1、普朗特邊界層微分方程的推導(dǎo)學(xué)校：內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 專業(yè)：力 學(xué) 姓名：宗宇顯首先，我們明白普朗特邊界層方程就是對(duì)二維定常納維-斯托克斯方程在一定情況下的簡(jiǎn)化。 二維定常納維-斯托克斯方程連續(xù)性方程 X方向上的動(dòng)量方程 （1.1） Y方向上的動(dòng)量方程 普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí)2.1概念：定常繞流中流體粘性只在貼近物面極薄的一層內(nèi)主宰流體運(yùn)動(dòng)，稱這一層為邊界層；邊界層的流動(dòng)可近似為無(wú)粘的理想流動(dòng)。2.2普朗特理論的基本思想：在大Re數(shù)（一般在5×3×）繞流中存在兩個(gè)流動(dòng)區(qū)域，即層流和紊流。2.3邊界層：流體流經(jīng)固體壁面時(shí)，在固體壁面形成速度梯度較大的流體薄層。2.4邊界層厚度：以

2、=0.99Ue位置和壁面間的距離定義為邊界層得厚度。故考慮到不可壓縮流體作平面層流，則質(zhì)量力對(duì)流動(dòng)產(chǎn)生的影響較小，所以由二維定常納維-斯托克斯方程可得到去質(zhì)量力的下列式子：連續(xù)性方程 X方向上的動(dòng)量方程 （1.2） Y方向上的動(dòng)量方程 邊界層中個(gè)物理量的數(shù)量級(jí)的確定3.1邊界層的厚度（x）量綱分析根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件分析，邊界層厚度（x）可能與流體微團(tuán)的所在位置x，流體速度U，粘性系數(shù)，密度有關(guān)。設(shè)=k·xmUnkl,根據(jù)量綱分析法可求的：m=，n=-，k=，l=-；即：（x）=···(1) 又因?yàn)閯t關(guān)于的關(guān)系式(1)寫成無(wú)量綱的形式如下：··

3、;·(2)取物體的長(zhǎng)度L取代上式中的x值，則公式(2)變?yōu)?#183;··(3) （符號(hào)“”表示數(shù)量級(jí)相同）其中ReL稱為繞流場(chǎng)的雷諾數(shù)。由普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí)2.2我們知道此次實(shí)驗(yàn)雷諾數(shù)在5×3×之間，所以從公式（3）我們可以得出結(jié)論：對(duì)長(zhǎng)度相同的物體，邊界層的厚度是很小的，即相對(duì)于長(zhǎng)度L的數(shù)量級(jí)是很小的。3.2幾何尺寸的數(shù)量級(jí)確定由邊界層的厚度（x）量綱分析我們可以得知：（x）與物體在x方向上的長(zhǎng)度相比為小量，假設(shè)物體在x方向上的數(shù)量級(jí)為（0x），邊界層厚度在y方向上的數(shù)量級(jí)為（0y），則<<，所以用同數(shù)量級(jí)來(lái)表達(dá)上述關(guān)系則

4、有： x，y3.3速度數(shù)量級(jí)的確定由普朗特邊界層理論相關(guān)知識(shí)2.4我們知道流體速度在x方向上的范圍為：0U，所以可以確定與U為同數(shù)量級(jí)，則有U又由連續(xù)性方程，可推得v的數(shù)量級(jí)為vU/,其它速度導(dǎo)數(shù)的數(shù)量級(jí)可以通過3.2幾何尺寸數(shù)量級(jí)的確定來(lái)推導(dǎo)出，具體結(jié)果如下：由3.1邊界層的厚度（x）量綱分析中公式（3）我們可以推得Re數(shù)的數(shù)量級(jí)為Re3.4對(duì)方程組（1.2）的各項(xiàng)進(jìn)行量級(jí)分析比較3.4.1 在上述方程中兩項(xiàng)的量級(jí)相同，不可偏廢。3.4.2 （ ） （ ） （因?yàn)镽e=，所以=） 為無(wú)窮小量，可以略去。上式方程中右邊的粘性項(xiàng)與左邊的慣性項(xiàng)的數(shù)量級(jí)均為。這同時(shí)也說(shuō)明粘性力與慣性力在x方向上同等

5、重要，同樣不可偏廢。3.4.3 ( ) ( ) 上式方程中右邊的粘性項(xiàng)和左邊的慣性項(xiàng)都包含無(wú)窮小量上式方程中的左右端的力相對(duì)于方程3.4.2中的相應(yīng)力均可作為小量忽略不計(jì)，而壓力項(xiàng)為了與其它的力保持平衡，也可作為小量處理，即可得： Navier-Stokes方程的簡(jiǎn)化普朗特邊界層微分方程通過對(duì)上述各項(xiàng)的量級(jí)分析和比較，略去無(wú)窮小量之后，方程組（1.2）可簡(jiǎn)化為以下樣式：（1.3） 邊界條件為：（1） y=0時(shí)，u=v=0 ；（2） y=時(shí)，u=U，v=0。由，我們可以得出：在邊界層內(nèi)由邊界層表面到邊界層邊緣處，其壓力值全部相同，即邊界層內(nèi)的壓力只p只是x的函數(shù)。由于邊界層外部區(qū)域?yàn)閯?shì)流區(qū)，所以邊界層邊緣上的壓力值p和速度U(x)滿足伯努利方程：P（x）+=const則，其中p，U分別為屬于P（x），U（x），且均是已知值。所以把代替方程組