1、在a,b，滿足xo 1=0”的（）第 1 1 頁共 2020 頁2020 屆安徽省皖江聯盟高三上學期12 月聯考試題 數學（理）一、單選題1 1 復數 z z 滿足1 -2iZ Z= =：4 4 3i（i為虛數單位），則復數 z z 的模等于（）A A -5B B. 、5C C 2 - 5D D 4 55 5【答案】B B【解析】根據復數模的性質和求解直接解得結果即可 【詳解】|1-2i|45故選：B【點睛】本題考查復數模長的求解，涉及到復數模的性質的應用，屬于基礎題x_112 2 已知全集為R，集合A = 2,1,0,1,2,B = jx|亍，則A（CuB）的元素個數為（）A A 1 1B

2、B. 2 2C C 3 3D D 4 4【答案】C C【解析】 解分式不等式求得集合B，根據交集和補集的定義求得集合A CUB，進而得到元素個數 【詳解】；B=X v 0 = x 2 v x仆 二Cu B = x2-或x蘭訃Ix+2JAn CuB-2,1公，有3個元素故選：C【點睛】本題考查集合元素個數的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和補集的混合運算，屬于基礎題 第2 2頁共 2020 頁3 3已知函數f x在區間a,b上可導，則函數f x在區間a,b上有最小值”是 存第3 3頁共 2020 頁A A 充分不必要條件B B.必要不充分條件 C C.充要條件 必要條件【答案】A A【解析】由

3、開區間最小值點必為極小值點可知極小值點導數值為0 0,充分性成立；利用3f x i=x可驗證出必要性不成立，由此得到結論【詳解】:a,b為開區間 最小值點一定是極小值點極小值點處的導數值為 0 0-充分性成立3當f X =X，X。=0時，X。=0，結合幕函數圖象知f x無最小值，必要性不 成立函數f X在區間a,b上有最小值”是存在X0 a,b，滿足冷=0”的充分 不必要條件故選：A【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，涉及到導數極值與最值的相關知識；關鍵是能夠明確極值點處的導數值為 0 0，但導數值為 0 0 的點未必是極值點 4 4. 20112011 年國際數學協會正式宣布，將每年的

4、3 3 月 1414 日設為國際數學節，來源于中國古代數學家祖沖之的圓周率。公元 263263 年，中國數學家劉徽用 割圓術”計算圓周率，計3927算到圓內接 30723072 邊形的面積，得到的圓周率是. .公元 480480 年左右，南北朝時期的1250數學家祖沖之進一步得出精確到小數點后7 7 位的結果，給出不足近似值 3.14159263.1415926 和過35522剩近似值 3.14159273.1415927，還得到兩個近似分數值，密率和約率 。大約在公元 5305301137周率的近似值中，最接近真實值的是（）3927355A A.B.B.- -1250113【答案】B B【解

5、析】 依次計算出每個近似值，與圓周率作對比找到最接近真實值的項【詳解】D D .既不充分也不年，印度數學大師阿耶波多算出圓周率約為.9.8684(:3.14140096). .在這 4 4 個圓D D.9.8684第4 4頁共 2020 頁3927355223.1416,3.141592,3.1428579.8684=3.14140096 12501137 由圓周率的值可知，最接近真實值的為113故選：B【點睛】本題考查圓周率的相關知識，關鍵是能夠準確計算出各個近似值，屬于基礎題25 5 .已知函數y = f x x是奇函數，且f 1=1，則f -1 =()A A.-3B B.-1C C. 0

6、 0D D.2【答案】A A【解析】由奇函數定義可得f -X X2- - f x -x2，代入x = 1可求得結果【詳解】2 2 2y = f x x為奇函數.f -x x = - f x?-xf -1 1f 1 -1一2f -1 i=-3故選：A【點睛】本題考查利用函數奇偶性求解函數值的問題，關鍵是能夠準確得到函數所滿足的關系式，屬于基礎題 6 6 .已知數列3n的通項為an=丄，對任意N*，都有an -，則正數k的取n k值范圍是()A A.k乞5B B.k 5C C.4 k= ：5D D .5 k 6【答案】D Dk +1【解析】將an整理為1，結合反比例函數單調性和恒成立的an-可得到

