1、晶體結(jié)構(gòu)類計(jì)算題的解法410600湖南長(zhǎng)沙寧鄉(xiāng)一中張矯睦 晶體結(jié)構(gòu)類習(xí)題最常見(jiàn)的題型就是已知晶胞的結(jié)構(gòu)而求晶體的化學(xué)式。 解答這類習(xí)題首先要明確一個(gè)概念：由晶胞構(gòu)成的晶體，其化學(xué)式不是表示一個(gè)分子中含有多少個(gè)原子，而是表示每個(gè)晶胞中平均含有各類原子的個(gè)數(shù)，即各類原子的最簡(jiǎn)個(gè)數(shù)比。 解答這類習(xí)題，通常采用分?jǐn)偡ā?在一個(gè)晶胞結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的多個(gè)原子，這些原子并不是只為這個(gè)晶胞所獨(dú)立占有，而是為多個(gè)晶胞所共有，那么，在一個(gè)晶胞結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的每個(gè)原子，這個(gè)晶胞能分?jǐn)偟蕉嗌俦壤?。這就是分?jǐn)偡ā７謹(jǐn)偡ǖ母灸康木褪撬愠鲆粋€(gè)晶胞單獨(dú)占有的各類原子的個(gè)數(shù)。 分?jǐn)偡ǖ母驹瓌t是：晶胞任意位置上的一個(gè)原子如果是被x

2、個(gè)晶胞所共有，那么，每個(gè)晶胞對(duì)這個(gè)原子分得的份額就是1/x。 下面對(duì)立方晶胞進(jìn)行詳細(xì)分析。下圖1就表示一個(gè)立方晶胞。在圖中，原子可以位于它的頂點(diǎn)，也可以位于它的棱上，還可以在它的面上(不含棱)，當(dāng)然，它的體內(nèi)也可以有原子；圖2是這種晶胞進(jìn)行堆積的情況，圖3是圖2的單圖。從這些圖可以看出：(1)每個(gè)頂點(diǎn)被8個(gè)晶胞共有，所以晶胞對(duì)自己頂點(diǎn)上的每個(gè)原子只占1/8份額；(2)每條棱被4個(gè)晶胞共有，所以晶胞對(duì)自己棱上的每個(gè)原子只占1/4份額；(3)每個(gè)面被2個(gè)晶胞共有，所以晶胞對(duì)自己面上(不含棱)的每個(gè)原子只占1/2份額；(4)晶胞體內(nèi)的原子不與其它晶胞分享； 透過(guò)以某個(gè)頂點(diǎn)為中心的三維坐標(biāo)系后可以清楚

3、的看到：(5)每個(gè)頂點(diǎn)是被8個(gè)晶胞的6條棱共享，6條棱包括X軸上的二條、Y軸上的二條和Z軸上的二條；(6)每個(gè)頂點(diǎn)也被這6條棱構(gòu)成的12個(gè)晶胞面共享，這12個(gè)面包括XY平面內(nèi)的4個(gè)面、YZ平面內(nèi)的4個(gè)面和ZX平面內(nèi)的4個(gè)面； 分?jǐn)偡ǖ谋疽獠恢皇前言臃謹(jǐn)偟骄О?，還可以把原子分?jǐn)偟嚼饣蛎妫纾?根據(jù)上面第(5)條，結(jié)論：棱對(duì)自己每個(gè)頂點(diǎn)占的份額是1/6； 根據(jù)上面第(6)條，結(jié)論：面對(duì)自己每個(gè)頂點(diǎn)占的份額是1/12； 同樣，分?jǐn)偡ㄒ膊恢皇菍?duì)原子進(jìn)行分?jǐn)?，還可以把棱分?jǐn)偟矫婊虬衙娣謹(jǐn)偟嚼?，等等?例1 科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的釔鋇銅氧化合物在90K具有超導(dǎo)性，若該化合物晶體的晶胞結(jié)構(gòu)如圖所示，則該化合物的化

