1、第九章第九章 習題課習題課 主要內容主要內容 典型例題典型例題常數項級數常數項級數函數項級數函數項級數一一般般項項級級數數正正項項級級數數冪級數冪級數三角級數三角級數收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數或函數數或函數函函 數數數數任任意意項項級級數數傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數傅氏級數泰勒級數泰勒級數0)(xR為常數為常數nu)(xuunn為函數為函數滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數與數級數與數條件下條件下 相互轉化相互轉化 一、主要內容一、主要內容 nnnuuuuu32111 1、常數項級數、常數項級數 常常數數項項級級數數收收斂斂( (發發散散) )nns

2、 lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121級數的部分和級數的部分和定義定義級數的收斂與發散級數的收斂與發散性質性質1 1: : 級數的每一項同乘一個不為零的常數級數的每一項同乘一個不為零的常數, ,斂散性不變斂散性不變. .性質性質2 2: :收斂級數可以逐項相加與逐項相減收斂級數可以逐項相加與逐項相減. .性質性質3 3: :在級數前面加上有限項不影響級數的斂在級數前面加上有限項不影響級數的斂散性散性.性質性質4 4: :收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數收斂的必要條件級數收斂的

3、必要條件:收斂級數的基本性質收斂級數的基本性質常數項級數審斂法常數項級數審斂法正正 項項 級級 數數任意項級數任意項級數1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數交錯級數(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質按基本性質;,則級數收斂則級數收斂若若SSn;, 0,則級數發散則級數發散當當 nun一般項級數一般項級數4.絕對收斂絕對收斂定義定義0,1 nnnuu.有界有界部分和所成的數列部分和所成的數列正項級數收斂正項級數收斂ns2 2、正項級數及其審斂法、正項級數及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若

4、1nnu收斂收斂( (發散發散) )且且)(nnnnvuuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發發散散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數都是正項級數,如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數有相同的斂散性二級數有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發散發散,則則 1nnu發散發散;設設 1nnu為正項級數為正項級數,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),則則級級數數 1nnu發發散散;

5、如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在在,則則級級數數 1nnu收收斂斂.(3) (3) 極限審斂法極限審斂法(4) (4) 比值審斂法比值審斂法( (達朗貝爾達朗貝爾 D DAlembertAlembert 判別法判別法) )設設 1nnu是是正正項項級級數數,如如果果)(lim1 數數或或nnnuu則則1 時級數收斂時級數收斂;1 時級數發散時級數發散; 1 時失效時失效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設設 1nnu是正項級數是正項級數, ,如果如果 nnnulim)( 為數或為數或 , ,則則1 時級數收斂時級數收斂; ; 1 時級

6、數發散時級數發散; ;1 時失效時失效. .定義定義 正正 、負項相間的級數稱為交錯級數、負項相間的級數稱為交錯級數. . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn;(;() )0lim nnu, ,則則級數收斂級數收斂, , 且其和且其和1us , , 其余 項其余 項nr的絕對值的絕對值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯級數及其審斂法、交錯級數及其審斂法定義定義 正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.定定理理 若若

7、 1nnu收收斂斂,則則 1nnu收收斂斂.定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 0nnu為絕對收斂為絕對收斂; ;若若 1nnu發發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項級數及其審斂法、任意項級數及其審斂法5 5、函數項級數、函數項級數(1) (1) 定義定義設設),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數數, ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區區間間I上上的的( (函函數數項項) )無無窮窮級級數數. .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果

8、Ix 0,數數項項級級數數 10)(nnxu收收斂斂,則稱則稱0 x為級數為級數)(1xunn 的的收斂點收斂點, ,否否則則稱稱為為發發散散點點. .所有發散點的全體稱為所有發散點的全體稱為發散域發散域. .函數項級數函數項級數)(1xunn 的所有收斂點的全體稱為的所有收斂點的全體稱為收斂域收斂域, ,(3) (3) 和函數和函數在收斂域上在收斂域上, ,函數項級數的和是函數項級數的和是x的函數的函數)(xs, ,稱稱)(xs為函數項級數的為函數項級數的和函數和函數. .(1) (1) 定義定義形如形如nnnxxa)(00 的級數稱為的級數稱為冪級數冪級數.,00時時當當 x其其中中na為

