1、機械臂的運動學分析綜述前言隨著工業自動化的發展，機械臂在產業自動化方面應用已經相當廣泛。機械臂在復雜、枯燥甚至是惡劣環境下，無論是完成效率以及完成精確性都是人類所無法比擬的，也因此，機械臂在人類的生產和生活中發揮著越來越重要的作用。自從第一臺產業用機器人發明以來，機械臂的應用也從原本的汽車工業、模具制造、電子制造等相關產業，向農業、醫療、服務業等領域滲透。按照不同的標準，機器人分類方法各異。操作性與移動性是機器人最基本的功能構成1。根據機器人是否具有這兩個能力對機器人進行分類，可以把機器人大體分為三大類：（1） 僅具有移動能力的移動機器人。比如Endotics醫療機器人、Big Dog、Pac

2、kBot，以及美國Pioneer公司的研究型機器人P2-DX、P3-DX、PowerBot等。（2）僅具有操作能力的機械臂。比如Dextre、PUMA560、PowerCube機械臂等。（3）具有移動和操作能力的移動機械臂系統。如RI-MAN、FFR-1、以及勇氣號火星車等2。機械臂作為機器人最主要的執行機構，工程人員對它的研究也越來越多。在國內外各種機器人和機械臂的研究成為科研的熱點，研究大體是兩個方向：其一是機器人的智能化，多傳感器、多控制器，先進的控制算法，復雜的機電控制系統；其二是與生產加工相聯系，滿足相對具體的任務的工業機器人，主要采用性價比高的模塊，在滿足工作要求的基礎上，追求系統

3、的經濟、簡潔、可靠，大量采用工業控制器，市場化、模塊化的元件。機械臂或移動車作為機器人主體部分，同末端執行器、驅動器、傳感器、控制器、處理器以及軟件共同構成一個完整的機器人系統。一個機械臂的系統可以分為機械、硬件、軟件和算法四部分。機械臂的具體設計需要考慮結構設計、驅動系統設計、運動學和動力學的分析和仿真、軌跡規劃和路徑規劃研究等部分。因此設計一個高效精確的機械臂系統，不僅能為生產帶來更多的效益，也更易于維護和維修。主題機械臂的運動學分析分為正運動學和逆運動學兩部分。正運動學分析是指對于給定的一個機械臂，根據其連桿參數和各個關節變量來求解末端執行器相對于給定坐標系的位置和姿態。逆運動學分析是指

4、根據機械臂已知的連桿參數和末端執行器相對于固定坐標系的位置和姿態，來求解機器人各個關節變量的大小。一、 機械臂正運動學分析可以把任何機器人的機械手看作是一系列由關節連接起來的連桿構成的。我們將為機械手的每一連桿建立一個坐標系，并用齊次變換來描述這些坐標系間的相對位置和姿態。通常把描述一個連桿與下一個連桿間相對關系的齊次變換叫做A矩陣。一個A矩陣就是一個描述連桿坐標系間相對平移和旋轉的齊次變換。如果A1表示第一個連桿對于基系的位置和姿態，A2表示第二個連桿相對于第一個連桿的位置和姿態，那么第二個連桿在基系中的位置和姿態可由下列矩陣的乘積給出：同理，若A3表示第三個連桿相對于第二個連桿的位置和姿態

5、，則有：在歷史文獻上，稱這些A矩陣的乘積為T矩陣，其前置上標若為0，則可略去不寫。于是對于六連桿機械手，有下列T矩陣： （1.1） 一個六連桿機械手可具有六個自由度，每個連桿含有一個自由度，并能在其運動范圍內任意定位與定向。其中，三個自由度用于規定位置，而另外三個自由度用規定姿態。T6表示機械手的位置和姿態。六自由度鏈式(6R)機械臂是具有六個關節的空間結構，為描述末端執行器在空間的位置和姿態，可以在每個關節上建立一個坐標系，利用坐標系之間的關系來描述末端執行器的位置。一般采用D-H法來建立坐標系并推導機械臂的運動方程。D-H法（四參數法）是1995年由Denavit和Hartenberg提出

6、的一種建立相對位姿的矩陣方法。利用齊次變換描述各個連桿相對于固定參考坐標系的空間幾何關系。用一個4×4的齊次變換矩陣描述相鄰兩連桿的空間關系，從而推導出末端執行器坐標系相對于基坐標系的等價齊次坐標變換矩陣，建立操作臂的運動方程。C.R. Rocha, C.P. Tonetto, A. Dias等人比較了D-H運動學建模方法和基于螺旋理論的運動學建模方法，相比于D-H法建模，螺旋理論法對于整個鏈需要兩個框架，而D-H法只需要一個框架；螺旋理論法坐標系可以隨意選取而D-H法不能；螺旋理論法關節變量可能表示絕對位移等。相比于D-H法，螺旋理論法在運動學建模與分析也有一些優勢，但沒那么流行也

