1、晶體結構類計算題的解法410600湖南長沙寧鄉一中張矯睦 晶體結構類習題最常見的題型就是已知晶胞的結構而求晶體的化學式。 解答這類習題首先要明確一個概念：由晶胞構成的晶體，其化學式不是表示一個分子中含有多少個原子，而是表示每個晶胞中平均含有各類原子的個數，即各類原子的最簡個數比。 解答這類習題，通常采用分攤法。 在一個晶胞結構中出現的多個原子，這些原子并不是只為這個晶胞所獨立占有，而是為多個晶胞所共有，那么，在一個晶胞結構中出現的每個原子，這個晶胞能分攤到多少比例呢。這就是分攤法。分攤法的根本目的就是算出一個晶胞單獨占有的各類原子的個數。 分攤法的根本原則是：晶胞任意位置上的一個原子如果是被x

2、個晶胞所共有，那么，每個晶胞對這個原子分得的份額就是1/x。 下面對立方晶胞進行詳細分析。下圖1就表示一個立方晶胞。在圖中，原子可以位于它的頂點，也可以位于它的棱上，還可以在它的面上(不含棱)，當然，它的體內也可以有原子；圖2是這種晶胞進行堆積的情況，圖3是圖2的單圖。從這些圖可以看出：(1)每個頂點被8個晶胞共有，所以晶胞對自己頂點上的每個原子只占1/8份額；(2)每條棱被4個晶胞共有，所以晶胞對自己棱上的每個原子只占1/4份額；(3)每個面被2個晶胞共有，所以晶胞對自己面上(不含棱)的每個原子只占1/2份額；(4)晶胞體內的原子不與其它晶胞分享； 透過以某個頂點為中心的三維坐標系后可以清楚

3、的看到：(5)每個頂點是被8個晶胞的6條棱共享，6條棱包括X軸上的二條、Y軸上的二條和Z軸上的二條；(6)每個頂點也被這6條棱構成的12個晶胞面共享，這12個面包括XY平面內的4個面、YZ平面內的4個面和ZX平面內的4個面； 分攤法的本意不只是把原子分攤到晶胞，還可以把原子分攤到棱或面，例如： 根據上面第(5)條，結論：棱對自己每個頂點占的份額是1/6； 根據上面第(6)條，結論：面對自己每個頂點占的份額是1/12； 同樣，分攤法也不只是對原子進行分攤，還可以把棱分攤到面或把面分攤到棱，等等。 例1 科學家發現的釔鋇銅氧化合物在90K具有超導性，若該化合物晶體的晶胞結構如圖所示，則該化合物的化

4、學式可能是( ) A YBa2Cu3O4 B YBa2Cu2O5 C YBa2Cu3O5 D YBaCu4O4 解析：圖中三個立方體合在一起才是一個晶胞。從圖看出：每個晶胞體內含有1個釔原子和2個鋇原子。下面計算每個晶胞單獨占有的銅原子個數和氧原子個數。 圖中共有銅原子16個，其中位于頂點(最上層平面和最下層平面)的共8個，這個晶胞中只分攤到81/8=1個；位于棱線(中間兩個平面)的也是8個，這個晶胞分攤到的份額是81/4=2個；所以，每個晶胞單獨占有的銅原子數為3個。 圖中共含氧原子13個，位于晶胞面上(不含棱)的是7個，位于晶胞棱上的是6個，所以，每個晶胞單獨含有的氧原子數共為71/2+6

5、1/4=5個。 至此可結論，該晶體每個晶胞中平均分攤到(即單獨占有)的釔原子、鋇原子、銅原子和氧原子個數分別為1、2、3、5，所以，化學式為YBa2Cu3O5，答案選C。 例2 下圖是超導化合物-鈣鈦礦晶體中最小重復單元(晶胞)的結構。請回答：(1)該化合物的化學式為 。(2)在該化合物晶體中，與某個鈦離子距離最近且相等的其他鈦離子共有 個。(3)設該化合物的式量為M，密度為ag/cm3，阿伏加德羅常數為NA，則晶體中鈣離子與鈦離子之間的最短距離為 。 解析：(1)這個晶胞對位于頂點上的每個鈦原子占有的份額為1/8，所以，它單獨占有的鈦原子個數為81/8=1個；它對位于棱上的每個氧原子占有的份

