1、一、近似計算一、近似計算二、計算定積分二、計算定積分三、微分方程的冪級數解法三、微分方程的冪級數解法四、小結四、小結 第六節第六節 函數的冪級數展開式的函數的冪級數展開式的應用應用 一、近似計算一、近似計算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar誤差誤差兩類問題兩類問題: :1.給定項數給定項數,求近似值并估計精度求近似值并估計精度;2.給出精度給出精度,確定項數確定項數.關鍵關鍵: :通過估計余項通過估計余項,確定精度或項數確定精度或項數.常用方法常用方法:1.若余項是交錯級數若余項是交錯級數,則可用余和的首項來解決則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數若不是交錯級數,則

2、放大余和中的各項則放大余和中的各項,使之成使之成為等比級數或其它易求和的級數為等比級數或其它易求和的級數,從而求出其和從而求出其和.例例1 1.10,5 使使其其誤誤差差不不超超過過的的近近似似值值計計算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和: )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 例例2 2.,9sin! 3sin03并估計誤差并

3、估計誤差的近似值的近似值計算計算利用利用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 30000013750001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過其誤差不超過 .510 二、計算定積分二、計算定積分.,ln1,sin,2難難以以計計算算其其定定積積分分函函數數表表示示原原函函數數不不能能用用初初等等例例如如函函數數xxxex 解法解法逐項積分逐項積分展開成冪級數展開成冪級數定積分的近似值定積分的近似值被積函數被積函數第四項第四項30001!771 ,104 取前三項作為積分的近

4、似值取前三項作為積分的近似值,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精確到精確到的近似值的近似值計算計算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收斂的交錯級數收斂的交錯級數三、微分方程的冪級數解法三、微分方程的冪級數解法,22yxdxdy 例如例如解不能用初等函數或其積分式表達解不能用初等函數或其積分式表達.尋求近似解法尋求近似解法: 冪級數解法冪級數解法;1 1、一階方程的初值問題特解求法、一階方程的初值問題特解求法問題問題.),(00的特解的特解滿足滿足求

5、求yyyxfdxdyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中 202010)()(xxaxxayy.,21為待定的系數為待定的系數其中其中naaa,xx0的冪級數的冪級數假設所求特解可展開為假設所求特解可展開為 .0|02的的特特解解滿滿足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay設設方程的冪級數展開式代入原將yy, 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例4 4,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa

6、.2012152 xxy所求解為所求解為 43122321221)2(2xaaaxaaxax比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數的同次冪的系數, 得得注注: :無初始條件求解無初始條件求解 1nnnxaCy可設可設(C是任意常數是任意常數) 如果方程如果方程0)()( yxQyxPy中的系數中的系數)(xP與與)(xQ可在可在RxR 內展為內展為x的冪級數的冪級數, ,那么在那么在RxR 內原方程必有形如內原方程必有形如 nnnxay 0的解的解. .定理定理2 2、二階變系數齊次線性方程冪級數求法、二階變系數齊次線性方程冪級數求法作法作法,0 nnnxay設解為設解為的冪級數，的冪級

7、數，展開為展開為將將xxfxQxP)(),(),(比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數的同次冪的系數, 確定確定y.0的解的解求方程求方程 yyxy,0nnnxay 設方程的解為設方程的解為解解例例5 5,10 nnnxnay則則21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy代入將,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,8

8、04aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是任意常數是任意常數aa四、小結四、小結、近似計算、近似計算,求不可積類函數的定積分，求不可積類函數的定積分， 3、微分方程的冪級數的解法、微分方程的冪級數的解法 2、,求不可積類函數的定積分，求不可積類函數的定積分，思考題思考題利用冪級數展開式利用冪級數展開式, 求極限求極限.sinarcsinlim30 xxxx 思考題解答思考題解答,54231321arcsin53 xxxx)1( x,sinarcsinlim30 xxxx 將上兩式代入將上兩式代入3 35 5x x

9、0 01 1x x1 13 3x xx xx x2 23 32 24 45 5l li im m 3 3x x原式原式=33333 3x0 x01 1xo(x )xo(x )6 6limlimx x .61 一、一、 利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值利用函數的冪級數展開式求下列各數的近似值: : 1 1、3ln ( (精確到精確到0001. 0) )； 2 2、2cos ( (精確到精確到0001. 0).).二、二、 利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分利 用 被 積 函 數 的 冪 級 數 展 開 式 求 定 積 分 5 . 00arctandxxx ( (精確到精確到001. 0) )的近似值的近似值 . .三、三、 將函數將函數xexcos展開成展開成的冪級數的冪級數x . .練練 習習