7、不等n k式組，解不等式組求得結果 【詳解】n +1 n -k +k +1,丄k +1an =- =-=1十-nn-kn-kn-k,5-k0,k為正數且an-as恒成立，解得：5 k 616 kA0第5 5頁共 2020 頁故選：D第6 6頁共 2020 頁【點睛】本題考查利用數列中的最小項求解參數范圍問題，函數單調性來求解的問題，進而得到關于所求參數的不等式9504095040,則判斷框中應填（【答案】B B【解析】 運行程序，根據輸出結果可判斷出輸出時=7，由此可確定判斷框條件【詳解】按照程序框圖運行程序，輸入i =12,sum = 1 = 95040則sum = 1 12=12=9504

8、0,i =12-1 =11，循環sum = 12 11=132=95040,i=11-1=10，循環sum = 132 10 = 1320 = 95040,i =10-1 =9，循環sum = 1320 9 =11880 = 95040,i=9-1=8，循環sum=11880 8 =95040,i=8-1=7，輸出sumi =8滿足判斷條件，i=7不滿足判斷條件判斷框中應填i一8?故選：B【點睛】本題考查根據程序框圖循環結構的輸出結果補全框圖的問題,結果是，變量具體的取值，由此確定需補充的條件 關鍵是能夠將問題轉化為結合反比例A A 8?B B.i _8?C C 7?關鍵是能夠準確確定輸出7

9、7 如圖所示的程序輸出的結果為8 8 .函數f x = cos2x 2sinx在丨-二，二1上的圖象是（）第7 7頁共 2020 頁【答案】A A【解析】 利用f0和f0可排除錯誤選項得到結果V)I 2 丿【詳解】fcosi TH打2sin1 - 2 = -3：0，可排除D. .2 . 2故選：A【點睛】本題考查函數圖象的識別，此類問題通常采用排除法，排除依據通常為：奇偶性、特殊位置的符號、單調性 9 9矩形ABCD中，AB=4,BC =3，沿AC將ABCD矩形折起，使面BAC_面 DACDAC ,則四面體A- -BCD的外接球的體積為()125125125125A A .B B.C C.D

10、D .69123【答案】A A【解析】 因為四面體A - BCD的外接球的球心到各頂點的距離相等，設AC與BD的 交點為O點，在矩形ABCD中，可得OA = OB = OC = OD，當沿AC翻折后，上述 等量關系不會發生改變，故得到球心，進而解得半徑和體積。【詳解】解：設AC與BD的交點為O點，在矩形ABCD中，可得OA =OB =OC =OD,當沿AC翻折后，上述等量關系不會發生改變，因為四面體A-BCD的外接球的球心到各頂點的距離相等，所以點O即為球心，在Rt ABC中，ACAC = = ABAB2+ + BCBC2= = 5 5，5故R = OA = OB = OC = OD =,2=

11、COSH；2s in2一1 *2=10,可排除B,C第8 8頁共 2020 頁4125ir所以球的體積為v =4二R二,36故選 A.A.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，解決問題的關鍵是要能準確找出球的球心與半徑，屬于中檔題。191010 .已知正數a,b滿足a b10,則a b的最小值是（）a bA A . 2 2B B. 3 3C C. 4 4D D . 5 5【答案】A Afl 9）【解析】 令a b二x，用x表示出a b，結合基本不等式可求得la b 丿x2-10 x 10，結合a,b為正數，即x 0可解出不等式的解，進而得到最小值 【詳解】19設a b =x，貝U10 -xa

