1、 一、二叉樹模型中的參數(shù)估計1.1 二叉樹參數(shù)估計算法原理想要預測股價二叉樹，在知道初始值的前提下，還需要知道模型中的的u和d，但對于一支只知道對應于日期的股票價格，我們應該進行怎樣的數(shù)據(jù)處理呢？下面通過實證數(shù)據(jù)對二叉樹模型中的參數(shù)進行估計。原理：Hull-White算法令，并用如下公式計算u和d:我們假設：，這里是獨立的伯努利隨機變量，則我們可以得出和的合理估計值為：其中：和是來自實際市場數(shù)據(jù)的樣本均值和樣本方差，我們可以得出和的估計值為： 則： 1.2舉例應用我選用中國農(nóng)業(yè)銀行2013年的股票價格，具體數(shù)據(jù)見附件1.由表可知，,，這個二叉樹中所用的和與數(shù)據(jù)的相同，公式u和d可以簡化成： 做

2、4期二叉樹圖為：這里的是一天，我們通過選擇更大的時間間隔，令，即以一周為一個時間段，則有： 4期二叉樹圖變?yōu)椋涸倭罴匆园雮€月為一個時間段，則有： 4期二叉樹圖又變?yōu)椋河捎谠擃}的可以改變，時間間隔越長，股價“分叉”得更快。二、 幾何布朗運動估計與模擬2.1幾何布朗運動參數(shù)估計原理令代表某股票在時刻的價格，由以下公式給出S的模型。 其中，是常量，B服從布朗運動，而該方程的解就是幾何布朗運動。即： 其中，是均值為0，方差為t的正態(tài)隨機變量，由此得到的就是股價的幾何布朗運動模型。我們將采用修正的股價模型對歐式看漲期權(quán)進行定價，在此之前，要對股價模型進行參數(shù)估計，即波動率和漂移率。假設我們得到了在一段較

3、長時間0, T內(nèi)的股價數(shù)據(jù)記錄，這段時間由n個長度相等的子區(qū)間組成，再假設我們知道每個子區(qū)間末的股價，將股價表示為： Si：第i個子區(qū)間末的股價樣本觀測值為n+1個；令表示均值，則： 樣本方差用S2表示，則： 而U的觀測值的均值為，方差為。即： 最后算的參數(shù)和為： 及而對于，則需要隨機產(chǎn)生一系列標準正態(tài)分布，通過累加處理獲得計算所需要的值。也可運用對數(shù)正態(tài)分布模型,即： 其中，是一個均值為0，方差為T的隨機正態(tài)分布變量，的獲取與相仿。2.2舉例應用我選用中國農(nóng)業(yè)銀行2013年的股票價格，具體數(shù)據(jù)見附件2.計算股價，先隨機生成均值為0，方差為n的正態(tài)分布隨機數(shù)，而后進行處理生成預測值，結(jié)果如下：

4、而后將預測值與實際值進行比較，得到：根據(jù)圖可直觀地看出，預測值的波動率比較大，整個曲線趨勢很不平穩(wěn)，因此需要進行修正；于是，再隨機生成均值為0，方差為1的標準正態(tài)分布隨機數(shù)，而后進行處理生成預測值，結(jié)果如下：而后將預測值與實際值進行比較，得到：由此可以看出，擬合程度還是很好的，可以用來預測未來幾期的股票價格。預測未來兩個月的股價，結(jié)果如下：三、B-S模型及多期二叉樹的期權(quán)定價3.1.B-S期權(quán)定價公式：假設有一股票現(xiàn)價為，V是看漲期權(quán)的價格， 看漲期權(quán)V值可表示為：其中： 對于歐式看跌期權(quán)的價格P，可表示為：；3.2舉例應用我選用了2013年11月16日的執(zhí)行價，而后通過運用BS公式及多期二叉