9、為冪冪級級數數系系數數.6 6、冪級數、冪級數nnnxa 0如如果果級級數數 0nnnxa在在0 xx 處處發發散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發發散散. .定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果級級數數 0nnnxa在在)0(00 xxx處處收收斂斂, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處絕絕對對收收斂斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級級數數 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數數軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的

10、的正正數數R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質質: :當當Rx 時時, ,冪冪級級數數絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪級數發散冪級數發散;當當RxRx 與與時時, ,冪級數可能收斂也可能發散冪級數可能收斂也可能發散. .推論推論定義定義: : 正數正數R稱為冪級數的稱為冪級數的收斂半徑收斂半徑.冪級數的收斂域稱為冪級數的冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區間收斂區間.定定理理 2 2 如如果果冪冪級級數數 0nnnxa的的所所有有系系數數0 na,設設 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R

11、;a.a.代數運算性質代數運算性質: : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設設 (3)(3)冪級數的運算冪級數的運算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收斂域內收斂域內b.b.和函數的分析運算性質和函數的分析運算性質: : 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區區間間),(R

12、R 內內連連續續,在在端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側側連連續續. 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間),(RR 內可積內可積,且對且對),(RRx 可逐項積分可逐項積分. 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次.7 7、冪級數展開式、冪級數展開式 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導處任意階可導,則冪級數則冪級數nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數泰勒級數.nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點

13、在點0 x的的麥克勞林級數麥克勞林級數.(1) 定義定義定理定理 )(xf在點在點0 x的泰勒級數的泰勒級數, ,在在)(0 xU 內收內收斂于斂于)(xf在在)(0 xU 內內0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定理定理 如果函數如果函數)(xf在在)(0 xU 內內能能展開成展開成)(0 xx 的冪級數的冪級數, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則其系數則其系數 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且展開式是唯一的且展開式是唯一的. .(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟:

14、;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數在收斂區間內收則級數在收斂區間內收b.b.間接法間接法 根據唯一性根據唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數展開式常見函數展開式)1 , 1( x

15、 nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 應用應用a.a.近似計算近似計算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函數系三角函數系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上的積分等于零上的積分等于零任意兩個不同函數在任意兩個不同函數在正交性正交性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數系三角函數系8 8、傅里葉級數、傅里葉級數 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmn

16、mnxdxmx, 0coscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中(2) (2) 傅里葉級數傅里葉級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數三角級數其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數稱為傅里葉級數. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷( (DirichletDirichlet) )充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設設)(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數數.如如果果它它滿滿足足條條件

17、件:在在一一個個周周期期內內連連續續或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數數收收斂斂,并并且且(1) 當當x是是)(xf的連續點時的連續點時,級數收斂于級數收斂于)(xf;(2) 當當x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當當x為為端端點點 x時時,收收斂斂于于2)0()0( ff. 如果如果)(xf為奇函數為奇函數, 傅氏級數傅氏級數nxbnnsin1 稱為稱為正弦級數正弦級數.(4) (4) 正弦級數與余弦級數正弦級數與余弦級數 當當周周期期為為 2

18、的的奇奇函函數數)(xf展展開開成成傅傅里里葉葉 級級數數時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數數為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 當周期為當周期為 2的偶函數的偶函數)(xf展開成傅里葉級數展開成傅里葉級數時時,它的傅里葉系數為它的傅里葉系數為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如果如果)(xf為偶函數為偶函數, 傅氏級數傅氏級數nxaanncos210 稱為稱為余弦級數余弦級數.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級數的傅氏正弦級數)(xf.sin)(1

19、 nnnxbxf)0( x(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級數的傅氏余弦級數)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式為式為則它的傅里葉級數展開則它的傅里葉級數展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數的周期函數設周期為設周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的周期函數的傅氏展開的周期函數的傅氏展開周期為周期為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln二、典型例題二、

20、典型例題;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據級數收斂的必要條件，根據級數收斂的必要條件，原級數發散原級數發散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收斂收斂 nnn根據比較判別法，根據比較判別法，原級數