12、bx 10-x = a b 190臾b_10 2,9a b=16（當且僅當la b丿b aV b a9a b，即b = 3a時取等號）b ax2-10 x 16乞0且x 0，解得：2X8，即2ab 8-a b的最小值為2故選：A【點睛】本題考查利用基本不等式求解最值的問題；關鍵是能夠通過整體構造的方式求得a b整體滿足的不等關系，進而通過解不等式求得取值范圍11111.點P x,y是曲線C:y x 0上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、xy軸分別交于A,B兩點，點O是坐標原點，I PA = PB；也OAB的面積為定值；曲線C上存在兩點M,N使得OMN是等邊三角形；曲線C上存在兩點M,N使

13、得OMN是等腰直角三角形，其中真命題的個數是（）第9 9頁共 2020 頁【答案】D D求得S.AOB二2，從而可知正確;在比值等于、2和上2的時刻，從而知 正確. .2【詳解】122a 2，正確;2a過原點作傾斜角等于15和75的2條射線與曲線的交點為M , N.OMN為等邊三角形，正確;當直線OM的傾斜角從90減少到45：的過程中，的值從變化到 0 0ONON在此變化過程中必然存在OM的值為,2和一2的時刻，此時OMN為等腰直角三角ONON2形，正確. .B B. 2 2【解析】設點Pa,1a 0,得到切線方程后求得A, B坐標，進過原點作傾斜角等于15和75的2條射線與曲線交于M ,N，

14、由對稱性可知 正確;過原點作2條夾角等于45的射線與曲線交于M,N，由OMONON的值的變化過程，可知存a 0，由二厶 得切線方程:x1y- aA 2a,0，B 0,-V. a丿P a,丄aAB中點，” I PA PB，正確;1SJAOB=2OA OB由對稱性可0M = ON，又N MON =60過原點作2條夾角等于45的射線與曲線交于點M , N第1010頁共 2020 頁-真命題的個數為4個故選：D【點睛】 本題考查直線與曲線相切、相交相關命題的判斷，涉及到定值、等量關系、存在性問題的判斷；判斷本題中的存在性問題的關鍵是在確定射線傾斜角的夾角的前提下，尋找符合題意的點的位置 時-444-j

15、 44斗呻1212 .若平面向量a,b,C滿足=3，b =2，c=1，且（a + b）c = a，b + 1，則ab的最大值為（）A A.3.2 1B B.3、2 1c c.2.3-1D D.2.3 1【答案】D D【解析】利用數量積的定義通過已知等式得到a b a b，利用平方運算可求得a b的范圍；利用a艮戸2可將 I I 表示為與a b有關的形式，進而可求 得最值. .【詳解】由（a+b）c=a b+1得：ab+1=（a+b）”cwa+bc=甘+勺故選：D【點睛】運算轉化為數量積運算的形式，結合平面向量數量積運算的相關知識來進行求解二、填空題1313.若銳角 a a，卩滿足cos。=4,

16、cos（a + P ） =3,則sin P = 55【答案】252爲2.2：二 13 2；.ab212當ab=-2、/3時,|= J13+4V3 =max=2 3 1本題考查平面求解此類模長問題通常采用平方運算，將模長a -b取得最大值21第1111頁共 2020 頁4334【解析】因 cos ,cos，故 sin ,sin（、：.）=5555填答案 25。1414 .黎曼函數(RiemannfunctionRiemannfunction )是一個特殊函數，由德國數學家黎曼發現并提出,黎曼函數定義在0,11上，其定義為:0,當 X =0,1 或者 0,1 上的無理數f x是定義在R上的奇函數，

17、且f X f 2-X=0，當x 10,1 時,f 2和f的值，代入求得結果. .【詳解】由f x f 2-x =0知：f x關于1,0對稱又f x為奇函數，圖象關于原點對稱f x為周期函數，周期T= 4【點睛】本題考查函數奇偶性、對稱性和周期性的綜合應用問題，涉及到新定義運算的求解；關 鍵是能夠通過熟練掌握周期性與對稱性的關系，即兩個相鄰的對稱軸(對稱中心)之間 距離為半個周期 10一310-23102丄丄丄310310730故答案為:73016sin：=sin（ * 亠）一-=sin（二亠 W）cos ： -cos（隈亠 ）9-，應252525R （x ）= pi,當 x=qpp,q 都是正