4、學(xué)式可能是( ) A YBa2Cu3O4 B YBa2Cu2O5 C YBa2Cu3O5 D YBaCu4O4 解析：圖中三個(gè)立方體合在一起才是一個(gè)晶胞。從圖看出：每個(gè)晶胞體內(nèi)含有1個(gè)釔原子和2個(gè)鋇原子。下面計(jì)算每個(gè)晶胞單獨(dú)占有的銅原子個(gè)數(shù)和氧原子個(gè)數(shù)。 圖中共有銅原子16個(gè)，其中位于頂點(diǎn)(最上層平面和最下層平面)的共8個(gè)，這個(gè)晶胞中只分?jǐn)偟?1/8=1個(gè)；位于棱線(中間兩個(gè)平面)的也是8個(gè)，這個(gè)晶胞分?jǐn)偟降姆蓊~是81/4=2個(gè)；所以，每個(gè)晶胞單獨(dú)占有的銅原子數(shù)為3個(gè)。 圖中共含氧原子13個(gè)，位于晶胞面上(不含棱)的是7個(gè)，位于晶胞棱上的是6個(gè)，所以，每個(gè)晶胞單獨(dú)含有的氧原子數(shù)共為71/2+6

5、1/4=5個(gè)。 至此可結(jié)論，該晶體每個(gè)晶胞中平均分?jǐn)偟?即單獨(dú)占有)的釔原子、鋇原子、銅原子和氧原子個(gè)數(shù)分別為1、2、3、5，所以，化學(xué)式為YBa2Cu3O5，答案選C。 例2 下圖是超導(dǎo)化合物-鈣鈦礦晶體中最小重復(fù)單元(晶胞)的結(jié)構(gòu)。請(qǐng)回答：(1)該化合物的化學(xué)式為 。(2)在該化合物晶體中，與某個(gè)鈦離子距離最近且相等的其他鈦離子共有 個(gè)。(3)設(shè)該化合物的式量為M，密度為ag/cm3，阿伏加德羅常數(shù)為NA，則晶體中鈣離子與鈦離子之間的最短距離為 。 解析：(1)這個(gè)晶胞對(duì)位于頂點(diǎn)上的每個(gè)鈦原子占有的份額為1/8，所以，它單獨(dú)占有的鈦原子個(gè)數(shù)為81/8=1個(gè)；它對(duì)位于棱上的每個(gè)氧原子占有的份

6、額為1/4，所以，它單獨(dú)占有的氧原子個(gè)數(shù)為121/4=3個(gè)；它全部擁有體內(nèi)的那一個(gè)鈣原子，所以，該晶胞中單獨(dú)占有的鈦原子、氧原子和鈣原子的個(gè)數(shù)分別為：1、3、1；所以，該化合物的化學(xué)式為CaTiO3。(2)鈦位于立方體的頂點(diǎn)上，與一個(gè)鈦離子距離最近的鈦離子是與它共棱的。從上面立方晶胞進(jìn)行堆積的圖2和圖3可以看出，在X軸或Y軸或Z軸上，與它共棱的離子都是二個(gè)，所以，共6個(gè)。(3)這是個(gè)綜合性較大的習(xí)題。設(shè)這種立方晶胞的邊長(zhǎng)是b，那么，鈣離子與鈦離子之間的距離是體對(duì)角線的一半，即。 下面求b。因?yàn)槊總€(gè)立方體的體積為b3，而NA個(gè)這樣的立方體堆積到一起就是1mol晶體，其質(zhì)量為Mg，其體積為Mg/a

7、g/cm3=M/a cm3。所以，NAb3=M/a cm3，所以，所以，題中所求距離為 。 例3 (改自97高考)1996年諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。C60分子是形如球狀的多面體，如右圖，該結(jié)構(gòu)的建立基于以下考慮：C60分子中每個(gè)碳原子只跟相鄰的3個(gè)碳原子形成化學(xué)鍵；C60分子只含有五邊形和六邊形；碳與碳之間既有單鍵又有雙鍵，每個(gè)碳原子仍然滿足四個(gè)價(jià)鍵飽和；多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)和棱邊數(shù)的關(guān)系，遵循歐拉定理：頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱邊數(shù)=2。 請(qǐng)回答：(1)一個(gè)C60分子中有多少個(gè)五邊形和多少個(gè)六邊形？(2)一個(gè)C60分子中有多少個(gè)C=C？(3)已知C70分子的結(jié)構(gòu)模型也遵循C

