1、信號與線性系統信號與線性系統第四章 傅里葉變換和系統的頻域分析第2頁0102211( )( )tTnNNtEtt dtT方均誤差：0111( )cos()sin()NNnnnStaantbnt有限項傅里葉級數：( )( )( )(f(t)NNtf tSt其中為逼近的誤差函數）實際應用中，經常采用有限項級數來代替無限項級數。顯然，有限項數是一種近似的方法，所選項數愈多，有限項級數愈逼近原函數，其方均誤差愈小。傅里葉有限級數與最小方均誤差傅里葉有限級數與最小方均誤差第3頁設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率=2/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數 稱為f(t)

2、的傅里葉級數 011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t系數an , bn稱為傅里葉系數 222( )cos()dTTnaf tn ttT222( )sin()dTTnbf tn ttT可見， an 是n的偶函數， bn是n的奇函數。第4頁01( )cos()2nnnAf tAn t 式中，A0 = a022nnnAabarctannnnba 上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中A0/2為直流分量；A1cos(t+1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；A2cos(2t+2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)稱

3、為n次諧波。 可見An是n的偶函數， n是n的奇函數。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為第5頁u例子：例子：以下為對稱方波，注意不同的項數，有限級數對原函數的逼近情況，并計算由此引起的方均誤差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一項)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解：其傅里葉級數表達式為：第6頁t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次諧波分量)3cos(321twE取基波、三次諧波分量和五次諧波分量t)(tf)cos

4、(21twE041T41T2E)cos(21twE12cos(5)5Ewt第7頁從上面例子看出：o (1) n愈大，則愈逼近原信號f(t)。o (2) 當信號f(t)是脈沖信號時，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿；低頻分量影響脈沖的頂部。f(t)波形變化愈劇烈，所含的高頻分量愈豐富；f(t)變化愈緩慢，所含的低頻分量愈豐富。o (3)當信號中任一頻譜分量的幅度或相位發生相對變化時，輸出波形一般要發生失真。第8頁當選取傅里葉有限級數的項數N很大時，該峰起值趨于一個常數，它大約等于總跳變值的9%，并從不連續點開始以起伏振蕩的形式逐漸衰減下去。此現象稱為吉布斯現象。吉布斯（吉布斯（Gibbs）現象）現

5、象105 .0t)(tf1n %99n3n第9頁二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數為偶函數對稱縱坐標對稱縱坐標22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為余弦級數。，展開為余弦級數。2 . .f(t)為奇函數為奇函數對稱于原點對稱于原點an =0，展開為正弦級數。，展開為正弦級數。實際上，任意函數實際上，任意函數f(t)都可分解為奇函數和偶函數兩部分，都可分解為奇函數和偶函數兩部分，即即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t)

6、= -fod(t) + fev(t) 所以所以 第10頁2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數為奇諧函數f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時此時 其傅里葉級數中只含奇次諧波其傅里葉級數中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即分量，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里葉級數的指數形式三、傅里葉級數的指數形式三角形式三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用因而經常采用指數形式指數形式的傅里葉級數。可從三角形式推出：的傅里葉級數。可從三角形式推出

7、：利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2 第11頁其傅里葉級數三角展開式中 直流項 僅含和余弦項，112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函數信號：t)(tfE021T21T例如：周期三角波信號例如：周期三角波信號是一偶函數是一偶函數1112411( )cos()cos(3)cos(5)2925EEf twtwtwt其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：第12頁其傅里葉級數三角展開式中 僅含正弦項102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函數信號：，)3sin(31)2sin(21)sin()(

8、111twtwtwEtf其傅里葉級數表達式為：其傅里葉級數表達式為：t)(tf2E021T21T例如：周期鋸齒波信號是一奇函數2E第13頁指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數 00*0() ()tTjn tjm tteedtTnmnm式中，式中，T=2/為指數函數公共周期為指數函數公共周期(即任意周期信號的周即任意周期信號的周期），期），m、n為整數。任意函數為整數。任意函數f(t)可在區間可在區間(t0, t0+T)內用此函內用此函數集表示為數集表示為 ( )jtnnnFf te第14頁1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA

