扣2分，不答題不得分也不扣分.某同學(xué)有一道題未答，那么這個(gè)學(xué)生至少答對(duì)多少題，成績(jī)才能在60分以上？解：設(shè)學(xué)生至少答對(duì)x道，可列不等式6x_2(16-x)

8、6023x一，所以至少答對(duì)12道題。29;如果交換十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)，所14、一個(gè)兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)的和大得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27,求這個(gè)兩位數(shù)。解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)為x,個(gè)位上的數(shù)為y,則這個(gè)兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關(guān)系可用下表表示:十位上的數(shù)個(gè)位上的數(shù)對(duì)應(yīng)的兩位數(shù)相等關(guān)系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yX10y+x10y+x=10x+y+2710x y = x y 9解方程組 y y10y x =10x y 27_|_x=1，得，因此，所求的兩位數(shù)是14.精解名題例1、解下列方程組解方程組，3x + 2y + 工= 13x+y + 2z =

9、 72x + 3y - z -12解方程組-2 3 51 + 尸+w = 20解：+得5x +5y = 25 +X 2得 5x + 7y = 31與組成45x+» = 255工+73 二 31解這個(gè)方程組-d'x = 23X2 + 2 X3 + z = 13x = 2y= 3是原方程組的解。z = 1(2)設(shè)人=工=三=卜,則可得23510k =20,解得x = 4k = 2,則 < y = 6。z = 10例2、某零件制造車(chē)間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元.在這20名

10、工人中，車(chē)間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件.(1)若此車(chē)間每天所獲利潤(rùn)為y(元)，用x的代數(shù)式表示y.(2)若要使每天所獲利潤(rùn)不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件？解：(1)6x150(20-x)5260=y(2)900x+26000-1300x之24000x<5所以至少要派15名工人去制造乙種零件。例3、某蔬菜公司收購(gòu)蔬菜進(jìn)行銷(xiāo)售的獲利情況如下表所示:銷(xiāo)售方式直接銷(xiāo)售粗加工后銷(xiāo)售精加工后銷(xiāo)售每噸獲利(兀)100250450現(xiàn)在該公司收購(gòu)了140噸蔬菜，已知該公司每天能精加工蔬菜6噸或粗加工蔬菜16噸(兩種加工不能同時(shí)進(jìn)行).(1)如果要求在18天內(nèi)全

11、部銷(xiāo)售完這140噸蔬菜，請(qǐng)完成下列表格：銷(xiāo)售方式全部直接銷(xiāo)售全部粗加工后銷(xiāo)售盡量精加工，剩余部分直接銷(xiāo)售獲利(元)(2)如果先進(jìn)行精加工，然后進(jìn)行粗加工，要求在15天內(nèi)剛好加工完140噸蔬菜，則應(yīng)如何分配加工時(shí)間？解：(1)全部直接銷(xiāo)售獲利為：100X140=14000(元)；全部粗加工后銷(xiāo)售獲利為：250X140=35000(元)；盡量精加工，剩余部分直接銷(xiāo)售獲利為：450X(6X18)+100X(1406X18)=51800(元)(2)設(shè)應(yīng)安排x天進(jìn)行精加工，y天進(jìn)行粗加工.一x+y=15.由題意，得1y,6x+16y=140.J左/口X=10,解得，y=5.故應(yīng)安排10天進(jìn)行精加工，5天

12、進(jìn)行粗加工。*例4、甲、乙兩車(chē)都從A地出發(fā)經(jīng)過(guò)B地駛往C地，A,B兩地的距離等于B,C兩地的距離.乙車(chē)的速度是甲車(chē)速度的80%.已知乙車(chē)比甲車(chē)早出發(fā)11分鐘，但在B地停留了7分鐘，甲車(chē)則不停地駛往C地.最后乙車(chē)比甲車(chē)遲4分鐘到C地.那么乙車(chē)出發(fā)后幾分鐘時(shí)，甲車(chē)就超過(guò)乙車(chē)。解：那么乙車(chē)出發(fā)20分鐘，甲車(chē)就超過(guò)乙車(chē)。備選例題：例1、某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸.若在市場(chǎng)上直接銷(xiāo)售鮮奶，每噸可獲取利潤(rùn)500元；制成酸奶銷(xiāo)售，每噸可獲取利潤(rùn)1200元；制成奶片銷(xiāo)售，每噸可獲取利潤(rùn)2000元.該工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸.受人員限制，兩種加工方式不可同時(shí)進(jìn)行。受氣溫