18、整數，q是不可以再約分的真分數P，若函數f xi；= R x，則10f A10【答案】30【解析】由已知得到f x關于1,0對稱，結合奇函數性質可確定f x為周期是4的周期函數，進而將所求式子化簡為-f2匕丿3f兀；由黎曼函數的解析式可確定第1212頁共 2020 頁1515 .如圖，正方體ABCD -ABiCiDi的一個截面經過頂點A,C及棱AB!上點K,其將正方體分成體積比為2：i的兩部分，則KS的值為_ ,KB【答案】2【解析】作出平面ACK截正方體所得的截面， 可知為等腰梯形；設KB1=x，可利用x表示出BiE,BF,BF，利用切割的方式可表示出三棱臺ABC-KBiE的體積，利用體積建

19、立方程求得KBi，進而得到A K，作比得到結果 【詳解】設平面ACK與線段BiCi交于點E，則截面ACEK為等腰梯形，延長兩腰AK,EC交 于點F，如下圖所示：三棱臺ABC -KBiE的體積：iii (ix1iS.ABCBF -SBiEKBi- ii -x2x- x2x i33i -x i-x.丿6又正方體體積V=i：ii=i x xi,解得：3362設正方體棱長為i，設KBi= x，貝yBiE = x，BF =i BiFii -x丁_ /a第1313頁共 2020 頁3_V5_,45-1 3-45AK 23-45 751AK八二廠 両5 一廠話一廠丁2【點睛】本題考查空間幾何體體積的相關問題

20、的求解，關鍵是能夠利用切割的方式，利用變量表示出三棱臺的體積，進而利用體積構造方程求得變量的值；本題同樣可直接采用棱臺的體積公式來求解棱臺的體積 1616 等腰ABC中AB = AC，三角形面積S等于 2 2,則腰AC上中線BD的最小值等 于. .【答案】.3.324【解析】由三角形面積公式可得到AB2，進而得到AD2;利用余弦定理可表sin A示出BD2，結合輔助角公式整理可得BD2sin A 4cosA二-BD416sin A：；曲v-5，根據正弦型函數值域可知.BD416 -5，解不等式求得結果. .【詳解】由三角形面積公式知：S二丄AB AC si nA二21AB2sin A = 22

21、24AB sin A22241tBD = AB2AD -2AB AD cos A =-sin A sin ABD2si nA 4cosA = , BD416si nA =5 BD416 -5，解得：BD一，3故答案為：,3,3【點睛】本題考查三角形中最值問題的求解， 涉及到三角形面積公式、余弦定理和輔助角公式的 應用；關鍵是能夠利用三角形面積公式和余弦定理構造等量關系， 從而結合正弦型函數 的值域構造出不等關系. .AD2亠221sin A4cos A 5 - 4cos Asin A si nA第1414頁共 2020 頁三、解答題1第1515頁共 2020 頁當n = 1時，ai= 1符合a

22、n二-an=Vn n +1丿Sn2n(2)由（1 1）知:bn2nn 1 n!（n+1）!丿Tn丄丄.丄2! 2!3!n!-1 -1：1=2 i1-I (n +1)!Tn：-2又an0bnTn-T1=2* 1- I 2!丿綜上所述:仁Tn： ：1717 .已知正數數列an/滿足ai= 1, Sn=a*. .求:an ?的通項公式和Sn；令bn（其中 n n! ! =1=1 2 2n n ），數列 4?的前n項和為T，證明：仁T：2. .n!Qn【答案】（1 1）, ,（2 2）證明見解析n +1【解析】（1 1）當n _2時，利用an=Sn可得到遞推關系式，利用累乘法可求得an，2驗證首項后可