9、10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式，則上式寫為寫為 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以第15頁令復數令復數1ee2nnjjnnnAFF稱其為稱其為復傅里葉系數復傅里葉系數，簡稱傅里葉系數。，簡稱傅里葉系數。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe

10、)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信號表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數信號之可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和。和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。第16頁4.34.3周期信號周期信號的頻譜的頻譜第17頁一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的某種特征量特征量隨信號頻率變隨信號頻率變化的關系，稱為化的關系，稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號的號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、是指周期信號中各次諧波幅值

11、、相位隨頻率的變化關系，即相位隨頻率的變化關系，即 將將An和和 n的關系分別畫在以的關系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因為。因為n0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關系，稱為的關系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實數，也可直接畫為實數，也可直接畫Fn 。第18頁關系曲線稱為幅度頻譜圖。關系曲線稱為幅度頻譜圖。周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性 。 nA的的線線性性組組合合。基基波波角角頻頻率率的的整整數數

12、倍倍）（）和和各各次次諧諧波波，基基波波（周周期期信信號號可可分分解解為為直直流流:11 nn關系曲線稱為相位頻譜圖。關系曲線稱為相位頻譜圖。可畫出頻譜圖；可畫出頻譜圖；第19頁 幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜1 13 nc0c1c3cO1 13 n O離散譜，譜線離散譜，譜線nA曲線曲線 n單邊頻譜圖單邊頻譜圖第20頁指數形式表示的信號頻譜指數形式表示的信號頻譜-復數頻譜復數頻譜11nnnnF雙邊頻譜圖：復函數幅度譜，復函數相位譜具有、（負頻率的結離散果僅性諧波性收斂性是數學處理）Fn一般是復函數，所以稱這種頻譜為復數頻譜。1w0Anc112A212A1nww01w1nw0n1nww1nw

13、1w0AnF112A212A1nww01w1nw幅度譜與相位譜合并幅度譜與相位譜合并第21頁 總結（1）周期信號）周期信號f(t)的傅里葉級數有兩種形式的傅里葉級數有兩種形式（3）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質）周期信號的頻譜是離散譜，三個性質（2）兩種頻譜圖的關系）兩種頻譜圖的關系（4）引入負頻率）引入負頻率第22頁(1)周期信號f(t)的傅里葉級數有兩種形式三角形式三角形式指數形式指數形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf 1j( )entnnf tF第23頁000102nnFAncAa(2)兩種頻譜圖的關系)()( 11 nn 相相位位頻頻譜譜為為奇奇函函數數nnA三角

14、函數形式：，單邊頻譜單邊頻譜nnF指數函數形式：，雙邊頻譜雙邊頻譜其中其中 nncc指數形式的幅度頻譜為偶函數第24頁(3)三個性質1,( )nncnf t收斂性：諧波性： （離散性），頻率只出現在處惟一性：的譜線唯一(4)引入負頻率對于雙邊頻譜，負頻率對于雙邊頻譜，負頻率)(1 n，只有數學意義，而無，只有數學意義，而無物理意義。為什么引入負頻率物理意義。為什么引入負頻率? ? 的的實實函函數數的的性性質質不不變變。，才才能能保保證證和和數數，必必須須有有共共軛軛對對是是實實函函數數，分分解解成成虛虛指指)(ee11jjtftfnn 注意：沖激函數序列的頻譜不滿足收斂性注意：沖激函數序列的頻

15、譜不滿足收斂性第25頁例：例：周期信號周期信號 f(t) =試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫出它的單，畫出它的單邊頻譜圖，并求邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先應用三角公式改寫首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即的表達式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據帕

16、斯瓦爾等式，其功率為根據帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 323741212121122第26頁34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1第27頁舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為，脈沖寬度為 的周期矩形脈沖，其周期為的周期矩形脈沖，其周期為T，如，如圖所示。求頻譜。圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnd

