1、第1 1頁共 2020 頁2020 屆黑龍江省哈爾濱市第九中學高三上學期期末考試數學（文）試題一、單選題1 1.已知復數z3（i為虛數單位）1 2i，則 z z 的實部為（)3A A .-53B.51C C.51D .-5【答案】B B【解析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】3(1 2i)36.i (1 2i)(1 2i)553z的實部為5故選：B【點睛】 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，屬于基礎題.1a1b2 2已知 a a, b b, c c 為實數，則“丄 丄”是ac2bc2”的（）1010A A .充分不必要條件B B.必要不充分條件C C .

2、充要條件D D .既不充分也不必要條件【答案】B B【解析】根據不等式的關系結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解：根據指數函數yx 的單調性可得，若10a丄10丄1010b,c = 0時，ac210be2不成立，即充分性不成立,a1當ac2bc2，則c 0,則 a a b b，即丄10b1，即必要性成立,10a即“丄10b1一是ac2bc2的必要不充分條件，10解：Q z31 2i第2 2頁共 2020 頁【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據不等式的關系是解決本題的關鍵，屬于基礎題.sin 23 3 .已知tan0,，則cos 2【答案】B B【解析】首先根據同角

3、三角函數的基本關系求出sincos，再利用誘導公式及二倍角公式化簡可得;【詳解】解：Q Q tantansincos.2sin2cossin解得1cos2.55_55sincos2.555Q 0,sincos2 .55_55sin 2cos -22sin cossin2cos故選：B【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系及誘導公式的應用,二倍角正弦公式的應用，屬于4 4 .函數f x2冷的部分圖象可能是(A A .B B.第3 3頁共 2020 頁第4 4頁共 2020 頁首先求出函數的定義域，判斷函數的奇偶性，再取特殊值即可判斷;B. 2B B【答案】D D【詳解】解：因為2xx定義域為x2

4、x2x,0 U 0,2x2x2x所以f2一-為奇函數，函數圖象關于原點對稱，故2x2C排除;又因為1220，所以D排除;3故選:【點睛】本題考查函數圖象的識別, 函數的奇偶性的判斷，屬于基礎題5 5.已知非零向量a,b滿足I；b| |ab|，則a與b的夾角為(【答案】B Br r【解析】根據向量模的定義，將等式兩邊同時平方，即可得a b0, ,即可求得；與b的夾角 【詳解】二r rr r非零向量a,b滿足 I I a a將等式兩邊同時平方可得r2r r r2展開可得a 2a b b化簡可得a b0由向量數量積的定義可知因為a,b為非零向量r2r r r2a 2a b ba b a b cos

5、a,b = 0貝V cos a,b = 0【解正、二定、三相等 ”這三個條件的應用，考查計算能力，屬于中等題【點睛】第 5 5 頁共 2020 頁即a與b垂直,其夾角為2故選: :B B【點睛】本題考查了向量模的化簡運算，向量數量積的定義及向量夾角的求法，屬于基礎題6 6 .已知數列an為等差數列，Sn為其前n項和，2 a5a6a3，則S()A A.2B B. 7 7C C.14D D.28【答案】C C【解析】利用等差數列通項的性質，將已知條件轉化為關于【詳解】2 a4d a42d a4d，解得：a4【答案】A A【點睛】 本題考查基本不等式等號成立的條件，利用基本不等式要對代數式進行配湊，

6、注意值，利用等差數列前n項和的性質，求得S7的值. .a4的方程，由此解得a4的S77 a-i az7a414故選:【點本小題主要考查等差數列通項的性質，考查等差數列前n項和公式,考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題7 7 .若函數f(X)x(x 2)在x a處取最小值，則2a等于B B.1.3,2【解析】將函數y的解析式配湊為f x再利用基本不等式求出該函數的最小值，利用等號成立得出相應的x值, 可得出【詳當x 2時，x 20，則f22x2當且僅當時，即當x3時，等號成立，因此，a 3,故選 A.A.第6 6頁共 2020 頁8 8 已知圓（x 1）2（y 1）22 a截直線x y 20

