1、靜磁場Staticmagneticfield 穩恒電流激發靜磁場，在穩恒電流的條件下，導體內及其周圍空間中，也存在靜電場，此時的電場與電流的關系為式中 為電導率。但是，靜電場和靜磁場之間并無直接的關系。 本章所要研究的與靜電問題類似，靜磁問題中最基本的問題是：在給定電流分布（或給定外場）和介質分布的情況下，如何求解空間中的磁場分布。Ejcc本本 章章 主主 要要 內內 容容穩恒電流分布的必要條件穩恒電流分布的必要條件穩恒電流體系的電場穩恒電流體系的電場矢勢及其微分方程矢勢及其微分方程磁標勢磁標勢磁多極矩磁多極矩阿哈羅諾夫阿哈羅諾夫玻姆效應玻姆效應3.1 穩恒電流分布的必要條件Essential

2、 condition of steady current profile 電荷在導體內穩恒流動，導體內部將會不斷地產生焦耳熱，即電磁能將不斷地損耗。根據能量守恒方程由于穩恒條件要求StwEj0tw且有當存在外來電動力場時，則故故有SEj)(外EEjc2()1cVVcVVjj EdVjEdVj dVj E dV外外21cVVSj E dVj dVS d 外該式的物理意義是： 外來電動力場所作的功等于體系內焦耳熱損耗和從體系的界面流出去的能量的總和。因此，體系要保持電荷穩恒流動的必要條件是必須要有外來的電動力（即外來電動勢）。 穩恒電流體系的電場Electric field of steady c

3、urrent system 根據Maxwells equation,穩恒電流 及其電場所滿足的方程為：在導體內流有電荷的情況下，我們并不知道其電荷分布 的情況，所以無法從（1）式求場，只有從（2） j(2) 0)(j(1) 0cjEEED外式出發：即因為 ，所以用標勢，即 ，于是有由此可見，假若 給定，即可由（3）式求出電勢 。 在 區域，（3）式變為相應的邊值關系為：0)(外EEjc)()(外EEccE0E(3) )()(外Ecc外E0外E(4) 0)(c用 表示交界面上的關系，即（4）、（5）式就是分區均勻的穩恒電流體系的電場所滿足的方程和邊值關系。若整個體系的邊界條件已知，即可求出電流的

4、電場。0)(0)(112212ccjjnjjn(5) 121122SSScScnn從 出發，可求得導體內的電荷分布：其中，穩恒電流條件要求： 從 可看出，均勻導電體系內不會出現電荷堆積，只有當導體在沿著電荷流動方向不均勻 D)()()(ccccjjjjE0 j)(cj時，才有可能有電荷存在。因此，對于分塊均勻的導電體，電荷只可能分布在交界面上，即利用 ，得到面電荷密度為所以，如果交界面兩側各自的介電常數與電導率之比值相等，則交界面上也不存在面電荷密度。)()(11122212jjnDDnccf0)(12jjnjnccf)(11223.3 矢勢及其微分方程矢勢及其微分方程Vector poten

5、tial and differential equation1、矢勢矢勢 穩恒電流磁場的基本方程是由此可看出，磁場的特點和電場不同。靜電場是無旋的，即引入標勢 來描述。而磁場是有旋的，一般不能引入一個標勢來描述整個空間的磁場，但由于磁場是無源的，可以引入一個矢量來描述它。jHB0即若則 稱為磁場的矢勢。 根據 ，可得到由此可看到矢勢 的物理意義是： 矢勢 沿任一閉合回路的環量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。必須注意：只有 的環量才有物理意義，而在每點ABB0A0SB dS()LSSB dSA dSA dlAAA上的 值沒有直接的物理意義。 矢勢 可確定磁場 ，但由 并不能唯一地確定 ，