13、條件限制，這批牛奶必須在4天內(nèi)全部銷(xiāo)售或加工完畢.為此，該廠設(shè)計(jì)了兩種可行方案：方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷(xiāo)售鮮牛奶；方案二：將一部分制成奶片，其余制成酸奶銷(xiāo)售，并恰好4天完成.你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多，為什么？（4分）解：選擇第二種方案獲利更多。例2、某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門(mén)，其中兩道正門(mén)大小相同，兩道側(cè)門(mén)大小也相同.安全檢查中，對(duì)4道門(mén)進(jìn)行了測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和兩道側(cè)門(mén)時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過(guò)560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開(kāi)啟一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)時(shí)，4分鐘內(nèi)可以通過(guò)800名學(xué)生.求平均每分鐘一道正門(mén)和一道側(cè)門(mén)各可以通過(guò)多少名學(xué)生?檢查中發(fā)現(xiàn)

14、，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門(mén)的效率將降低20%,安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過(guò)這4道門(mén)安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問(wèn)：建造白這4道門(mén)是否符合安全規(guī)定？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）每分鐘通過(guò)一道正門(mén)120名，側(cè)門(mén)80名。（2）符合。鞏固練習(xí)1、方程x+2y+3z=14（xVyVz的正整數(shù)解是x=1,y=1,z=1。2、當(dāng)x=0、1、一1時(shí)，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的值分別為5、6、10,則a=3，b_4_,c=5_o3、成都至重慶鐵路全長(zhǎng)504千米.一輛快車(chē)以90千米/時(shí)的速度從重慶出發(fā)，1小時(shí)后，另有一輛慢車(chē)以48千米/時(shí)的速度從成都出發(fā)，則慢車(chē)出發(fā)

15、3小時(shí)后兩車(chē)相遇。4、甲水池有水31噸，乙水池有水11噸，甲池的水每小時(shí)流入乙池2噸,x小時(shí)后，乙池有水11+2x噸，甲池有水31-2x噸,5小時(shí)后，甲池的水與乙池的水一樣多。5、在1996年全國(guó)足球甲級(jí)A組的前11輪（場(chǎng)）比賽中，大連萬(wàn)達(dá)隊(duì)保持連續(xù)不敗，共積23分，按比賽規(guī)則，勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，那么該隊(duì)共勝了6場(chǎng).6、某公司打算至多用1200元印制廣告單.已知制版費(fèi)50元，每印一張廣告單還需支付0.3元的印刷費(fèi)，則該公司可印制的廣告單數(shù)量x（張）滿(mǎn)足的不等式為50.3x1200。7、發(fā)電廠派汽車(chē)去拉煤，已知大貨車(chē)每輛裝10噸，小貨車(chē)每輛裝5噸，煤場(chǎng)共有煤152噸，現(xiàn)派8輛汽車(chē)去拉，

16、其中大貨車(chē)x輛，要一次將煤拉回電廠，至少需派多少輛大貨車(chē)？列式為_(kāi)10x+5（10-x）=152。8、已知甲、乙兩人從相距18千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，14小時(shí)相遇.如果甲比乙先走2小533時(shí)，那么在乙出發(fā)后3小時(shí)兩人相遇.設(shè)甲、乙兩人速度分別為每小時(shí)x千米和y千米，則2x=4.5,y=5.5.9、解方程組3x2y4z =8、2x3y4z =85x5y6z = 22x = 4解：4 y = 4z = 3x-2y=一91、cyz=322z+x=47f-解：把減去得到,y-z=32z+2y=56x=25最后得，y=17z=1410、一次遠(yuǎn)足活動(dòng)中，一部分人步行，另一部分乘一輛汽車(chē)，兩部分人同地