7、所得弦的長度為4,則實數a（）A A . -2-2B B. -4-4C C. -6-6D D . -8-8【答案】B B【解析】【詳解】由題意：圓心（1,1）,r.廠a,設圓心到直線的距離為d,二d J，2-A2BJ（2 a） 4 J 2 a,9 9已知雙曲線 C C 的中心在坐標原點，一個焦點（,5,0）的漸近線方程為（1x22B B.y x3【答案】【詳解】d1 1 2,1 1.2,到漸近線的距離等于2 2,貝 U U C CD.y 2x【解先根據雙曲線的焦點坐標，求得a a 和 b b 的關系,由焦點到漸近線的距離得,5ba2b22，解得 a a 和 b b,問題得解：設雙曲線的方程為:

8、2x2a其漸近線方程為:依題意a2b2、5ba2b2解得a1, b 2,二雙曲線 C C 的漸近線方程為2x正、二定、三相等 ”這三個條件的應用，考查計算能力，屬于中等題【點睛】第 5 5 頁共 2020 頁故選：D D.第8 8頁共 2020 頁本題主要考查了雙曲線的簡單性質，點到直線的距離公式，屬基礎題.1010已知拋物線C : y28x的焦點為 F F，點A 1, a a 0在 C C 上，若直線 AFAF 與 C C交于另一點 B B,則AB的值是()A A 1212B B. 1010C C 9 9D D 4.54.5【答案】C C【解析】可得 A A 1,21,2 2 2，故直線AF

9、的方程為 y y 2 2 2(x2(x 2)2)，聯立直線AF與拋物線方程，由韋達定理，求出B的坐標，然后求解AB【詳解】解：因為A 1, a a 0在c : y28x上，所以a28,解得a 2 2或a 2 2(舍去)，即 A A 1,2.1,2.2 2故直線AF的方程為 y y 2 2 2(x2(x 2)2),y 2、2(X2)I I 由2y 8x消去y y，得x25x 40,解得x-i1,x24,B(4,B(4, 4 4 .2).2)則 |AB|AB | |.(4.(41)1)2( ( 4.24.22.2. 2)2)29 9 故選：C【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化思

10、想以及計算能力，屬于基礎題.1111 我國古代名著張丘建算經中記載：今有方錐，下廣二丈，高三丈 欲斬末為方亭，令上方六尺 問：斬高幾何？ ”大致意思是：有一個正四棱錐下底邊長為二丈，高三 丈，現從上面截去一段，使之成為正四棱臺，且正四棱臺的上底邊長為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少 如果我們把求截去的正四棱錐的高改為求剩下的正四棱臺的體積，則該正四棱臺的體積是(注：1 1 丈10尺)()A A 19461946 立方尺B B. 38923892 立方尺C C 77847784 立方尺D D 1167611676 立方尺【答案】B B【解析】根據題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結構特征求出正四棱臺

11、的高，再計算它 的體積.第 7 7頁共 2020 頁【詳解】【點睛】本題考查了棱錐與棱臺的結構特征與應用問題，也考查了棱臺的體積計算問題，屬于中檔題.1 In x,0 x1212 .已知函數f x 1尹,x 1個不同的實數根，則實數 a a 的取值范圍是(【答案】解：如圖所示，正四棱錐P ABCD的下底邊長為高三丈，即PO 30尺；截去一段后，得正四棱臺ABCD1 16 63030 0000所以2 23030-20-202 2解得 00002121 ,所以該正四棱臺的體積是1 12 2V V 2121 (20(2022020 6 66 62) )389238923 3丈，即AB 20尺，ABC

12、D，且上底邊長為 ABAB 6 6 尺,(立方尺).1，若方程f2x0恰有三,0B B.0,11 10,第 7 7頁共 2020 頁【解由題意作函數 f(x)f(x)的圖象，由f(x)f(x)2a，要使方程f x 1 a f0恰有三個不同的實數根，則a有兩個不同的實數根，即函數x與ya有兩個交點，數形結合即可第1111頁共 2020 頁得解；【詳解】1In x,0 x 1解:因為fx12x1,x 1可畫函數圖象如下所示：Jy3-111r MI-Xx-/ 1 1 13-2-I-I/1 2 3 4T-R-JQ f2x1 a f x a 0f x1 f xa 0f x1或fxa_ 一2要使方程f x