7、沒有一套標準化的公式方法3。圖1-1表示了三個關節，每個關節都是可以轉動或平移的。第一個關節指定為關節n，第二個關節為關節n+1，第三個關節為關節n+2。在這些關節的前后可能還有其他關節。連桿也是如此表示，連桿n位于關節n-1與n+1之間，連桿n+1位于關節n+1與n+2之間。為了用D-H表示法對機器人建模，所要做的第一件事是為每個關節指定一個本地的參考坐標系。因此，對于每個關節，都必須指定一個z軸和x軸，通常并不需要指定y軸，因為y軸總是垂直于x軸和z軸的。此外，D-H表示法根本就不用y軸。通過右乘表示四個運動的四個矩陣就可以得到變換矩陣A，矩陣A表示了四個依次的運動。由于所有的變換都是相對

8、于當前坐標系的（即他們都是相對于當前的本地坐標系來測量與執行），因此所有的矩陣都是右乘。從而得到結果如下： （1.2） （1.3）圖1-14比如，一般機器人的關節2與關節3之間的變換可以簡化為： （1.4）在機器人的基座上，可以從第一個關節開始變換到第二個關節，然后到第三個，再到機器人的手，最終到末端執行器。若把每個變換定義為An，則可以得到許多表示變換的矩陣。在機器人的基座與手之間的總變換則為： （1.5）其中n是關節數。對于一個具有六個自由度的機器人而言，有6個A矩陣。為了簡化A矩陣的計算，可以制作一張關節和連桿參數的表格，其中每個連桿和關節的參數值可從機器人的原理示意圖上確定，并且可將這

9、些參數代入A矩陣。表1.1 D-H參數表#da123456二、 機械臂逆運動學分析運動學正解相對比較容易，采用D-H方法建立運動學模型，通過變換矩陣就可以求得末端在基坐標下的唯一坐標值（包括位置和姿態）。逆運動學的求解過程是根據已知的末端執行器相對于參考坐標系的位姿，求關節變量1，2，3，4，5，6的過程，它是機器人運動規劃和軌跡控制的基礎，也是運動學最重要的部分。然而運動學逆解的求解要比正解復雜得多，需要考慮的主要有以下幾個問題： 存在性：對于給定的位姿，至少存在一組關節變量來產生希望的機器人位姿；如果給定機械手位置在工作空間外，則解不存在。 唯一性：對于給定的位姿，僅有一組關節變量來產生希

10、望的機器人位姿。對于機器人，可能出現多解。 多重解：應根據具體情況而定，在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的準則來擇優，使每個關節的移動量為最小。 機器人運動學逆解的數目取決于關節數目、連桿參數和關節變量的活動范圍。一般，非零連桿參數越多，運動學逆解數目越多（多至16個）。 由于工業機器人前面三個連桿的尺寸較大，后面三個較小，故應加權處理，遵循多移動小關節、少移動大關節的原則。由于機械臂逆運動問題本身的復雜性，要建立通用算法是相當困難的。有關機器人運動學逆解的求解方法很多，其中主要有解析法5,6、幾何法7、符號及數值方法8、幾何解析法9等。總結在機器人學的研究中，六自由度機械臂的復雜運動控制具

11、有很大的研究價值和實用意義。而運動學分析對機械臂運動控制又尤為重要。關于機器人正運動學與逆運動學問題上，前人已經做了大量的研究工作，現在也有了廣泛的參考資料。在正運動學分析上，已經有了對機器人運動進行建模的標準方法，D-H法；而在逆運動學分析上，由于逆運動問題本身的復雜性，沒有通用的解決方法，我想在具體問題上發展新的逆運動學解法仍舊是一項具有挑戰性和開創性的任務。除了對正運動學和逆運動學的了解，我們還需通過機械臂仿真工具來更準確地分析運動學。除了運動學分析，要完成機械臂的設計，仍舊有大量工作需要完成，要綜合考慮整個設計過程，運動學分析就要基于前面的工作，如機械臂結構和控制系統等，還要考慮后續工

12、作，如運動軌跡規劃和仿真等。參考文獻1 Siegwart R., Nourbakhsh I. R. Introduction to autonomous mobile robots M. Massachusetts: MIT Press, 20042 史先鵬，張波濤，劉士榮等. 面向任務的冗余移動機械臂的運動規劃C. 第27屆中國控制會議論文集.2008:476-480.3 C.R. Rocha, C.P. Tonetto, A. Dias. A comparison between the DenavitHartenberg and the screw-based methods used

13、in kinematic modeling of robot manipulators J. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing 27 (2011):723728.4 Saeed B. Niku 孫富春等譯.機器人學導論:分析、控制及應用(第2版)M 北京：電子工業出版社，2013：55.5 Paul R P, Shimano B E, Mayer G. Kinematic Control Equations for Simple Manipulators.J IEEE Trans SMC,1981,11(6):499-455.6 Paul, Richard P. Robot Manipulators, Mathematics, Programming, and ControlM. Cambridge: The MIT Press, 1981.7 Fu K S, Gonzalez R C, Lee C S G. Robotics Control Senses Vision and IntelligenceM. New York: Mc Graw-Hi