23、知an；利用裂項相消法可求得Sn；可求得Tn的范圍，進而證得結論【詳解】（2 2）由（1 1）可得bn,利用裂項相消法求得Tn；根據數列為正數數列和不等式的知識(1(1)當 n n-2且N“時,二n2an -n -1篤n整理可得:ann -1an Jn -2an 2a3a2ann 1an _2an J3a2n 1 n n -1-an0n 1 !=2 1 -(n +1)!丿第 I I1616頁共 2020 頁【點睛】本題考查數列通項公式的求解、 裂項相消法求解數列的前n項和的問題；涉及到an與Sn關系的應用、累乘法求解數列的通項公式等知識；求解數列前n項和的關鍵是能夠根據通項公式的形式進行準確裂

24、項，進而前后相消求得結果1818 .如圖，在多面體ABCD AB1G1GD1中，側棱AA|，BBi，CCCCi，DD1都和平面ABCD垂直，AD / /BC,AB = BC = CD = BBi= DDi= 2,AAj = AD = 4,CCi= 1. .(1)(1) 證明：平面BCiDi_平面ABBiA；(2)(2) 求直線BiC和平面BiCiDi所成角的正弦值。i【答案】(I I)證明見解析,(2 2)-4【解析】(I I)取AD中點E,由四邊形BBIDID為平行四邊形可知BD / BIDI；分別利用長度關系和線面垂直的性質得到AB _ BD,BBi_ BD，由此得到BD_平面ABBIAI

25、，即BQ_平面ABBiAi，由面面垂直判定定理證得結論；(2 2)以B為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用直線與平面所成角的向量求法可求 得結果 【詳解】(I I)取AD中點E，連接BE,BD11:BBi/DDi且BBi=DDi四邊形BBiDiD為平行四邊形 BD/BiDii7BC/AD,DESAD=BC=2四邊形BCDE為平行四邊形1 BEBE = =CDCD = =2 2B E ADAB_BD2第1717頁共 2020 頁：BB1_平面ABCD,BD平面ABCD. BEj_B D又AB,BBi二平面ABB1A1,AB? BBiBBD _平面ABBiAiV BD /B1D1. B1D平面AB

26、B1A1，又二平面B1C1D1平面B1C1D1 I平面ABB1A1(2(2)以 B B 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則B 0,0,2，C -1八3,0，G -1, ,3,1,D 0,2.3,2T _BCm-1, .3,-2，BG二-1八3,-1, 二0,2一3,0設平面B1C1D1的法向量x,y,zn BQ二-x亠-,3y _z二0則：；，令x=1，jn B1D1= 2 J3y = 0設直線B1C與平面B1C1D1所成角為-直線BQ與平面B1C1D1所成角的正弦值為【點睛】本題考查立體幾何中面面垂直關系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角； 涉及到線面垂直的判定與性質定理的應用等知識

27、；關鍵是能夠找到另一個平面的垂線， 利用平行關系的傳遞性找到所證平面內的另一個面的垂線佃.“ABC內角A，B，C的對邊為a，b，c，設A=2B，CD平分 ACBACB 交AB于點D.(1)(1)證明：a2-b2二be；若a =6，b=4，求CD的長. .【答案】(1 1)證明見解析，(2)(2)32則y = 0，z = 1. n =1,0,-11 _ 1一2224第1818頁共 2020 頁a sin A【解析】（u利用正弦定理可代入已知條件和余弦定理化簡得到b sin B22222a c =b a c -b，整理可得到a c-b = b c-b c b；當b = c時，利用角的大小關系可知為

28、等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出結果；當整理等式得到結果；（2 2）根據（1 1）可得c,利用角平分線定理可求得AD,BD；由cos. ADC cos BDC =0，結合余弦定理可構造關于CD的方程，解方程求得結果【詳解】（1 1）由正弦定理得：2 2 2a sin A sin 2Ba cb2cos B =b sin B sin Bac.a2c二ba2c2 b2，即：a2c= a2b bc2-b22a cb二b cjb c b當b = c時，B B= = C C. B = C，Ab2c2= a，即a2-b2=c2=lc42當b = c時，a2二b c b=bc b2，即a2_b2二be(2