21、收斂原級數收斂 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由于由于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100時時即即當當 aa原級數收斂；原級數收斂；,1110時時即即當當 aa原級數發散；原級數發散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原級數為原級數為,)11()2ln(lim nnnn原級數也發散原級數也發散斂？是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，是否收判斷級數1ln) 1(nnnn例例解解,1ln1n

22、nn ,11發散發散而而 nn,ln1ln) 1(11發散nnnnnnn即原級數非絕對收斂即原級數非絕對收斂,ln)1(1級數級數是交錯是交錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上單增上單增在在,ln1單減單減即即xx ,1ln1時單減時單減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數收斂，所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂故原級數是條件收斂.)1)(1(0斂域及和函數斂域及和

23、函數收收求級數求級數 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂半徑為斂半徑為的收的收, 111 x收收斂斂域域為為, 20 x即即則有則有設此級數的和函數為設此級數的和函數為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項積分兩邊逐項積分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求導，得求導，得兩邊再對兩邊再對 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克勞林級數克勞林級數展開成麥展開成麥將將xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422

24、nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的冪級數的冪級數成成的和函數展開的和函數展開將級數將級數)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解設法用已知展開式來解設法用已知展開式來解的展開式，的展開式，是是分析分析xnxnnnsin)!12()1(1121 1121

25、11211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 012021)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),(形形函數，同時畫出它的圖函數，同時畫出它的圖寫出該級數的和寫出該級數的和的正弦級數并在的正弦級數并在為周期為周期內展開成以內展開成以在在將將 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sincos2), 0(cos)(1

26、進行奇開拓進行奇開拓內對內對必須在必須在周期的正弦級數周期的正弦級數為為內展開成以內展開成以在在要將要將xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上級數的和函數為上級數的和函數為在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs和函數的圖形為和函數的圖形為xy

27、o 2 2的和的和由此求級數由此求級數為周期的付氏級數，并為周期的付氏級數，并以以內展開成內展開成將函數將函數 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是是偶偶函函數數 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252kk 122,8)12(1

28、kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 22222 2n 1n 1x xcos nxxcos nxxx x426426n n 證明：當時，例例8 8解解,24)(2xxxf 設設上展開成余弦級數：上展開成余弦級數：在在將將, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 2 2n n0 02x2xx xa()cos nxdxa()cos nxdx4242 2 20 00 02x2xxxxx()sin nx()sin nxdx()sin nx()sin nxdxn n42224222 nxdxnco

29、s)22(202 222 n.12n 22222 2n 1n 1x xx xcos nxcos nx(0 x(0 x ) )426426n n 22222 2n 1n 1cos nxxcos nxxx x426426n n 故一一、 選選擇擇題題: :1 1、下下列列級級數數中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級級數數中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11

30、)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .測測 驗驗 題題3 3、下列級數中、下列級數中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數列、部分和數列 ns有界是正項級數有界是正項級數 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (A)(A)充分條件；充分條件； (B) (B)必要條件；必要條件； (C)(C)充要條件；充要條件； (D) (D)既非充分又非必要條件既非充分

31、又非必要條件 . .5 5、設、設a為非零常數為非零常數, ,則當則當( )( )時時, ,級數級數 1nnra收斂收斂 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、冪級數、冪級數 11)1()1(nnnnx的收斂區間是的收斂區間是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .7 7、若冪級、若冪級 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為:1R 10R; ; 0nnnxb的收斂半徑為的收斂半徑為:2R 20R, ,則冪級數則冪

32、級數 0)(nnnnxba的收斂半徑至少為的收斂半徑至少為( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、當、當0 R時時, ,級數級數21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)條件收斂；條件收斂； (B) (B)絕對收斂；絕對收斂； (C) (C)發散；發散； (D) (D)斂散性與斂散性與值無關值無關k. .9 9、0lim nnu是是級級數數 1nnu收收斂斂的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分條條件件； ( (B B) )必必要要條條件件； ( (C C) )充充要要條條件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要條條件件 . .1 10 0、冪冪級級數數 1)1(nnxnn的的收收斂斂區區間間是是(