17、e1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數）取樣函數） nnTjnTtjn)2sin(2e122第28頁)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設T = 4畫圖。畫圖。零點為零點為mn2所以所以mn2，m為整數。為整數。Fn022441特點特點： (1)周期信號的頻譜具有諧波周期信號的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線位置是性。譜線位置是基頻基頻的整數倍；的整數倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢減小。一般具有收斂性。總趨勢減小。第29頁譜線的結構與波形參數的關系：譜線的結構

18、與波形參數的關系：(a) T一定，一定， 變小，此時變小，此時 （譜線間隔）不變。兩零點之間的（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：譜線數目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜離散頻譜就過渡到非周期就過渡到非周期信號的信號的連續頻譜連續頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。 第3

19、0頁周期信號的功率周期信號的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為第31頁4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號非周期信號f(t)可看成是周期可看成是周期T時的周期信號。時的周期信號。 前已前已指出當周期指出當周期T趨近于無窮大時，譜線間隔趨近于無窮大時，譜線間隔 趨近于無窮

20、小，從趨近于無窮小，從而信號的頻譜變為連續頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無而信號的頻譜變為連續頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期窮小，不過，這些無窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱F(j)為頻譜密度函數。為頻譜密度函數。第32頁22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n （由離散量變為連續量），而（由離散量變為連續量

21、），而2d21T同時，同時， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數頻譜密度函數，簡稱，簡稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數原函數。根據傅里葉級數根據傅里葉級數第33頁也可簡記為也可簡記為F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復函數，寫為一般是復函數，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說明說明 (1)前面

22、推導并未遵循嚴格的數學步驟。可證明，函數前面推導并未遵循嚴格的數學步驟。可證明，函數f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關系還可方便計算一些積分用下列關系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFf第34頁 單個矩形脈沖信號的傅里葉變換單個矩形脈沖信號的傅里葉變換 圖圖 4.4-1 (a)所示矩形脈沖一般稱為門函數。其寬度為所示矩形脈沖一般稱為門函數。其寬度為，高度為，高度為1，通常用符號，通常用符號g(t)來表示。試求其頻譜函數來表示。試求其頻譜函數。 解：解： 門函數門函數g(t)可表示為可表示為 第35頁圖圖4.4-1 門

23、函數及其頻譜門函數及其頻譜(a) 門函數；門函數； (b) 門函數的頻譜；門函數的頻譜； (c) 幅度譜；幅度譜； (d) 相位譜相位譜 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo第36頁(1)( )()0)atf teu ta單邊指數：（復函數）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里葉變換為：一、單邊指數信號的傅里葉變換一、單邊指數信號的傅里葉變換第37頁0()()00( )( )(0)11()jwtatjwtajtajtFf t edtaeedtedteajaj 解：代入傅里葉變換定義公式中解：代入傅里葉變換定義公式中單邊指數信

24、號的頻譜如下：單邊指數信號的頻譜如下：第38頁02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t時域波形時域波形頻域頻譜頻域頻譜221( )Fa0a1wa21a3第39頁(2)( )(0)a tf tea偶雙邊指：數（正實函數）二、雙邊指數信號的傅里葉變換二、雙邊指數信號的傅里葉變換222222( )( ),0(aFaaaF 其傅里葉變換為：其傅里葉變換為：第40頁代入傅里葉變換定義公式中代入傅里葉變換定義公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwtatjwtatjw

25、ttajwt解：解：雙邊指數信號的頻譜如下：雙邊指數信號的頻譜如下：第41頁頻域頻譜頻域頻譜( )(0)a tf tea01t時域波形時域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等相位等0第42頁(3) 沖激函數沖激函數 時域沖激函數時域沖激函數(t)的變換可由定義直接得到的變換可由定義直接得到1)()(dtetFtj由式可知，時域沖激函數由式可知，時域沖激函數(t)頻譜的所有頻率分量均勻分頻譜的所有頻率分量均勻分布（為常數布（為常數1），這樣的頻譜也稱白色譜。），這樣的頻譜也稱白色譜。 沖激函數沖激函數(t)、 頻譜函數如圖所示。頻譜函數如圖所示。第43頁圖圖4.4-6 沖激函數及其頻譜沖