29、(2)由(1 1)得：62-42=4c，即c = 5CACB根據角平分線定理可得：AD = 2，BD = 3AD BD設CD二x，由ADC BDC=加得：角平分線CD的長等于3.2【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正余弦定理、角平分線定理的應用；關鍵是能夠利用互補角余弦互為相反數的特點，結合余弦定理構造關于所求長度的方程，進而解方程求得結果 2020 .已知函數f x = In x,g x = kx. .2 （x T b = c時，可直接cos ADC cos BDC =4 x2-164x9 宀 366x=0，解得:第1919頁共 2020 頁當x 1時，比較f x與的大小；X +1r

30、eee2若f X與g x的圖象有兩個不同的交點A為， ,B X2,y2，證明：XM2e. .第2020頁共 2020 頁【答案】(1 1)f x2X; (2 2)證明見解析x + 1_2 x1，由h x - 0可知h x在 1,1,；上是增函數,x 1進而得到h x h 1=0，得到所求大小關系；(2 2)分別將兩交點坐標代入ln x二kx，作和、作差分別表示出k，從而建立起等量關Xi2 (_ x? )X +X2 .系；根據(1 1)中結論可得In，代入ln xiIn X2Inxi-1n x?屜+ x2捲 _X2可整理得到所證結論. .【詳解】22 | x -12 | x -1X-1(0令hx

31、=fxIn x，則h x20 x+1x+1x(x + 1 ).h x在 1,1,；上是增函數 h hX h 1 =0，即In X 2X，x+12 x-1X 1【點睛】 本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到利用單調性比較大小、不等式的證明問題;證明不等式的關鍵是能夠利用變量k得到為公2的關系，進而利用證明過的不等關系來 進行放縮整理 2121.如圖， 在四棱錐P-ABCD中， 側棱PA_底面ABCD,AD/BC,AB _ AD,PA = AB =BC=3,AD =2，點M在棱PB上，且BM=窗2. .【解(2(2)不妨設X1X2 : X1，貝y 1X2由題設In x-iIn x2二kx2% x

32、2I x 廠xrx2Ixi由(1 1)的結論知:11X2.X1=lnx2*X2% x2In x-iIn x2=X旦In人-1n X2.獨2生=2X1X2e2X|_x2X2片_X2X1x2第2121頁共 2020 頁證明：AM /平面PCD；（2 2）求平面AMC與平面PCD所成銳二面角的余弦值. .【答案】（1 1）證明見解析, ,（2 2）21【解析】（1 1）作MN /BC交PC于N，通過證明四邊形 AMNDAMND 為平行四邊形可得到AM /DN，根據線面平行判定定理可證得結論；（2 2）以A為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用二面角的向量求法可求得結果 【詳解】（1）由題意知：.PAB

33、是等腰直角三角形，P3.2，則PM=2.2作MN /BC交PC于N，連接DNPM _2 _ MN _ MN PB 3,2BC 3又MN/BC，AD/BC，AD=MN=2四邊形 AMNDAMND 為平行四邊形.AM /DN又DN平面PCD，AM二平面PCD . AM /平面PCD（2 2）由PA_底面ABCD，可得PA_AB，PA_AD又AB_AD，可知AB,AD,AP兩兩互相垂直以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.MN =2第2222頁共 2020 頁第2323頁共 2020 頁則A 0,0,0,C 3,3,0,D 0,2,0,TT.AM二2,0,1,AC = 3,3,0,PD設平面AMC的法向量為m= x, y, zm AM = 2x z=o則，令x=1，得y -1,z一2. m = 1, -1,-2m弼=3x 3y=0設平面PCD的法向量為n=捲，力，乙m PD = 3%|3y!-3乙=0則，令yi= 3，得乙=2,% - -1. n =1,3,2J n PC = 2 y| - 3z| = 0【點睛】本題考查立體幾何中線面平行關系的證明、 空間向量法求解二面角的問題； 易錯點是在 利用空間向量法求解