13、 1 a f x a 0恰有三個不同的實數根，則f x a有兩個不 同的實數根，即函數y f x與y a有兩個交點，由圖可得0 a 1，即a 0,1故選：B【點睛】本題考查了分段函數的應用及方程與函數的關系應用，同時考查了數形結合的思想應用，屬于中檔題.二、填空題1313 甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班（抓到值”字的人值班）抓完鬮后，甲說：我沒抓到乙說：丙抓到了 丙說：丁抓到了 丁說：我沒抓到已知他們四人中只有一人說了真話，根據他們的說法，可以判斷值班的人是_.第1212頁共 2020 頁【答案】甲【解析】 依題意，對各種情況分類討論一一判斷可得；【詳解】解：假如甲說的是真話

14、，則乙、丙、丁都說假話，既然丁說假話，則丁抓到了，那么丙 說的是真話，與假設矛盾；假如乙說的是真話，則甲、丙、丁都說假話，即丙抓到了，則甲、丁沒有抓到，甲與丁 也說的是真話，與假設矛盾；假如丙說的是真話，則甲、丙、丁都說假話，即丁抓到了，則甲沒有抓到，甲也說的是真話，與假設矛盾；假如丁說的是真話，則甲、丙、丁都說假話，則甲抓到了，則丙、丁都沒有抓到，符合題意；故答案為：甲【點睛】本題考查簡單的合情推理，屬于基礎題. .1414 .已知某幾何體三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都是矩形，俯視圖為直角三角形，則該幾何體的外接球表面積為 _. .正視圖側視團俯視圖【答案】29【解析】先還原幾何體得到

15、直三棱柱，再找到球心的位置，利用垂徑定理求得半徑，代 入表面積公式求解即可【詳解】還原三視圖可得如圖直三棱柱，因為底面為直角三角形，BCBC 的中點 D D 的正上方 0 0 處，且 0D=2,0D=2,所以半徑外接球表面積為4 nR229其外接球球心在底面斜邊R . BD20D2AC240D2292第1313頁共 2020 頁故答案為29第1414頁共 2020 頁【點睛】 本題考查了利用三視圖還原幾何體及外接球的表面積應用問題，找到球心是解題的關鍵，是基礎題.5【解析】首先由和之間的距離求，再根據1212,012求，再求函數值 12【詳解】設f X的最小正周期為T,根據題中圖象可知，T22

16、，. T，故2，根據BiD1515 已知函數f x 2sin x0,的部分圖象如圖所示，貝y f 2 62sin 2 120（增區間上的零點）可知，一62k ,k Z,即卩2k6k Z,又一f x 2sin 2x ,6. .6第1515頁共 2020 頁故答案為：1 1【點睛】本題考查根據三角函數的圖象求函數的解析式,力，函數y Asinwx，般根據振幅求A，再根據周期求，根據 五點法”求21616.若函數f x x x 1 alnx在0,上單調遞增，則實數 a a 的取值范圍是1【答案】a丄8a【解析】依題意可得f x 2x 10在x 0,上恒成立，參變分離得到xa x 2x2在x 0,上恒

17、成立，令g x x 2x2,求出g x的最大值即可求出參數的取值范圍；【詳解】解：因為f x x2x 1 alnx的定義域為x 0,，且函數f x2x x 1aln x在0,上單調遞增，fx2x 10在x 0,上恒成立,x即ax22x在x0,上恒成立，2令gxc2x 2x2 x1 14811當x4時gxmax所以a1即a1881故答案為：，8【點睛】2sin142sin 1. .6 6 6意在考查基本的數形結合分析問題的能第1616頁共 2020 頁本題考查利用導數研究函數的單調性，不等式恒成立問題，屬于中檔題 三、解答題第1717頁共 2020 頁1717 在ABC中，內角A, B,C的對邊