26、激函數及其頻譜第44頁解：解： 1)()(dtetjFtjdetftj121)(可見，沖激函數可見，沖激函數(t)的頻譜是常數的頻譜是常數1。也就是說，。也就是說，(t)中包含中包含了所有的頻率分量，了所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯顯然，然， 信號信號(t)實際上是無法實現的。實際上是無法實現的。 第45頁(4). 門函數門函數(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(2(5). 沖激函數沖激函數 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj

27、0eddde)( )( 第46頁(6). 常數常數有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件，如有一些函數不滿足絕對可積這一充分條件，如1， (t) 等，但等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。可構造一函數序列可構造一函數序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所形成的的傅里葉變換所形成的序列序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F (j )為為)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn這樣定義的傅里葉變換也

28、稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 第47頁構造構造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以22000,02()lim()lim,0F jFj顯然是沖激函數又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 t t，t-t- )(de21ttj再根據傅里葉變換定義式，得再根據傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj第48頁(7). 符號函數符號函數0, 10, 1)sgn(t

29、tt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(2200(8). 階躍函數階躍函數 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)第49頁歸納記憶：1. F 變換對變換對2. 常用函數常用函數 F 變換對：變換對：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) 1( )j e - - t (t) 1jg(t) 2Sasgn (t) 2je |t|222 1 12()第50頁4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質一、線性一、線性(Linear

30、Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 第51頁For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -第52頁(

31、)( )( )( )cos( )sin( )( )( )( )j tjFf t edtf ttdtjf ttdtRjXFFe 2. 奇偶特性奇偶特性 f(t)為實函數時，其奇，偶對稱性對傅里葉變換為實函數時，其奇，偶對稱性對傅里葉變換影響。影響。 F(j)的模與幅角、的模與幅角、 實部與虛部表示形式為實部與虛部表示形式為第53頁)()()(arctan)()()()()(sin)()()(cos)()(22RXXRFXtdttfjXRtdttfR其中其中第54頁0( )( )sin0( )( )2( )cosXf ttdtFRf ttdt 因此可以看到因此可以看到R()、|F()|是是的偶函數

32、；的偶函數；X()、()是是的奇函數。特別地的奇函數。特別地f(t)為實偶函數，我們有為實偶函數，我們有即其頻譜函數只有實部，是即其頻譜函數只有實部，是的偶函數。的偶函數。第55頁( )( )cos0( )( )( )sinRf ttdtFjXjf ttdt 由式可知若由式可知若f(t)是是t的實奇函數，的實奇函數， 則則F()必為必為的的虛奇函數。虛奇函數。 特別地特別地f(t)為實奇函數，為實奇函數， 我們有我們有第56頁()F(j )(t)()ffF jt與具相同表達式， 與具相同表達式）(3)(:f)FtF j 若對稱性)2()FfF jt 則第57頁證證 ：deFtftj)(21)(

33、deFtftj)(21)(則則 將變量將變量用用x代換，積分結果不變代換，積分結果不變xt2()()xt2()()jjtftF jx edxtfF jx edt將此式中的變量 以 , 用 來替換，得第58頁w0)2()(w)(tf01tt0)1 ()(t)(wf01w舉例：舉例：第59頁例：例： F(j) = ?211)(ttf解解:22| |2et若若=1,2| |12et|2e212 t|2e11t第60頁1()0()()j tf atFjaaaF f atf at edt證明：4. 尺度變換尺度變換 若若f(t)F(j)， 則則當當a0時，令時，令at=x, 則則 ，代入上式，代入上式a

34、xtdxadt,111()( )jxaF f atf x edxFjaaa第61頁當當a0、 a0兩種情況，兩種情況， 尺度變換特性表示為尺度變換特性表示為第62頁1()f atFjaa 特別地當特別地當a=-1時，時， 得到得到f(t)的折疊函數的折疊函數f(-t)， 其頻譜其頻譜亦為原頻譜的折疊，亦為原頻譜的折疊， 即即 f(-t) F(-j) 尺度特性說明，尺度特性說明， 信號在時域中壓縮，信號在時域中壓縮， 頻域中就擴展；頻域中就擴展； 反之，反之， 信號在時域中擴展，信號在時域中擴展， 在頻域中就一定壓縮；在頻域中就一定壓縮； 即信即信號的脈寬與頻寬成反比。號的脈寬與頻寬成反比。 第