6、這是因為對任意函數 。即 和 對應于同一個 ， 的這種任意性是由于 的環量才有物理意義的決定的。2、矢勢微分方程矢勢微分方程 由于 ，引入 ，在均勻線性介質內有 ，將這些代入到 中，即)(xAAABBAA)(ABAAAAB0 BjHHB若 滿足庫侖規范條件 ，得矢勢 的微分方程jAAABBBBH2)(1)(1111A0 AA)0(2AjA或者直角分量：這是大家熟知的Pissons equation. 由此可見，矢勢 和標勢 在靜場時滿足同一形式的方程，對此靜電勢的解。可得到矢量的特解：1,2,3)(i 2iijAA01( )( )4VxxdVr( )( )4Vj xA xdVr由此即得作變換

7、，即得這就是畢奧薩伐爾定律。 當全空間中電流 給定時，即可計算磁場 ，對31()( )4( )4VVBAj x dVrj xrdVr lIddjLrrlIdB34Bj于電流和磁場互相制約的問題，則必須解微分方程的邊值問題。3、矢勢邊值關系矢勢邊值關系 在兩介質分界面上，磁場的邊值關系為對應矢勢 的邊值關系為(2) )(1) 0)(1212fHHnBBnA(4) )11(3) 0)(112212fAAnAAn其實，邊值關系（3）式也可以用簡單的形式代替，即在分界面兩側取一狹長回路，計算 對此狹長回路的積分。當回路短邊長度趨于零時（如同 時）。另一方面，由于回路面積趨于零，有因此使得由于 只有AL

8、Il dHLttlAAl dA)(120LSA dlB dS0)(12lAAtt0l另外，若取 ，仿照第一章關于法向分量邊值關系的推導，可得（5）、（6）兩式合算，得到即在兩介質分界面上，矢勢 是連續的。4、靜磁場的能量靜磁場的能量 磁場的總能量為(5) 12ttAA (6) )0( 12AAAnn0 A(7) 12SSAAA12VWB HdV在靜磁場中，可以用矢勢 和電流 表示總能量，即即有：jAjAHAHAHAHAHB)()()()(1()211()2212SWA HA j dVA HdSA jdVA jdV 這里不能把 看作為能量密度。因為能量分布于磁場中，而不僅僅存在于電流分布區域內。

9、另外，能量式中的 是由電流 激發的。 如果考慮兩個獨立電流系之間的相互作用能，則設電流系 建立矢勢為 ，另一電流系 建立矢勢為 ， 分布于 ， 分布于 ，若電流分布為磁場總能量為jAjA21eAejjAej22Vx 11Vx j).( )()()(2121VVVxxjxjxjee總12VWjA dV總總總由此可見，上式右邊第一、二項是電流系 各自的自能，其相互作用能為 12121() ()211221()2oreeVeeVVeeVjjAA dVjA dVj AdVjAj A dVejj ,121()2orieeVWjAj A dV因為其中：所以212121211221()()4()()4Vee

10、Vj xA xdVrj xA xdVrrxxxx1122122111212212()()4()()4eeVVVeeVVVj xjAdVj xdV dVrj xj A dVj xdV dVr 該兩式相等，因此電流 在外場 中的相互作用能量為5、舉例討論用舉例討論用 計算計算 例例11無窮長直導線載電流I，求空間的矢勢 和磁場 。Solution : : 取導線沿z軸，設p點到導線的垂直距離為R，電流元Idz到p點距離為eAjieVWj A dVBAAozdzRPI22zR 因此得到積分結果是無窮大（發散的）。計算兩點的矢勢差值可以免除發散，若取R0點的矢勢值為零，則)ln(442222RzzIz

11、RIdzAz222202202220222011111111ln4limln4lim)()(MRMRMRMRIRzzRzzIpApAMMMMzz每項相乘后，再二次項展開得亦即故0022022202222020ln2ln2ln44141ln4limRRIRRIRRIMRRRMRRRIMzeRRIpApA00ln2)()(zeRRIpA0ln2)(0取 的旋度，得到A 212)ln(ln2ln2ln2ln2ln200000RzzRzzzzzeeRIeeRIeRRIeRRIeRRIeRRIeRRIAB0 2eRI 結果與電磁學求解一致。例例2半徑為a的導線園環載電流為I，求空間的矢勢和磁感應強度。S