18、分別是a,b,c，已知22 v32A 3，b c亍航a。(1(1)求 a a 的值;(2(2)若b 1，求ABC的面積?！敬鸢浮?2).32【解析】(1(1)由 b b2c2a2，利用余弦定理可得2bccosA-abc, ,結合3A可得結果;3(2(2)由正弦定理sinB7C6，利用三角形內角和定理可得n ,-，由三角形2面積公式可得結果【詳解】(1(1)由題意，得b2c2a2仝abc. .3 b2c2a22bccosA. .2bccosAabc, ,n A -32 3cosA.3.3 . .(2) -a由正弦定理 / / abab,si nAn-，可得sinB sinB1 absinC2【點

19、睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數，屬于中檔題 對余弦定理一定要熟記兩種形式：(1 1)a2b2c22bccos A； (2 2)cosAb22 2c a，同時還要2bc第1818頁共 2020 頁第1919頁共 2020 頁熟練掌握運用兩種形式的條件 另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住30o,45o,60o等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用【答案】（1 1）見解析（2 2）an2r1n*n N【解析】（1 1）由遞推公式可得an 13an2an 11an 1an12 anan 110即an 1an12 anan 11,即可得證；（2 2）由（1 1

20、）可得an 1an2n1, 再用累加法求出數列an的通項公式【詳解】解：（1 1）由題意知， 當n 2時，an 13an2an 11an 1an12 anan 110,即an 1an12 anan 11. .因為bnan 1an1, 所以bn2bn 1. .又ba2a1121 12,所以數列bn是首項為2 2,公比為2 2 的等比數列. .（2 2）由（1 1）可知,bn22n12n1所以an 1an2n1. .當n 2時，anan 12n11,anQ 21an 221,a2a121（2 2）求數列an的通項公式 1,將以上式子相加可得,1818 .己知數列an滿足a11,a a2an 13a

21、n2an 110 n 2, n N(1)設bnan 1an1，證明：數列bn是等比數列;所以nan21時,所以an2n22a12* 12 1也滿足上式,2 1 2n 1n 12nn 1，第2020頁共 2020 頁【點睛】本題考查根據遞推公式證明數列是等比數列，累加法求數列的通項公式，屬于中檔題 1919 .在四棱錐P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA PD 2，四邊形ABCD是邊長為 2 2 的菱形，DAB 60,E是AD的中點 A(I)求證：BE平面PAD；(n)求點E到平面PAB的距離 【答案】(I)詳見解析；(n). .5【解析】( (I) )首先結合面面垂直的性質定理證明線線

22、垂直，然后結合幾何關系和線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；( (n) )首先求得四棱錐P ABE的體積，然后利用等體積法即可求得點E到平面PAB的距離 【詳解】 ( (I) )連接BD，在PAD中，PA PD 2,E是AD的中點,二得PE AD,平面PAD平面ABCD，平面PAD I平面ABCD AD, PE平面ABCD,二PE BE,又四邊形ABCD是邊長為 2 2 的菱形，A 60,ABD為等邊三角形，-BE AD,又/PEI AD E,PE面PAD,AD面PAD,第2121頁共 2020 頁-BE平面PAD;( (n) )在PAB中，PA AB 2,PB6，則SPAB,152在ABE

23、中，AB2,AE 1,BE3，則SABE由PE面ABCD,PE ,3，得VP由VABEVE PAB，設點E到平面PAB的距離為h,即點E到平面PAB的距離為5【點本題主要考查線面垂直的判定定理，線面垂直的性質定理，等體積法求解點面距離的方法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力In x2020.已知函數f (x) xex,g(x)x(1(1)求函數 f f (x)(x)的極值;(2)當x0時，求證：f(x)g(x). .1【答案】(1)(1)f(x)(x)的極小值為f( 1)，無極大值. .(2 2)見解析. .e【解析】(1 1)對f (x) xex求導，確定函數單調性，得到函數極值

