1、 關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的總結(jié)“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想一、建立函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中量與量之間的變化規(guī)律,和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)

2、動(dòng)時(shí),線段GO、GP、GH中,有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有,請(qǐng)指出這樣的線段,并求出相應(yīng)的長(zhǎng)度.(2)設(shè)PH,GP,求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長(zhǎng).解:(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長(zhǎng)度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時(shí),解得. 經(jīng)檢驗(yàn), 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時(shí), ,解得. 經(jīng)檢驗(yàn)

3、, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時(shí),.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長(zhǎng)為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式 例2（2006年·山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動(dòng).設(shè)BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定與之間的函數(shù)解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數(shù)為,DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時(shí),(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說(shuō)明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°

4、;.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數(shù)關(guān)系式成立,=, 整理得.當(dāng)時(shí),函數(shù)解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點(diǎn)O是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EPED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.PDEACB3(2)OF(1)求證: A

5、DEAEP.(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域. (3)當(dāng)BF=1時(shí),求線段AP的長(zhǎng).解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當(dāng)BF=1時(shí)， 若EP交線段CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90°, FPB=DP

6、E,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2), 則CF=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述, 當(dāng)BF=1時(shí),線段AP的長(zhǎng)為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式ABCO圖8H例4（2004年·上海）如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(dòng)(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,AOC的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長(zhǎng)為半徑作圓O,求當(dāng)O與A相切時(shí),AOC的面積.解:(1)過(guò)點(diǎn)A作A

7、HBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當(dāng)O與A外切時(shí),在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時(shí),AOC的面積=.當(dāng)O與A內(nèi)切時(shí),在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時(shí),AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)O與A相切時(shí),AOC的面積為或.二：動(dòng)態(tài)幾何題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問(wèn)題背景是特殊圖形，（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的題 （一）點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題

8、1如圖，中，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)； （2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的和以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑的相切時(shí)，求的長(zhǎng)； （3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，求的長(zhǎng) 題型背景和區(qū)分度測(cè)量點(diǎn)解：（1） 證明 ，代入數(shù)據(jù)得，AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法， 相切時(shí)分外切和內(nèi)切兩種情況考慮： 外切，；內(nèi)切，當(dāng)和相切時(shí)，的長(zhǎng)為或（3）當(dāng)以邊為直徑的與線段相切時(shí)，（二）線動(dòng)問(wèn)題在矩形ABCD中，AB3，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，直線l過(guò)點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)B，把ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對(duì)稱中心A重合，求BC的長(zhǎng)；ABCDE

9、OlA(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AOAC，設(shè)AD的長(zhǎng)為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓與直線l相切，若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (1)A是矩形ABCD的對(duì)稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切（三）面動(dòng)問(wèn)題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，

10、并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng) 解：（1）.（2）令此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為，則，解得.（3）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， . （4）.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點(diǎn)M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設(shè)BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時(shí),是否存在點(diǎn)D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請(qǐng)求出x的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由例1：已知O的弦A

11、B的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點(diǎn)C的變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時(shí)，ACB所對(duì)的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時(shí)，ACB所對(duì)的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為36

12、00-600=3000，則由同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=1500，因此，本題的答案有兩個(gè)，分別為300或1500.專題三：雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問(wèn)題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問(wèn)題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如

13、圖1). 動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度都是1cm/s. 而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C. 設(shè)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t(s)時(shí)，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN. (1)分別求出梯形中BA，AD的長(zhǎng)度； (2)寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全整個(gè)運(yùn)動(dòng)中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象. 2

14、以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開(kāi)放性問(wèn)題 例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒. (1)求BAO的度數(shù). (2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度. (3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo). (4)

15、如果點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒. 3 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問(wèn)題 例3 (2007年揚(yáng)州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t

16、秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，求時(shí)間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 4 以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問(wèn)題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長(zhǎng)為82cm的正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，沿對(duì)角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)E作EH垂直AC交RtACD的直角邊

17、于H；過(guò)F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，解答下列問(wèn)題： (1)當(dāng)0<X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為82，所以AC=16，過(guò)B作BOAC于O，則OB=89，因?yàn)锳E=x，所以S2=4x，因?yàn)镠E=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當(dāng)S1=S2時(shí)，

18、 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時(shí)， S1=S2. (2)當(dāng)0x<8時(shí)，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當(dāng)8x16時(shí)，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當(dāng)0x<8時(shí)，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時(shí)，y的最大值為50. 當(dāng)8x16時(shí)，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當(dāng)x=13時(shí)，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評(píng)析 本題是以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問(wèn)題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會(huì)題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時(shí)間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)