5、樹計算期權(quán)價格的方式，將實際值與兩方法的預測值進行比較，而后進行分析，詳細數(shù)據(jù)見附件3。計算結(jié)果數(shù)據(jù)：再將預測所得數(shù)據(jù)與實際值進行擬合比較，得到如下圖：從該圖主觀地看出，三種期權(quán)的價格的趨勢基本上一致，擬合程度也比較高，但對來說，BS的擬合程度更好一點。這樣相對來說主觀了一點，接著對數(shù)據(jù)進行再一次的處理分析：最后算的，多期二叉樹的預測誤差的方差為：0.162756979，而幾何布朗運動的預測誤差的方差為：0.15752995 ，由此也可以得出，幾何布朗運動擬合程度更好一些。四、對沖4.1做題思路計算對沖，即計算值，而，對一只股票，在一年的時間里，假設我們每周進行一次對沖，那每周相應的對沖值又該

6、如何計算呢？在解這個題目時，最重要的計算出的值，在第一周時，為初始價，但到了第二周，有所變動，它的值為：，而對于，其值等于到期時間周數(shù)與總周期數(shù)的比值。對于,先產(chǎn)生隨機數(shù)，而后再將它轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布隨機數(shù)。4.2舉例應用對于附件2里的數(shù)據(jù)，T=0.51506849,S0=55.56,X=50,sigma=0.20203053, miu=0.724348005，r=0.04, 假設賣出1000股股票，在這樣的情況下，實現(xiàn)對沖為：課程小結(jié)：對于金融數(shù)學這門課程，一個多星期的計算機操作，讓我驚嘆。突然間才發(fā)現(xiàn)，這是一門綜合性特別強的學科，才明白自己在某些知識點的掌握上拿捏得不是很好，所以做起來還是有一

7、定的挑戰(zhàn)性的，可能在學習理論知識的時候，這樣的缺陷不是暴露的特別明顯。一開始決定編寫C語言，是因為自己電腦上安裝了這一軟件，如果趕不上進度自己可以補一下，最后才發(fā)現(xiàn)自己這一舉動是那么的正確，因為自己在C這方面學的不扎實，下課后，我還不得不窩在電腦前一次次修改程序，不過看到自己的程序可以完美實現(xiàn)的時候，真的真的特別開心，“廢寢忘食”的程序員生活，稍稍體驗了一把，才可以懂得他們?yōu)槭裁磿泻艽蟮那榫w波動。在做這個課程設計的時候，最麻煩的是計算積分與產(chǎn)生正態(tài)分布隨機變量，這個涉及到了數(shù)值計算方法和概率統(tǒng)計的知識，自然，C語言是基礎，在計算積分的時候，我運用了復合梯形公式，但在n的取值上遇到了一點問題，

8、不能很好地把握它的取值。在后面進行分析比較時，我運用了統(tǒng)計預測與決策的相關(guān)知識。總的來說，這一個星期真的過的特別充實，懂得了時間的概念。但是時間比較緊張，我們要做的內(nèi)容又比較多，做的還是不夠精細。附 錄源程序如下：歐式看漲期權(quán)：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"

9、;); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&i); printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)

10、n:n"); scanf("%d",&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf("股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%.6lf ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=

11、pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj>X) anj=anj-X; else anj=0; printf("%f ",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); printf("%.6lf ",akj); printf("n"); printf("歐式看漲期權(quán)定價為: "); printf("

12、%f n",a01); 歐式看跌期權(quán):#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t, w,v; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&

13、amp;i); printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf("

14、;股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj<X) anj=X-anj; else anj=0; printf("%f

15、",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); printf("%f ",akj); printf("n"); printf("歐式看跌期權(quán)定價為: "); printf("%f n",a01); 歐式向上敲出障礙看跌期權(quán)：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include

16、 "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&i); printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降

17、因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); printf("請輸入向上敲出障礙期權(quán)Q:n"); scanf("%f",&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf("股價二叉樹為:n"); for(

18、k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj<X&&anj<Q) anj=X-anj; else anj=0; printf("%f &quo

