1、 關于動點問題的總結“動點型問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜關鍵:動中求靜.數學思想：分類思想 函數思想 方程思想 數形結合思想 轉化思想一、建立函數解析式函數揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規律,和動點問題反映的是一種函數思想,由于某一個點或某圖形的有條件地運動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關系,一、應用勾股定理建立函數解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個動點P,PHOA,垂足為H,OPH的重心為G.(1)當點P在弧AB上運

2、動時,線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有,請指出這樣的線段,并求出相應的長度.(2)設PH,GP,求關于的函數解析式，并寫出函數的定義域(即自變量的取值范圍).HMNGPOAB圖1(3)如果PGH是等腰三角形,試求出線段PH的長.解:(1)當點P在弧AB上運動時,OP保持不變,于是線段GO、GP、GH中,有長度保持不變的線段，這條線段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (0<<6).(3)PGH是等腰三角形有三種可能情況:GP=PH時,解得. 經檢驗, 是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, ,解得. 經檢驗

3、, 是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.二、應用比例式建立函數解析式 例2（2006年·山東）如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點D,E在直線BC上運動.設BD=CE=. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定與之間的函數解析式； AEDCB圖2 (2)如果BAC的度數為,DAE的度數為,當,滿足怎樣的關系式時,(1)中與之間的函數解析式還成立?試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°, ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°

4、;.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函數關系式成立,=, 整理得.當時,函數解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在ABC中,ABC=90°,AB=4,BC=3. 點O是邊AC上的一個動點,以點O為圓心作半圓,與邊AB相切于點D,交線段OC于點E.作EPED,交射線AB于點P,交射線CB于點F.PDEACB3(2)OF(1)求證: A

5、DEAEP.(2)設OA=,AP=,求關于的函數解析式,并寫出它的定義域. (3)當BF=1時,求線段AP的長.解:(1)連結OD.根據題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90°, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)當BF=1時， 若EP交線段CB的延長線于點F,如圖3(1)，則CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90°, FPB=DP

6、E,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交線段CB于點F,如圖3(2), 則CF=2.類似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述, 當BF=1時,線段AP的長為2或6.三、應用求圖形面積的方法建立函數關系式ABCO圖8H例4（2004年·上海）如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=,A的半徑為1.若點O在BC邊上運動(與點B、C不重合),設BO=,AOC的面積為.(1)求關于的函數解析式,并寫出函數的定義域.(2)以點O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當O與A相切時,AOC的面積.解:(1)過點A作A

7、HBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)當O與A外切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.當O與A內切時,在RtAOH中,OA=,OH=, . 解得.此時,AOC的面積=.綜上所述,當O與A相切時,AOC的面積為或.二：動態幾何題動態幾何特點-問題背景是特殊圖形，（特殊角、特殊圖形的性質、圖形的特殊位置。）動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數、線段或面積的最值一、以動態幾何為主線的題 （一）點動問題

8、1如圖，中，點在邊上，且，以點為頂點作，分別交邊于點，交射線于點（1）當時，求的長； （2）當以點為圓心長為半徑的和以點為圓心長為半徑的相切時，求的長； （3）當以邊為直徑的與線段相切時，求的長 題型背景和區分度測量點解：（1） 證明 ，代入數據得，AF=2（2）設BE=,則利用（1）的方法， 相切時分外切和內切兩種情況考慮： 外切，；內切，當和相切時，的長為或（3）當以邊為直徑的與線段相切時，（二）線動問題在矩形ABCD中，AB3，點O在對角線AC上，直線l過點O，且與AC垂直交AD于點E.(1)若直線l過點B，把ABE沿直線l翻折，點A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；ABCDE

9、OlA(2)若直線l與AB相交于點F，且AOAC，設AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.求S關于的函數關系式，并指出的取值范圍；探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由 (1)A是矩形ABCD的對稱中心ABAAACABAB，AB3AC6 (2)， ()若圓A與直線l相切，則，(舍去)，不存在這樣的，使圓A與直線l相切（三）面動問題 如圖，在中，、分別是邊、上的兩個動點（不與、重合），且保持，以為邊，在點的異側作正方形.（1）試求的面積；（2）當邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設，與正方形重疊部分的面積為，試求關于的函數關系式，

10、并寫出定義域；（4）當是等腰三角形時，請直接寫出的長 解：（1）.（2）令此時正方形的邊長為，則，解得.（3）當時， ，當時， . （4）.ABFDEMNC已知：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，點D在邊BC上，點E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點M、N （1）求證：BDMCEN； （2）設BD=，ABC與DEF重疊部分的面積為，求關于的函數解析式，并寫出定義域（3）當點M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切, 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：已知O的弦A

11、B的長等于O的半徑，點C在O上變化（不與A、B）重合，求ACB的大小 .分析：點C的變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點C改變一下,如何變化呢？可能在優弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結果不一樣。那么，當點C在優弧AB上變化時，ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：ACB=AOB=300，當點C在劣弧AB上變化時，ACB所對的弧是優弧AB，它的大小為優弧AB的一半，由AOB=600得，優弧AB的度數為36

12、00-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關系得出：ACB=1500，因此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.專題三：雙動點問題點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點為載體，探求函數圖象問題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如

13、圖1). 動點P，Q同時從點B出發，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s. 而當點P到達點A時，點Q正好到達點C. 設P，Q同時從點B出發，經過的時間為t(s)時，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數圖象是圖3中的線段MN. (1)分別求出梯形中BA，AD的長度； (2)寫出圖3中M，N兩點的坐標； (3)分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數關系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關于x的函數關系的大致圖象. 2

14、以雙動點為載體，探求結論開放性問題 例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點A的坐標為(10，0)，頂點B的坐標為(5，53)，AB=10，點P從點A出發，沿ABC的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒. (1)求BAO的度數. (2)當點P在AB上運動時，OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度. (3)求(2)中面積S與時間t之間的函數關系式及面積S取最大值時點P的坐標. (4)

15、如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由. 解 (1)BAO=60°. (2)點P的運動速度為2個單位/秒. 3 以雙動點為載體，探求存在性問題 例3 (2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點M，N同時從B點出發，分別沿BA，BC運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設運動時間為t

16、秒. (1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米； (2)若a=5厘米，求時間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比； (3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍； (4)是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由. 4 以雙動點為載體，探求函數最值問題 例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交RtACD的直角邊

17、于H；過F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結HG、EB.設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規定：線段的面積為0).E到達C，F到達A停止.若E的運動時間為x(s)，解答下列問題： (1)當0<X(2)若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數關系式； (圖10為備用圖) 求y的最大值. 解 (1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BOAC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當S1=S2時，

18、 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當x=6時， S1=S2. (2)當0x<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x， 當8x16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16， 所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256. 當0x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當x=5時，y的最大值為50. 當8x16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82， 所以當x=13時，y的最大值為82. 綜上可得，y的最大值為82. 評析 本題是以雙動點為載體，正方形為背景創設的函數最值問題.要求學生認真讀題、領會題意、畫出不同情況下的圖形，根據圖形建立時間變量與其它相關變量的關系式，進