35、63頁一般時寬有限的信號，其頻寬無限，反之亦然。一般時寬有限的信號，其頻寬無限，反之亦然。 由于由于信號在時域壓縮（擴展）時，其能量成比例的減少（增信號在時域壓縮（擴展）時，其能量成比例的減少（增加），因此其頻譜幅度要相應乘以系數加），因此其頻譜幅度要相應乘以系數1/|a|。也可以。也可以理解為信號波形壓縮（擴展）理解為信號波形壓縮（擴展）a倍，信號隨時間變化加倍，信號隨時間變化加快（慢）快（慢）a倍，所以信號所包含的頻率分量增加（減少）倍，所以信號所包含的頻率分量增加（減少）a倍，頻譜展寬（壓縮）倍，頻譜展寬（壓縮）a倍。又因能量守恒原理，各頻倍。又因能量守恒原理，各頻率分量的大小減小（增加

36、）率分量的大小減小（增加）a倍。下圖表示了矩形脈沖及倍。下圖表示了矩形脈沖及頻譜的展縮情況。頻譜的展縮情況。第64頁圖圖 矩形脈沖及頻譜的展縮矩形脈沖及頻譜的展縮0000Atf (t)A24)2Sa()(AFf (2t)AAtt044221F2A22tf214402A2422F()第65頁(5)f( )( )tF 若時移性：F000f()( ),0j tFttte則F 信號在時域中延時信號在時域中延時t-t0（沿時間軸右移），等效于（沿時間軸右移），等效于在頻域中相位產生偏差（在頻域中相位產生偏差（-wt0),其幅度譜不變。其幅度譜不變。000()0()( )( )()jx tj tj tj

37、xj tf tt edtf x edxef x edxF je證明：第66頁圖圖 矩形脈沖信號圖矩形脈沖信號圖Et0f1(t) 例：例： 求如圖所示信號求如圖所示信號f1(t)的頻譜的頻譜函數函數F1()， 并作頻譜圖。并作頻譜圖。 解解 f1(t)與門函數的關系為與門函數的關系為)2()(1tEftf由上節門函數的變換由上節門函數的變換 2)()(SaFtf第67頁2)()(2)()(2)()(11210SaEFEFeSaEeEFFjtj f1(t)的振幅、的振幅、 相位頻譜函數相位頻譜函數|F1()|、 1()如如圖所示。圖所示。 再由線性與時移性，再由線性與時移性， 得到得到第68頁圖圖

38、 該矩形脈沖的振幅、該矩形脈沖的振幅、 相位頻譜相位頻譜00)(1F241()24E242/ 2(a)(b)4第69頁00( )()jtf t eF證： 00()0( )( )()jtjtj tf t eedtf t edtF 頻移特性表明信號在時域中與復因子頻移特性表明信號在時域中與復因子 相乘，相乘， 則在頻則在頻域中將使整個頻譜搬移域中將使整個頻譜搬移0。實用中，通常不會把一時間。實用中，通常不會把一時間的實函數去乘以復指數函數，而與正弦函數來相乘。但的實函數去乘以復指數函數，而與正弦函數來相乘。但正弦函數總可以表示為復指數函數之和正弦函數總可以表示為復指數函數之和。 tje0 6. 頻

39、移性 若f(t)F(j),則：則：第70頁2sin,2cos000000jeeteettjtjtjtj這樣，這樣， 若有若有f(t)F()， 則則)()(21sin)()()(21cos)(000000FFjttfFFttfo實際調制解調的載波實際調制解調的載波(本振本振)信號是正、信號是正、 余弦信號，余弦信號， 借助歐拉借助歐拉公式正、公式正、 余弦信號可以分別表示為余弦信號可以分別表示為第71頁1212121212( )( )( )()( )()( )( )()()j tjf tf tff tdedtff tddfFedF jFj(交換積分次序交換積分次序) (利用時延性利用時延性)7.

