1、淺談一題多解在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用蘇 北 中 學(xué) 許 惜 珠 高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力，全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑。因此，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn)，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，因而如何通過解題活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題。但過多過密盲目的解題，不僅不會(huì)促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成，反而易使學(xué)生疲勞，興趣降低，窒息學(xué)生的智慧，只有“聞一以知十”題解，才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們思維品質(zhì)的發(fā)展，而一題多解無疑是激發(fā)學(xué)生興趣，開拓思路，培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種

2、十分有效的方法。下面就本人在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)劇耙活}多解”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。 一、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性 對(duì)于同一道題，從不同的角度去分析研究，可能會(huì)得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法。在教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“一題多解”的訓(xùn)練，通過廣泛的聯(lián)想，使我們的思維觸角伸向不同的方向，不同的層次，這樣不僅能鞏固所學(xué)知識(shí)，而且能較好地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。 例1：求函數(shù)的值域。解法一：（有界性法）由，得：。，解之得：。即所求函數(shù)的值域?yàn)椋?解法二：（分離變量法）由，得：，。即所求函數(shù)的值域?yàn)椋航夥ㄈ海ㄅ袆e式法）設(shè)，由，得：，即，可化為：，由判別式可得：，解得：，即所求函數(shù)的

3、值域?yàn)椋骸＝夥ㄋ模海▽?dǎo)數(shù)法）先證明函數(shù)在上是增函數(shù)。故：，即：。所求函數(shù)的值域?yàn)椋河汕八姆N解題方法中，通過以題帶面復(fù)習(xí)了“函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)”、“三角函數(shù)的有界性”等知識(shí)，加深了知識(shí)間的溝通，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化策略，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想在數(shù)學(xué)中的作用。接著引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法解題。解法五：由 （結(jié)合斜率公式），則可看成是由定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)連線的斜率。顯然，點(diǎn)在線段上，如圖1所示，可得：。即所求函數(shù)的值域?yàn)椋侯愃平夥ǎ嚎捎?則可看成是動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率。而點(diǎn)在線段上，故由圖2可得：，即所求函數(shù)的值域?yàn)椋阂驗(yàn)楹瘮?shù)的解析式是分式，因此完全可用解析幾何中的斜率公式求解。可見轉(zhuǎn)

4、化思想在數(shù)學(xué)中的地位非常重要，同時(shí)要求學(xué)生認(rèn)真比較四種解法的利弊與依據(jù)，然后啟發(fā)學(xué)生：一道好題能激發(fā)人的興趣，引導(dǎo)人的思想，啟迪人的思維，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)養(yǎng)成探索不同的方法解題的習(xí)慣，這樣才能更好地提高解題的能力。通過一題多解，既能促使學(xué)生溝通知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，從中學(xué)到了“轉(zhuǎn)化策略、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程”等基本的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)也讓學(xué)生通過對(duì)比、小結(jié)，得出自己的體會(huì)，充分發(fā)掘自身的潛能，從而提高自己的解題能力，這不僅引導(dǎo)學(xué)生多方法，多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，形成良好的思維品質(zhì)，而且使學(xué)生感受到成功的喜悅和增強(qiáng)自信心，也極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣，從而在很大程

5、度上培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。圖3二、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性 思維的深刻性，不僅表現(xiàn)在審題時(shí)能很快發(fā)現(xiàn)和抓住問題的基本特征，挖掘出隱含條件，從而迅速確立解題的策略，而且還表現(xiàn)在解題后不滿足于“一題一法”而是深刻領(lǐng)會(huì)解題的實(shí)質(zhì)，掌握其一般規(guī)律。 例2：已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，二次函數(shù)恒非負(fù)，若，求的最小值。面對(duì)這道題，感覺十分特殊，它不同于平時(shí)經(jīng)常接觸到的已知兩個(gè)變量來求某一函數(shù)的最值，怎么辦呢？由此，聯(lián)想到數(shù)學(xué)中減少變量的一個(gè)常規(guī)方法消元法。如何建立“消去關(guān)系”呢？重新審視一下題目，我發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)恒非負(fù)，這表明和，而由的特點(diǎn)，感覺消去較為合理。解法一：由條件知且，即，得，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即，