6、額為1/4，所以，它單獨占有的氧原子個數為121/4=3個；它全部擁有體內的那一個鈣原子，所以，該晶胞中單獨占有的鈦原子、氧原子和鈣原子的個數分別為：1、3、1；所以，該化合物的化學式為CaTiO3。(2)鈦位于立方體的頂點上，與一個鈦離子距離最近的鈦離子是與它共棱的。從上面立方晶胞進行堆積的圖2和圖3可以看出，在X軸或Y軸或Z軸上，與它共棱的離子都是二個，所以，共6個。(3)這是個綜合性較大的習題。設這種立方晶胞的邊長是b，那么，鈣離子與鈦離子之間的距離是體對角線的一半，即。 下面求b。因為每個立方體的體積為b3，而NA個這樣的立方體堆積到一起就是1mol晶體，其質量為Mg，其體積為Mg/a

7、g/cm3=M/a cm3。所以，NAb3=M/a cm3，所以，所以，題中所求距離為 。 例3 (改自97高考)1996年諾貝爾化學獎授予對發現C60有重大貢獻的三位科學家。C60分子是形如球狀的多面體，如右圖，該結構的建立基于以下考慮：C60分子中每個碳原子只跟相鄰的3個碳原子形成化學鍵；C60分子只含有五邊形和六邊形；碳與碳之間既有單鍵又有雙鍵，每個碳原子仍然滿足四個價鍵飽和；多面體的頂點數、面數和棱邊數的關系，遵循歐拉定理：頂點數+面數-棱邊數=2。 請回答：(1)一個C60分子中有多少個五邊形和多少個六邊形？(2)一個C60分子中有多少個C=C？(3)已知C70分子的結構模型也遵循C

8、60的那些規律，請確定C70分子結構中上述幾項參數。 解析：(1)設C60分子中含有x個五邊形和y個六邊形。先求歐拉定理中棱邊數：每個頂點伸出三條棱，而每條棱又總是由兩個頂點共有，所以，每個頂點單獨伸出的棱有31/2=1.5條，60個頂點共伸出的棱為601.5=90條。至此，依據歐拉定理可寫出：60+x+y-90=2 為了求出x和y，還要建立一個方程式。因為五邊形和六邊形構成多面體時是共用棱邊和頂點的，所以，還可以根據棱邊數守恒和頂點數守恒寫出兩個方程式。棱邊數守恒：每條棱是由兩個多面體共用的，所以，一個五邊形單獨占有的棱邊數為5/2=2.5條，一個六邊形單獨占有的棱邊數為6/2=3條，所以，

9、2.5x+3y=90 至此聯立可以解得：x=12，y=20。(頂點數守恒：每個頂點是由三個多面體共有，所以，一個五邊形單獨占有的頂點數為5/3個，一個六邊形單獨占有的頂點數為6/3=2個，所以，5/3x+2y=60 ，聯立也可以解出x、y，但只聯立不可以解出)。(2)首先要明確一個概念：在圖中頂點間形成的棱都以單線標出，但有的是表示單鍵，有的是表示雙鍵。從空間結構來說，每個碳原子連接三條棱，而從化學價鍵來說，每個碳原子連接四條鍵線。(一個雙鍵也只是一個鍵，可以說有兩條鍵線但不能說是二個鍵)。如下圖。設一個C60分子中含的C-C單鍵數和C=C雙鍵數分別為a、b，則根據棱邊守恒有：a+b=90 再

10、利用鍵線守恒列一個方程式。每個原子連接四條鍵線而每條鍵線被兩個原子所共有，所以，每個原子單獨占有的鍵線數為4/2=2，所以，60個碳原子共有鍵線120條：a+2b=120 聯立解得：a=60，b=30。即C60中含的雙鍵數為30。(3)設C70分子結構中的五邊形和六邊形的個數分別為m、n，設C-C單鍵數和C=C雙鍵數分別為p、q，則：一個C70分子中的棱邊總數為701.5=105；依據歐拉定理有：70+m+n-105=2 ；依據頂點數守恒有：5/3m+2n=70 ；聯立得：m=12,n=25。根據棱邊守恒又寫出：p+q=105 ；根據鍵線守恒有：p+2q=702=140 ；聯立得：p=70，q=35。即C70中含的雙鍵數為35。 晶體類習題的注意事項：(1)晶體類習題在涉及中學教材中已經詳細介紹過的晶體結構時通常略去了晶胞結構，這就要求我們對中學教材中已經出現的晶體結構非常熟悉。例如： 問題：在干冰晶體中每個CO2分子周圍與之距離相等且最近的CO2分子個數為 。 解答：干冰晶體結構如右圖，它是一種立方面心結構。對于位于頂點上的一個CO2分子來說，與之距離最近的CO2分子是位于它所在的每個面的面心上。而共享這個頂點的面是12個，所以，答案就是12個。 (2)不要把晶體的平面示意圖與立體結構混淆。例如： 問題：二氧化硅晶體結構中最小環由多少個原子構成？ 解答：教材已