12、olution: 首先求解矢勢A00( )44Vj xAdVrIdlrzyxP(r,)RraolId(a,o)由于問題具有軸對稱性，可以把觀察點選在xz平面上，這樣的好處是=0，故 只與r，有關。其中即得222 2cos (, ) xyraRRaR adlidljdl dal daldal dalyyxxcos sinsin cos2022020220cos2cos4cos2sin4RaaRdaIARaaRdaIAyx又 園電流環在xy平面上，故 ，于是得到因此得到：2)0,2( cossin)cos(sinsincoscoscos其中202122202021220cos2sin4cossin

13、2sin4azadaIRaaRdaIAxRzRsin,222作變換：令202122202021222020212220cos2cos40cos2)1(4cos2cos4azadaIAazaaIazaadIy2 , )(21則這樣于是有dd21sin2)2cos()2cos(cos220212222202212222202221222220) 1sin2(2) 1sin2() 1sin2(2) 1sin2(2) 1sin2(2) 1sin2(24azadazadIaazadIaAy令 ，則有考慮一般情況，這里的y方向實際上就是 方向，因2021222202021222220)sin4)() 1s

14、in2() 1sin2(2) 1sin2(azadIaazadIa1222)(4zaak202122212220)sin1 ()() 1sin2(kzadIaAye此上式可改為：2021222202122221020212222221220202122221220)sin1 () 12( )sin1 (2)(2)sin1 () 12(2sin2)(1)sin1 () 1sin2()(1kdkdkkaIadkkkzaIakdzaIaA令這里(k) , (k)分別為第一、第二類橢園積分。從而得到故磁感應強度的嚴格表達式為202122202122)sin1 ()()sin1 ()(dkkkdk)()

15、(21 ()()() 12()(2)(2221022210kkkakIkkkkaIkA討論： 對于遠場，由于Ra，且有)()()()(12)(10)()()()(222222212202222221220kzazakzaIABBkzazakzazIzABzcossincos當Ra情況下，上式分母展開為：于是得到2021220)cossin2(cos4RaRadIaA21222122212221222122)cossin2211 ()( )cossin21 ()( )cossin2(RaaRRaRaRaRaRaRa若Ra，且sin)(42sin4121sin)(14cossin28)(cos4c

16、ossin2211)(cos42322020232202202202021220202221220RaRIaRaRIadRaaRIadRaIadRaaRRaIaA于是磁感應強度為sin4sin14sin142020220RmRISRIaAeARARReRARAReAARABrrr)(1 )(sin11 )(sinsin1可見，對于一個園電流環，在遠處所激發的磁場，相當于一個磁矩為 的磁偶極子激發的場。3503030)(344sin4cos2RmRRRmeRmeRmrm3.4 磁標勢磁標勢Magnetic scalar potential 本節所研究的問題是避開矢量 求磁感應強度 的不便理由。類

17、比于靜電場，引入磁標勢 。然后討論 所滿足的微分方程，繼而討論靜磁問題的唯一性定理。1、磁標勢引入的條件磁標勢引入的條件 （1）所考慮的空間區域沒有傳導電流 根據靜磁場的Maxwells equation:ABmm若考慮傳導電流為零的空間，則一定有于是可以引入標勢 ，從而有這與靜電學中 完全類似，故 稱為磁標勢，因此引入磁標勢的第一個條件是空間無傳導電流。 （2）空間應為單連通區域 根據積分式子 ，我們將可看到，對于jHB00HmmHEmLIl dH一個任意的積分閉合路徑，如果I=0，有可能定義磁標勢，這時 ，引入磁標勢 是保守場的勢，但是 只說明該區域內沒有渦旋場的源。許多情況下，區域內雖然