40、 時域卷積定理時域卷積定理 若若f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)， 則則 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)證證: 第72頁)()(21)()(2121FFtftf證證 12121212121211()()( )()2211( )()2211( )()221( )( )( )( )2j tj tj tF jFjF u Fu duF u Fu du edF uFu edduF u f t eduf t f t 頻域卷積定理頻域卷積定理 若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)， 第73頁8、時域的微分和積分、時域的微分和積分If f (t) F(j) th

41、en )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0( )( ),( )( )( )d ,()00() ( )(0) ( )2() ( )tg xf xg xg xf xxgF jF g xFgj 已知 求的傅里葉變換的話，上述假設隱含當，若不為 時，則第74頁f(t)= 1/t2 ?舉例舉例 1（微分性）（微分性）Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t第75頁f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t

42、 t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans: f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ” ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)第76頁九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) 1(0) ( )( )()dftf tF jxxjtwh

43、ered)(21)0(jFfFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt第77頁Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2d)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a第78頁4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜一一. 能

44、量譜能量譜 電壓電壓(電流電流)信號信號f(t)加于一歐姆電阻上所耗散的能量。加于一歐姆電阻上所耗散的能量。 dttfE)(2222011( )()()2Ef tdtF jdF jd 上式是上式是帕塞瓦爾定理帕塞瓦爾定理在非周期信號的能量等式，也叫在非周期信號的能量等式，也叫雷利定理。雷利定理。第79頁2( )Eft dt 一般來說，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，一般來說，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個能量信號。非周期信號的總但其能量為有限量，因而是一個能量信號。非周期信號的總能量能量E為為 非周期信號的帕塞瓦爾定理表明，對非周期信號，在時域非周

45、期信號的帕塞瓦爾定理表明，對非周期信號，在時域中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。由于中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。由于2)(jF是是 的偶函數，因而的偶函數，因而222011( )()()2Eft dtF jdF jd第80頁2( )()GF j 非周期信號是由無限多個振幅為無窮小的頻率分量組成非周期信號是由無限多個振幅為無窮小的頻率分量組成的，各頻率分量的能量也為無窮小量。為了表明信號能量在的，各頻率分量的能量也為無窮小量。為了表明信號能量在頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數相似，引入頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數相似，引入 個能量個能量密度頻譜函數，簡稱為能

46、量譜。能量譜密度頻譜函數，簡稱為能量譜。能量譜G（ ）為各頻率點）為各頻率點上單位頻帶中的信號能量，所以信號在整個頻率范圍的全部上單位頻帶中的信號能量，所以信號在整個頻率范圍的全部能量為能量為1( )2EGd可得到可得到其單位為焦耳其單位為焦耳/赫茲。赫茲。第81頁得到信號的自相關函數得到信號的自相關函數 與信號的能量譜與信號的能量譜 是一是一對傅氏變換對，對傅氏變換對， 即有即有 1( ) ( )( ) ( )GF RRFG( )R( )G第82頁二二. 功率譜功率譜 對功率信號而言最重要的參數是平均功率，即信號的對功率信號而言最重要的參數是平均功率，即信號的均方值均方值(方均值方均值)。

47、用得到能量譜的方法，用得到能量譜的方法， 我們可以得到我們可以得到功率譜密度函數。功率譜密度函數。 1. 功率譜密度函數定義功率譜密度函數定義 令令fT(t)為為f(t)的截短函數如圖所示，的截短函數如圖所示， 即即2)(1lim)(2/2/0)()(TTTFTFTtTttftf第83頁 圖 f(t)的截短函數 00f (t)fT (t)tt2T2T2T2T第84頁這樣信號的平均功率可由功率譜密度表示這樣信號的平均功率可由功率譜密度表示/222/2211( )lim( )( )2()1lim2TTTTTPftft dtPdTFjdT功率譜的單位為功率譜的單位為W(瓦特瓦特)/Hz(赫茲赫茲)。