17、出發(fā)。汽車(chē)速度60公里/小時(shí)，步行者的速度是5公里/小時(shí)，步行者比汽車(chē)提前1小時(shí)出發(fā)，這輛汽車(chē)到達(dá)目的地后，再回頭接步行這部分人。出發(fā)地到目的地的距離是60公里。問(wèn)：步行者在出發(fā)后經(jīng)多少時(shí)間與回頭接他們的汽車(chē)相遇？解：設(shè)步行者經(jīng)過(guò)x個(gè)小時(shí)與回頭接他們的汽車(chē)相遇。則列方程60-52=(60+5)父(x-2)10解得x=21311、某單位要印刷一批宣傳資料，在需要支付制版費(fèi)600元和每份資料0.3元印刷費(fèi)的前提下，甲、乙兩個(gè)印刷廠分別提出了不同的優(yōu)惠條件，甲印刷廠提出：凡印刷數(shù)量超過(guò)2000份的，超過(guò)部分的印刷費(fèi)可按9折收費(fèi)；乙印刷廠提出：凡印刷數(shù)量超過(guò)3000份的，超過(guò)部分印刷費(fèi)可按8折收費(fèi).(

18、1)若該單位要印刷2400份宣傳資料，則甲印刷廠的費(fèi)用是_1308元,乙印刷廠的費(fèi)用是_1320元.(2)根據(jù)印刷數(shù)量大小，請(qǐng)討論該單位到哪家印刷廠印刷資料可獲得更大優(yōu)惠？解：當(dāng)2000ExE4000時(shí)，選甲印刷廠好，當(dāng)x>4000時(shí)，選乙印刷廠好。12、已知甲、乙兩種商品的原價(jià)和為200元。因市場(chǎng)變化，甲商品降價(jià)10%乙商品提高10%調(diào)價(jià)后甲、乙兩種商品的單價(jià)和比原單價(jià)和提高了5%求甲、乙兩種商品的原單價(jià)各是多少元？解：設(shè)甲、乙兩種商品的原單價(jià)各是x、y元，則可得下列方程組x+y=200x(1-10%)+y(1+10%)=200(1+5%)fx=50解得）=15013、某廠共有120名

19、生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套？分析：要使生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品配成最多套，只須生產(chǎn)出來(lái)的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意,每天生產(chǎn)的螺栓與螺母應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式：每天生產(chǎn)的螺栓數(shù)X2=每天生產(chǎn)的螺母數(shù)X1.因此，設(shè)安排x人生產(chǎn)螺栓，y人生產(chǎn)螺母，則每天可生產(chǎn)螺栓25x個(gè)，螺母20y個(gè)，依題意，得xy=120i,解之，得50x2=20y1x=20y=100故應(yīng)安排20人生產(chǎn)螺栓，100人生產(chǎn)螺母.自我檢測(cè)1、三元一次方程7x+3y4z=1用含x,y的代數(shù)式表示7x_3y二1

20、42、在三元一次方程x+y+z=3中，若x=1,y=2,則z=2。3、武煒購(gòu)買(mǎi)8分與10分郵票共16枚，花了一元四角六分，購(gòu)買(mǎi)8分和10分的郵票的枚數(shù)分別為_(kāi)7,_9.4、一次工程，甲獨(dú)做m天完成，乙獨(dú)做比甲晚3天才能完成，甲、乙二人合作需要2_m3m2m3天完成。5、某數(shù)的2倍加上5不大于這個(gè)數(shù)的3倍減去4,那么該數(shù)的范圍是x至96、有兩種藥水，一種濃度為60%,另一種濃度為90%,現(xiàn)要配制濃度為70%的藥水300克，問(wèn)各種各需200克,100克。7、已知方程3xy7=0,2x+3y=1,y=kx9有公共解，則k的值為（B）A、3B、4C、5D、68、一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做要40天完成，乙單獨(dú)做需要50天完成，甲先單獨(dú)做4天，然后甲乙兩人合作x完成這項(xiàng)工程，則可以列的方程是（D）A4+x_ib、4*x.4040504040504x4xx.C、一十一=1D、一+一十一=140504040509、甲、乙兩個(gè)兩位數(shù)，若把甲數(shù)放在乙數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)是乙數(shù)的201倍；若把乙數(shù)放在甲數(shù)的左邊，組成的四位數(shù)比上面的四位數(shù)小1188,求這兩個(gè)數(shù).如果甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,則得方程組是（D）100x + y =100x + y+1188A. J .;100y +x=201xI