18、沒有電流分布，但磁場仍然是渦旋的，它就不是保守場，故不能引入磁標勢，這一點由一無限長載流導線周圍的空間的場可以看出，即導線外界空間I=0，滿足 ，但磁場是渦旋的。 然而，真實的情況是由Ampere環路定律所表達的。0H0HmI0H 沿閉合曲線積分一周是否為零取決于路徑的選擇，若考慮一個環形電流附近的空間（電流環除外）中的磁場，顯然，這個區域由于不存在傳導電流而認為可以用 來描述。設該空間磁場的標勢為 ，且 ，將磁場強度 沿一閉合曲線L積分，而此積分曲線是穿過電流環的，因而積分回路包圍電流，故另一方面mHHmHLSIsdjl dH終起mmLmLmdsdl dH )(m于是有因為 是沿閉合曲線積分

19、的起點和終點的標勢，是空間同一點的值，應該是單值函數。而現在表明 不是單值的，它與積分回路的選取有關。因此，僅有僅有“無傳導電流無傳導電流”這一條件還不夠，必須要求這一條件還不夠，必須要求 為單值的。為單值的。 為此，引入以電流環為邊界的任意曲面，并規定積分路徑不允許穿過此曲面。任何閉合積分路徑都不穿過曲面，這樣， 就是一個單值的。從曲面的一側穿過曲面到另一側，磁標勢 不是連續的。存在著大小為I的躍變，由此可見，若電流是環形分布的，只能Imm終起終起和mmmmmm在挖去環形電流所圍成的曲面之后剩下的空間才能可用磁標勢。也就是使復連通區域成為單連通區域，所以通常把第二個條件稱為單連通區域條件。

20、如一個線圈，如果挖去線圈所圍著的一個殼形區域S，則在剩下的空間中任一閉合回路都不鏈環著電流。因此在除去這個殼形區域之后, 在此空間中就可引入 又如電磁鐵，兩磁極間隙處的磁場，可引入 ；對于永久磁鐵，只有分子電流，無傳導電流，在其全空間（含其體內）都可引入 。 mISmm2、磁標勢磁標勢 的方程的方程 在能引入磁標勢的區域內，磁場滿足：在磁介質中， 的關系是（不論是鐵磁質還是非鐵磁質）：因為 ，代入上式，則得m00HBHB和)(0MHB0 BMH與電介質中極化電荷密度的表達式 類比，可以假想磁荷密度為于是，得到與電介質中的靜電場方程類似的形式將 代入上式，即得到PpMm000HHmmHMmmm0

21、02從 和 的邊值關系可以求得 在交界面上的關系：由 ，得到由 ，及 可得對于非鐵磁質來說， ，故得到 BHm0)(12HHnSmSm21)(0MHB0)(12BBn)(1212MMnnnSmSmHBSmSmnn1122由此可見，交界面上的關系和靜電介質完全類似。因此，引入磁荷和磁標勢的好處在于可以借用靜電學中的方法。3、靜磁問題的唯一性定理、靜磁問題的唯一性定理 當所考慮的區域是單連通的，其中沒有傳導電流分布時，可引入磁標勢 ，通過和靜電學問題的唯一性定理同樣的推導，可得出靜磁問題的唯一性定理： 如果可均勻分區的區域V中沒有傳導電流分布，只要在邊界S上給出下列條件之一，則V內磁場唯一地確定：

22、mH a)磁標勢之值 b)磁場強度的法向分量 c) 磁場強度的切向分量4、磁標勢的應用舉例磁標勢的應用舉例例例1 證明的磁性物質表面為等磁勢面。 Solution: 角標1代表磁性 物質、角標2為真空.Sm.SmSnnH.StH012由磁場邊界條件：以及可得到法向和切向分量為兩式相除，得0)( , 0)(1212HHnBBn111202 , HBHBttnnHHHH12120 , 01102211202ntntntntHHHHHHHH因此，在該磁性物質外面，H2與表面垂直（切向分量與法向分量之比0)，因而表面為等磁勢面。例例2求磁化矢量為 的均勻磁化鐵球產生的磁場。Solution: 鐵球內外