48、 第85頁 2. P()與與R()的關系的關系 功率信號的自相關函數定義為功率信號的自相關函數定義為dttftfTRTTTTT)()(1lim)(2/2/1( ) ( )( ) ( )PF RRFP第86頁4.7周期信號的傅里葉周期信號的傅里葉變換變換第87頁周期信號周期信號-傅里葉級數傅里葉級數非周期信號非周期信號- 傅里葉變換傅里葉變換周期無窮大周期無窮大求和變求積分求和變求積分 周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數周期信號不滿足絕對可積條件，但在允許沖激函數存在并認為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不存在并認為它有意義的前提下，絕對可積條件就成為不必要的限制。也就有周期信號的

49、傅里葉變換。必要的限制。也就有周期信號的傅里葉變換。目的：目的：把周期信號與非周期信號的分析方法統一起來，把周期信號與非周期信號的分析方法統一起來，使傅里葉變換得到廣泛應用。使傅里葉變換得到廣泛應用。第88頁先討論指數函數的傅里葉變換，已知常數先討論指數函數的傅里葉變換，已知常數1的傅里的傅里葉變換為：葉變換為：00jt0-jt012( )e2()e2()F 根據頻域特性可得：=第89頁正弦、余弦周期信號的傅里葉變換正弦、余弦周期信號的傅里葉變換 111cos()()()t ：余弦信號F111sin()()()tj 正弦信號：F21( ) F002()jte 根據歐拉公式以及傅里葉變化的線性可

50、得：F第90頁正弦、余弦周期信號的正弦、余弦周期信號的頻譜頻譜0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF 第91頁一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換 11( )2jntnnnnf tFFne 一般周：期信號F令周期信號f(t)的周期為T1，角頻率為1=2f11112121F( )Tjnw tTnf t edtT其中：其中：周期信號的頻譜函數是一個沖激序列。第92頁v例例求周期單位沖激序列的傅里葉級數與傅里葉變換。求周期單位沖激序列的傅里葉級數與傅里葉變換。解：結果：解：結果： nTnTtt)()(1單位沖激函數的間隔為單位沖

51、激函數的間隔為T T1 1，用符號，用符號 T T(t)(t)表示周期單位沖激序列：表示周期單位沖激序列：w0)(wF10t)(t10t)(t11T1T 0wnF11T1w 1w12w12w FS第93頁 可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數中只包含位于可見，在周期單位沖激序列的傅里葉級數中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 的的頻率分量頻率分量，且分量大小相等，且分量大小相等，均等于均等于1/T1。1( )jnw tTnntc e0t)(t11T1T 0w)(wF1w1w 1w12w12w FT T T(t)(t)是周期函數，求其是周期函數，求其傅里葉級數傅里葉級數：11211211

52、( )TjwtTnFf t edtTT111( )jnw tTnteT該周期函數的傅里葉級數為第94頁再求再求 T T(t)(t)的的傅里葉變換傅里葉變換。1( )2F()FTTnnftwnw 11nFT又11( )( )()FTTTnfttn 可見，在周期單位沖激序列的可見，在周期單位沖激序列的傅里葉變換傅里葉變換中只包含位于中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 頻率頻率處的處的沖激函數沖激函數，其強度大，其強度大小相等，均等于小相等，均等于 1 。第95頁利用單脈沖信號的傅里葉變換求周期信號的利用單脈沖信號的傅里葉變換求周期信號的傅里葉變換傅里葉變換式）（單脈沖的傅里葉變換單脈沖信

53、號：從周期脈沖信號單脈沖信號：從周期脈沖信號f(t)中截取一個周中截取一個周期，得到單脈沖信號期，得到單脈沖信號f0(t)。周期信號為周期信號為T T的信號可以看成的信號可以看成f0(t)與周期為與周期為T的沖的沖激序列激序列 T(t)的卷積，即的卷積，即112002()( )TjwtTFjwft edt單脈沖的傅里葉變換單脈沖的傅里葉變換F0():為非周期信號直接用傅里為非周期信號直接用傅里葉變換定義公式。葉變換定義公式。0( )( )( )TTftftt第96頁按照時域卷積定理，可以直接求得周期信號的按照時域卷積定理，可以直接求得周期信號的傅里葉變換傅里葉變換。1101111011( )(