19、t;,anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) if(akj<Q) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("歐式向上敲出障礙看跌期權(quán)定價為: "); printf("%f n",a01); 歐式向上敲出障礙看漲期權(quán)：#include "stdio.h"#include &

20、quot;stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&i); printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",

21、&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); printf("請輸入向上敲出障礙期權(quán)Q:n"); scanf("%f",&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf(

22、"股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj>X&&anj<Q) anj=anj-X; else

23、anj=0; printf("%f ",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) if(akj<Q) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("歐式向上敲出障礙看漲期權(quán)定價為: "); printf("%f n",a01); 歐式向下敲出障礙看跌期權(quán)：#include &q

24、uot;stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&i); printf("請輸入增長因子u:n&qu

25、ot;); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); printf("請輸入向下敲出障礙期權(quán)Q:n"); scanf("%f",&Q); r=exp(-i); q=(1

26、/r-d)/(u-d); p=1-q; printf("股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj<X&&

27、;anj>Q) anj=X-anj; else anj=0; printf("%f ",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) if(akj>Q) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("歐式向下敲出障礙看跌期權(quán)定價為: "); printf("%f n",a01

28、); 歐式向下敲出障礙看漲期權(quán)：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 200main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,Q; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf("%f",&i);

29、 printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); printf("請輸入向下敲出障礙期權(quán)Q:n"); scanf("%f&quo

30、t;,&Q); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q; printf("股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s

31、0*w*v; if(anj>X&&anj>Q) anj=anj-X; else anj=0; printf("%f ",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) if(akj>Q) akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); else akj=0; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("歐式向下敲出障礙看漲期權(quán)定價為: ");

32、printf("%f n",a01); 美式看跌期權(quán)：#include "stdio.h"#include "stdlib.h"#include "math.h"#define N 100main() int n,k,j; float s0,i,X,u,d,r,q,p,t,w,v,T; float aNN+1; printf("請輸入初始價s0:n"); scanf("%f",&s0); printf("請輸入每期利率i:n"); scanf(&q

33、uot;%f",&i); printf("請輸入增長因子u:n"); scanf("%f",&u); printf("請輸入下降因子d:n"); scanf("%f",&d); printf("請輸入執(zhí)行價X:n"); scanf("%f",&X); printf("請輸入期數(shù)n:n"); scanf("%d",&n); r=exp(-i); q=(1/r-d)/(u-d); p=1-q

34、; printf("股價二叉樹為:n"); for(k=0;k<=n;k+) for(j=1;j<=k+1;j+) w=pow(u,j-1); v=pow(d,k-j+1); akj=s0*w*v; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("期權(quán)二叉樹為:n"); for(j=n+1;j>=1;j-) w=pow(u,j-1); v=pow(d,n-j+1); akj=s0*w*v; if(anj<X) anj=X-anj; else anj=0; pr

35、intf("%f ",anj); printf("n"); for(k=n-1;k>=0;k-) for(j=k+1;j>=1;j-) T=X-akj; akj=r*(p*ak+1j+q*ak+1j+1); if(T<akj) akj=akj; else akj=T; printf("%f ",akj); printf("n"); printf("美式看跌期權(quán)定價為: "); printf("%f n",a01); 歐式看漲期權(quán)BS價格：#include&l

36、t;stdio.h>#include<math.h>#define d -1000#define pi 3.1415926double f(double x) return exp(-x*x/2);double N(double b,double a,int n) double h,s1,s,s2=0; int k; for(k=1;k<n-1;k+) h=(b-a)/n;s1=a+k*h;s2=f(s1)+s2; s=1/sqrt(2*pi)*h/2*(f(a)+2*s2+f(b); return (s); main() double s0,X,t,p,r,d1,d2

37、,v;int n; printf("請輸入股票初始價格s0:n");scanf("%lf",&s0); printf("請輸入執(zhí)行價X:n");scanf("%lf",&X); printf("請輸入以年為單位的到期時間t:n");scanf("%lf",&t); printf("請輸入波動率p:n");scanf("%lf",&p); printf("請輸入無風險利率r:n");scanf("%l