23、為兩均勻區域，在鐵球外沒有磁荷分布 ( )，在鐵球內由于均勻磁化 , 而 =0，因此磁荷只能分布在鐵球表面上，故球內、外磁勢都滿足Laplaces equation.0M0外m0Mm內)( 0)( 0022012rRRrmm球半徑0M由于軸對稱性，極軸沿 方向，上式解的形式為：球外磁標勢必隨距離r增大而減小，即球內磁標勢當r=0時必為有限，即故有：0Mnnnnnnmnnnnnnmprdrcprbra)(cos)()(cos)()1(2)1(10 , 01nrma即0 , 02nrmd從而得到有限值nnnnmnnnnmrRprcRrprb)( )(cos)( )(cos020)1(1鐵球表面邊界

24、條件為、 當r=R0時：設球外為真空，則00000000212101221 RrmRrmRrRrRrmRrmRrrRrrHHMnnnBB或者或者由邊界條件得：cos)(coscos)(cos) 1(001000200202)2(010101MprncMrMHBprbnrHBnnnnmrrrnnnnmrrnnnnnnnnnnnnnnnnPRcPRbPMPRncPRbn)(cos)(cos)(cos)(cos)(cos) 1(0000)1(101)2(比較 的系數： 當n=1時，有所以 當 時，有)(cosnP01201013012RcRbMcRb30010131 , 31RMbMc0nnbc1n

25、從而得到鐵球內、外的磁場強度為rMrMrrMRrRMrRMmm002303023002300131cos3133coscos31ermermerRMerRMrMRererHrrrm33330033003030114sin4cos23sin3cos23cos)1(其中： 。由此可見鐵球外的磁場相當于一個磁偶極子所激發的場。把 取在 方向上，即有30034RMMVmkMeeMHrm002231)sin(cos31k0M0002022020232)()(31MMHMHBMH進一步討論可見： 線總是閉合的， 線且不然， 線是從右半球面上的正磁荷發出，終止于左半球面的負磁荷上。在鐵球內， 與 反向。說明

26、磁鐵內部的 與 是有很大差異的。 線是閉合的 線由正磁荷發出到負磁荷止BHHBHBHBH3.5 磁多極矩磁多極矩Magnetic multipole moment 本節研究空間局部范圍內的電流分布所激發的磁場在遠處的展開式。與電多極矩（electric multipole moment) 對應。引入磁多極矩概念，并討論這種電流分布在外磁場中的能量問題。1、矢勢矢勢 的多極展開的多極展開 給定電流分布在空間中激發的磁場矢勢為A0( )( )4Vj xA xdVr如果電流分布集中在一個小區域V中，而場點 又距離該區域比較遠，這時可仿照靜電情況的電多極矩展開的方法，把矢勢 作多極展開，即把 在區域內

27、的某一點展開成 的冪級數。若展開點取在坐標的原點，則x00(0)(1)(2)( )( )41111( ):42!( )( )( )VVj xA xdVrj xxx xdVRRRAxAxAx r1)(xAx展開式的第一項：展開式的第一項：即表示沒有與自由電荷對應的自由磁荷存在。(0)00001( )( )41( )4440VVLLAxj xdVRj xdsdlRIIdldlRR 0)()0( xA因為(1)0001( )( )41( )41( )4ViiViiVAxj x xdVRj x xdVRj x x dVR xxjxxjxxjxxxxjxxxjxxxjxxjxxjxxjxxjxxjiii

28、iiiiiiii)()( )()()()()()(21)()(21)(展開式的第二項：展開式的第二項：這里用到了穩恒電流條件所以0)(xj(1)00001( )( )411( )( )4211 ( )( )421( )8iiViiiViiiViiVAxj x x dVRj x xj x xdVRj x xj x xdVRj x x xdVR 000001 ( )( )81( )81 ( )( )81( )( )811( )( )8iiiViiSiiiViiiViiiij x xj x xdVRj x x xdSRj x xj x xdVRj x xj x xdVRj x xx j xRR 01