24、(2)構造函數F(x) x2In x(xxln x2ln xe2xe，得證 xx【詳解】(1 1)由題意知，f (x)xxxe e令f (x)0，得x 1,令f (x)則 f f (x)(x)在(，1)上單調遞減，在ln x _0)，證明F(x) 0恒成立，得到r1,x(x1)ex,0，得x 1. .(1,)上單調遞增，所以 f(x)f(x)的極小值為f( 1)(2 2)當x0時，要證f (x)1，無極大值eg(x)，即證exln x2x第2222頁共 2020 頁令F(x) x2In x(x 0)，則F (x) 2x - (x 0),x令F (x)0，得x -I，令F (x)0，得o x丄2

25、,22則F(x)在0,-上單調遞減，在2上單調遞增,22所以當x0時，F(x) F1 ln0,222所以xln x,即21 因為x0時，xee01，xln x所以當x0時，ex2x2xeln xxx所以當x0時，不等式f(x) g(x)成立. .【點睛】本題考查了函數的單調性，極值，不等式的證明，構造函數F(x) x2In x(x解題的關鍵2 2x y2121 .已知橢圓221 a b 0的上頂點為 A,A,右焦點為 F F ,0,0 是坐標原點,a b是等腰直角三角形，且周長為2 22(1)(1) 求橢圓的方程；(2)(2) 若直線 I I 與 AFAF 垂直，且交橢圓于 B B, C C

26、兩點，求ABC面積的最大值 228【答案】(1 1)2LL L i i( 2 2)84 23 3【解析】(1 1)依題意求出a,b,c的值，即可求出橢圓方程；(2(2)由(1 1)可得直線AF的斜率，則可設直線l的方程為y x m m .2聯立直線與橢圓方程，利用根的判別式求出參數m的范圍，設BX1,%, C C利用韋達定理及點到線的距離公式表示出BC及點A到直線l的距離d，則【詳解】 解: (1 1 )在AOF中，OA b,FO0)是AOFSABC1|BC d2利用導數求出面積的最值;2第2323頁共 2020 頁因為AOF是等腰直角三角形，且周長為2 2、.、2 ,所以bc，ax2b，ab

27、c 22 2，得b c2，a 2，因此橢圓的方程為2x2y1. .42(2 2)由(1)知A 0八2，F v2,0，則直線AF的斜率kAF1，因為直線l與AF垂直， 所以可設直線l的方程為y x m m -.2，2 2代入 鄉1，得3x2 4mx 2m2 4 0，所以.2 2m 3.2，.6因此、6,、 、2上是增函數，在、2、2上是減函數,上是增函數，在上是減函數4m 3 4 2m240,解得.6 ,BC又點所以咅， , C C X X2,y,y2，則x1x24m-3，X1X232m23-1 12XiX24.6 m23A到直線l的距離dm、22，SABC1-BC2豐J 6 m2m V2 2，

28、m一6, 2 U 2八6. .m22，m . 6八2 U、2,、6第2424頁共 2020 頁因為f .232,f冬2-,f2f3.222所以當m,2時，f m取得最大值，f mmax32,所以SABCmaxf口max3.3283因此ABC面積的最大值是8. .3 3【點睛】本題考查待定系數法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應用，利用導數求函數的最值，屬于中檔題 以坐標原點0為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標系長度單位相同的極坐標系(1) 求直線I的普通方程與曲線C的直角坐標方程；(2) 設點P 0, 1. .若直|與曲線C相交于兩點 代B, ,求PA |PB的值 【答案】(1 1)、3x

29、y 10,(x1)2(y1)22；(2 2)2、一31 【解析】(1 1)利用代入法消去參數方程中的參數可求直線I的普通方程，極坐標方程展開后，兩邊同乘以，利用2x2y2, cos x, sin y，即可得曲線C的直角坐標方程；(2 2)直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，利用韋達定理、直線參 數方程的幾何意義即可得結果 . .【詳解】(1 1)將直線 l l 的參數方程消去參數t t 并化簡，得直線 1 1 的普通方程為3x y 10.將曲線 C C 的極坐標方程化為2廠近2 2sin、2cos22即22 sin 2 cos. .- x x2+y+y2=2y+2x.=2y+2x.2222 .在平面直角坐標系xOy中，已知直線l的參數方程為1x -t2(t為參數) 中， 曲線