6、時(shí)，取得最小值3。在解法一中，我覺得計(jì)算量太大，變形技巧要求太高，本題是否有更簡(jiǎn)潔的方法呢？再次審視題目，我發(fā)現(xiàn)的分子恰好是由的賦值而來的，于是嘗試湊配，得到下面解法二。解法二：因?yàn)榉秦?fù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)即，也即，時(shí)，取得最小值3。解法一采用常規(guī)解法。而解法二通過挖掘隱含條件，更簡(jiǎn)潔更準(zhǔn)確的給出解答，通過對(duì)比可知分析題目時(shí)，不能老把思維停留在題目的表面上，而要深入洞察問題的實(shí)質(zhì)，揭示問題中的本質(zhì)特征，從而養(yǎng)成深刻思維的良好習(xí)慣，達(dá)到優(yōu)化解題的效果。三、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性數(shù)學(xué)問題形式多樣，千姿百態(tài)，由于思維定勢(shì)產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)，學(xué)生解題時(shí)往往墨守成規(guī)，故思維靈活性的培養(yǎng)在解題教學(xué)中，主要

7、表現(xiàn)為一題多解。即善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時(shí)地提出新的設(shè)想和解題方案，不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的方案。例3：的解集為，求實(shí)數(shù)的值。學(xué)生一般思路是先求出原先不等式的解集，然后根據(jù)題設(shè)條件求，思路很清晰，但做起來卻很困難。啟發(fā)學(xué)生改變思路，從而獲得較佳的解題途徑。法一：（轉(zhuǎn)化為方程問題）因?yàn)樵坏仁降慕饧癁椋允欠匠痰慕猓氲没颍?jīng)檢驗(yàn)可知，只有時(shí)，不等式的解集為。圖4法二：（轉(zhuǎn)化為解析幾何問題）設(shè)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象（如圖4），它們分別是以為圓心，2為半徑在第二象限的半圓和斜率為的直線，顯然當(dāng)直線通過點(diǎn)時(shí)，滿足的的范圍為，將點(diǎn)代入，得。 本題運(yùn)用方程思想，數(shù)形結(jié)合思想等不同的知識(shí)和方法

8、進(jìn)行解題，既可擴(kuò)大學(xué)生的視野，又可引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到當(dāng)常規(guī)思維受阻時(shí)，可變換思維尋求新的解題途徑，使學(xué)生思維的靈活性在變換與化歸的訓(xùn)練中得到培養(yǎng)和發(fā)展。四、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維江澤民指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)不竭的動(dòng)力。”人類文明史，就是一部創(chuàng)新史。創(chuàng)新思維是人類大腦的機(jī)能，任何具備正常大腦機(jī)能的人都具有進(jìn)行創(chuàng)新思維的稟賦，經(jīng)過一定的培養(yǎng)與訓(xùn)練，都會(huì)具有創(chuàng)造的才能。創(chuàng)新思維人人具備，創(chuàng)造力人人皆有，且可以后天培養(yǎng)。一題多解對(duì)學(xué)生創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)起著重要的作用。一題多解的訓(xùn)練，可開拓學(xué)生思路，提高學(xué)生思維的靈活性和敏捷性；在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維能力方面有特殊的功能；也是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造力的主要途徑之一。 例4：已知為等差數(shù)列，其前10項(xiàng)的和S=100，前100項(xiàng)的和S=10。求前110項(xiàng)的和S。法一：要求等差數(shù)列的和可先求首項(xiàng)及公差，利用方程思想(常規(guī)解法)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則。法二：函數(shù)思想（待定系數(shù)法）數(shù)列，法三：利用性質(zhì)（簡(jiǎn)化運(yùn)算），。通過此題采用多種解法解答不但激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維，也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維；使學(xué)生能夠全面發(fā)展成為擁有良好的創(chuàng)新思維品質(zhì)和勇于探索的科學(xué)精神的高素質(zhì)人才。總之，一題多解是數(shù)學(xué)題解教學(xué)中的一種常用方法，