29、1( )( )8ViiVdVj x xx j xdVRR 0其中故得到式中：稱此為磁矩磁矩。RxjxRxjxxxj)()()(1)00311( )( )424VAxxj x dVRmRR 1( )2Vmxj x dV 表示把整個電流系的磁矩集中在原點時，一個磁矩對場點所激發的矢勢。作為一級近似結果。展開式的第三項：展開式的第三項：將會是更高級的磁矩激發的矢量勢。因為比較復雜，一般不去討論。 綜上所述：小區域電流分布所激發的磁場，其綜上所述：小區域電流分布所激發的磁場，其矢勢可看作一系列在原點的磁多極子對場點激發的矢矢勢可看作一系列在原點的磁多極子對場點激發的矢勢的迭加。勢的迭加。(2)011(

30、 )( ):42!VAxj xx xdVR )()1(xA2、磁偶極矩的場和磁標勢磁偶極矩的場和磁標勢 根據 ，即有由此可見AB) 1 ()0()2() 1 ()0(BBAAAAB3303030)1()1()0()0()()(4)(440RRmmRRRRmRRmABAB因為討論的是區域V外的場，在 處，有故得到由此可見在電流分布以外的空間中0R01123RRRR)( )(4)(43030)1(為常矢mRRmRRmB)1()1(0)1(1mBH故得3、小區域內電流分布在外磁場中的能量小區域內電流分布在外磁場中的能量 設外場 的矢勢為 ，電流 分布在外磁場中的能量為：33)1(441RRmRRmm

31、eAeB)(xj( )( )ieVWj xA x dV對于環形小電流，則有當電流環線度很小， 變化不大時，取原點在線圈所在區域適當位置上，把 在原點附近展開：SeSeLeveisdBIsdAIl dAIl dsdxAxjW)()()(eBeB )0()0()(eeeBxBxB所以，得到可見(1)(2)(0)(0)ieeSiiWiBxBdSWW(1)(0)(0)(0)(0)ieSeSeeWIBdSIBdSIBSm B4、磁矩在外磁場中受力和力矩磁矩在外磁場中受力和力矩 體積V內的電流受外磁場的作用力為而從而得到( )( )eVFj xB x dV )0()0()(eeeBxBxB( )(0)(0

32、)eevFj xBxBdV第二項：第二項：(1)( )(0)(0)( )(0)(0) 00eVeVeLeFj xBdVBj x dVbIdlB (2)()(0)()(0)()(0)eVeVeVFj xxBdVj xxBdVj xxBdV 第一項：第一項： (0) ( )(0)( )1(0)( )( )21(0)( )( )21(0)( )2iiiiieiVeiVeiiVeiiVeiVBj x x dVBj x x dVBj x xj x xdVBj x xj x xdVBj x x xdV 1(0)( )( )21(0)( )21(0)( )( )21(0)( )( )21(2iiiieiiV

33、eiSeiiVeiiVBj x xj x xdVBj x x xdVBj x xj x xdVBj x xj x xdVj )(0)( )(0)iiieieVx x Bx j x BdV0故1( )(0)( ( )(0)21( )(0)2(0)iiieieVeVej xx Bx j xBdVxj xdBmB )0()0()()0()0()0()()0()()0(eeeeeeeBmBmmBmBBmBmBmF同理，考慮一個小區域內的電流在外磁場中受到的力矩為：展開式的第一項：展開式的第一項：()()()(0)(0)eVeeVLxj xBxdVxj xBxBdV(1)2()(0)()(0)()(0)1()(0)(0)()2eVeeVeeVVLxj xBdVj xxBxj xBdVj xxBdBxj xdV 21( )(0)(0)( )2( )(0)( )(0)(0)( )1(0)( )( )21 (0)( )( )2iiiieevSevieveiveiiveiij xx BdVBx j xdSj xx BdVj x x BdVBj x x dVBj x xj x xdVBj x xj x x vdV0故得到1(