8、60的那些規(guī)律，請(qǐng)確定C70分子結(jié)構(gòu)中上述幾項(xiàng)參數(shù)。 解析：(1)設(shè)C60分子中含有x個(gè)五邊形和y個(gè)六邊形。先求歐拉定理中棱邊數(shù)：每個(gè)頂點(diǎn)伸出三條棱，而每條棱又總是由兩個(gè)頂點(diǎn)共有，所以，每個(gè)頂點(diǎn)單獨(dú)伸出的棱有31/2=1.5條，60個(gè)頂點(diǎn)共伸出的棱為601.5=90條。至此，依據(jù)歐拉定理可寫(xiě)出：60+x+y-90=2 為了求出x和y，還要建立一個(gè)方程式。因?yàn)槲暹呅魏土呅螛?gòu)成多面體時(shí)是共用棱邊和頂點(diǎn)的，所以，還可以根據(jù)棱邊數(shù)守恒和頂點(diǎn)數(shù)守恒寫(xiě)出兩個(gè)方程式。棱邊數(shù)守恒：每條棱是由兩個(gè)多面體共用的，所以，一個(gè)五邊形單獨(dú)占有的棱邊數(shù)為5/2=2.5條，一個(gè)六邊形單獨(dú)占有的棱邊數(shù)為6/2=3條，所以，

9、2.5x+3y=90 至此聯(lián)立可以解得：x=12，y=20。(頂點(diǎn)數(shù)守恒：每個(gè)頂點(diǎn)是由三個(gè)多面體共有，所以，一個(gè)五邊形單獨(dú)占有的頂點(diǎn)數(shù)為5/3個(gè)，一個(gè)六邊形單獨(dú)占有的頂點(diǎn)數(shù)為6/3=2個(gè)，所以，5/3x+2y=60 ，聯(lián)立也可以解出x、y，但只聯(lián)立不可以解出)。(2)首先要明確一個(gè)概念：在圖中頂點(diǎn)間形成的棱都以單線標(biāo)出，但有的是表示單鍵，有的是表示雙鍵。從空間結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，每個(gè)碳原子連接三條棱，而從化學(xué)價(jià)鍵來(lái)說(shuō)，每個(gè)碳原子連接四條鍵線。(一個(gè)雙鍵也只是一個(gè)鍵，可以說(shuō)有兩條鍵線但不能說(shuō)是二個(gè)鍵)。如下圖。設(shè)一個(gè)C60分子中含的C-C單鍵數(shù)和C=C雙鍵數(shù)分別為a、b，則根據(jù)棱邊守恒有：a+b=90 再

10、利用鍵線守恒列一個(gè)方程式。每個(gè)原子連接四條鍵線而每條鍵線被兩個(gè)原子所共有，所以，每個(gè)原子單獨(dú)占有的鍵線數(shù)為4/2=2，所以，60個(gè)碳原子共有鍵線120條：a+2b=120 聯(lián)立解得：a=60，b=30。即C60中含的雙鍵數(shù)為30。(3)設(shè)C70分子結(jié)構(gòu)中的五邊形和六邊形的個(gè)數(shù)分別為m、n，設(shè)C-C單鍵數(shù)和C=C雙鍵數(shù)分別為p、q，則：一個(gè)C70分子中的棱邊總數(shù)為701.5=105；依據(jù)歐拉定理有：70+m+n-105=2 ；依據(jù)頂點(diǎn)數(shù)守恒有：5/3m+2n=70 ；聯(lián)立得：m=12,n=25。根據(jù)棱邊守恒又寫(xiě)出：p+q=105 ；根據(jù)鍵線守恒有：p+2q=702=140 ；聯(lián)立得：p=70，q=35。即C70中含的雙鍵數(shù)為35。 晶體類習(xí)題的注意事項(xiàng)：(1)晶體類習(xí)題在涉及中學(xué)教材中已經(jīng)詳細(xì)介紹過(guò)的晶體結(jié)構(gòu)時(shí)通常略去了晶胞結(jié)構(gòu)，這就要求我們對(duì)中學(xué)教材中已經(jīng)出現(xiàn)的晶體結(jié)構(gòu)非常熟悉。例如： 問(wèn)題：在干冰晶體中每個(gè)CO2分子周圍與之距離相等且最近的CO2分子個(gè)數(shù)為 。 解答：干冰晶體結(jié)構(gòu)如右圖，它是一種立方面心結(jié)構(gòu)。對(duì)于位于頂點(diǎn)上的一個(gè)CO2分子來(lái)說(shuō)，與之距離最近的CO2分子是位于它所在的每個(gè)面的面心上。而共享這個(gè)頂點(diǎn)的面是12個(gè)，所以，答案就是12個(gè)。 (2)不要把晶體的平面示意圖與立體結(jié)構(gòu)混淆。例如： 問(wèn)題：二氧化硅晶體結(jié)構(gòu)中最小環(huán)由多少個(gè)原子構(gòu)成？ 解答：教材已