54、)( )()() () ()FTTnTnntnF ftFjnFjn 可見，利用可見，利用單脈沖信號的傅里葉變換可以很方便地求得單脈沖信號的傅里葉變換可以很方便地求得周期信號的傅里葉變換。周期信號的傅里葉變換。第97頁周期信號的傅里葉級數的系數周期信號的傅里葉級數的系數FnFn等于單脈沖信號的傅里等于單脈沖信號的傅里葉變換葉變換F0( )在在n 1 1頻率點的值乘以頻率點的值乘以1/T1。1112121( )TjwtTnw nwFf t edtT或寫成或寫成1011()nw nwFFjwT 還可利用單脈沖的傅里葉變換求周期性信號的傅里葉級還可利用單脈沖的傅里葉變換求周期性信號的傅里葉級數的系數。

55、數的系數。第98頁求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數和傅里葉變換求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數和傅里葉變換0)(tfE22TTt解：先求矩形單脈沖信號解：先求矩形單脈沖信號f0(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F0(w)0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0w22)(0wFE第99頁再求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數再求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數Fn0)(tfE22TTtw12T022nF1TE110111()()2nwnwnwEFFwSaTT ntjnwenwSaTEtf1)2()(11求得周期矩形脈沖信號的求得周期矩形脈沖信號的傅里葉級數傅里葉級數：第100頁最后求周期矩形脈沖信號的傅里葉

56、變換最后求周期矩形脈沖信號的傅里葉變換F(w)。 nnwwnwSawEwF)()2()(111看出：周期信號頻譜是離散的；看出：周期信號頻譜是離散的； 非周期信號的頻譜是連續。非周期信號的頻譜是連續。1( )2()FTTnnftFwnw 第101頁4.7 LTI4.7 LTI系統的頻域分析系統的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數函數之和。率的虛指數函數之和。ntjnnFtfe)(對周期信號：對周期信號：對非周期信號：對非周期信號：de)(21)(tjjFtf其其基本信號基本信號為為 ej t一、基本信號一、基本信號ej t作

57、用于作用于LTI系統的響應系統的響應說明：頻域分析中，信號的定義域為說明：頻域分析中，信號的定義域為( ，)，而，而t= 總總可認為系統的狀態為可認為系統的狀態為0，因此本章的響應指零狀態響應，常，因此本章的響應指零狀態響應，常寫為寫為y(t)。 第102頁設設LTI系統的沖激響應為系統的沖激響應為h(t)，當激勵是角頻率，當激勵是角頻率的的基本信號基本信號ej t時，其響應時，其響應 tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，常稱為系統的頻率響應函數。，常稱為系統的頻率響應函數。de)(jhy(t)

58、= H(j ) ej tH(j )反映了響應反映了響應y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t第103頁二、一般信號二、一般信號f(t)作用于作用于LTI系統的響應系統的響應ej tH(j )ej t21F(j )ej td 21F(j )H(j )ej td 齊次性齊次性1()ed2j tF j1() ()ed2j tH jF j可加性可加性f(t)y(t) =F1F(j )H(j )Y(j ) = F(j )H(j )第104頁頻率響應頻率響應H(j )可定義為系統零狀態響應的傅里葉變可定義為系統零狀態響應的傅里葉變換換Y(j )與激勵與激勵f(t)的傅里葉變

59、換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱為稱為幅頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應幅頻響應）；）；( ) )稱為稱為相相頻特性頻特性（或（或相頻響應相頻響應）。）。 H(j ) 是是 的偶函數，的偶函數，( )是是 的奇函數。的奇函數。 第105頁例例：某：某LTI系統的系統的 H(j ) 和和( ) )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系統的響應。，求系統的響應。|H(j)|()10- -1001- -解法一解法一：用傅里葉變換：用傅里葉變換F(j )

60、= 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) e ej(j( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)第106頁解法二解法二：用三角傅里葉級數：用三角傅里葉級數f(t)的基波角頻率的基波角頻率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0)