1、2016-2017學年河北省唐山市高三年級第二次模擬考試數學(理)試題一、選擇題1 .已知集合 A x N|x 3, B x|x a b,a A,b A,則 A B ()A. 1,2 B. 2, 1,1,2 C. 1 D. 0,1,2【答案】D【解析】 由 A x N |x 3, B x|x a b,a A,b A,得 A 0,1,2 ,B 2, 1,0,1,2則 A B 0,1,2 ,故選 D.2 .設復數z滿足二1 3i,則z () z 2A. 5 B. .5 C. 2 D. 2【答案】B【解析】由二1 3i ,得z 1 z 2 3zi 6i ,即z 2 i ,則|z 75 ,故選B.3

2、.如圖是八位同學400米測試成績的莖葉圖（單位：秒），則（）5 8 96 12777 06A.平均數為64 B. 眾數為7 C. 極差為17 D. 中位數為【答案】D【解析】由莖葉圖可知：該組數據為58,59,61,62,67,67,70,76 ,平均數為58 59 61 62 67 67 70 7665,眾數為67,極差為76 58 18,中位數為62 67 64.5 ,故選D.24. “ x2 5x 6 0” 是 “ x 2” 的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】 由x2 5x 6 0得xx>1或x6, x x;2 x x

3、)1或x 6,故“x2 5x 6 0 ”是“ x 2”的必要不充分條件，故選 B.5. 一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為(A. 24B. 24 3 C. 24 D. 24 2【解析】由三視圖可知：該幾何體是以2為邊長正方體從右下前方挖去 1個8球，該球以頂點為球心，2為半徑，則該幾何體的表面積為122 6 3 -2241-4224,故選 A.6.已知雙曲線過點2,3 ,漸進線方程為y則雙曲線的標準方程A.7x2162L 112B.2 y3C.D.3y2232123【解析】二.雙曲線漸進線方程為_2國，故可設雙曲線方程為x2 L3雙曲線過點2，3，則4 3，即 1,故雙曲線的標準方

4、程是83故選C.7.函數y LZ, x m,n的最小值為0,則m的取值范圍是（）x 1A. 1,2 B. 1,2 C. 1,2 D. 1,2【答案】D【解析】因為f x y馬上 1 3在1,上單調遞減，且f 2 0,x 1 x 1所以n 2, 1 m 2 ；故選D.8.執行如圖所示的程序框圖，若輸入的n 5,則輸出的結果為（）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B程 序 框 圖n 5, i 1; n 3165 1 16,i 2; n28,i 3；n84,i 4;24n 2,i25； n1,結束循環，輸出i值,即5 ；故選B.9.已知且 sin22sin2A. tan3tanB.tan

5、2tanC. 3tantanD.3tan2tan【解析】tantan即tansin2 2sin2sincos3tancos sinrin2sin21. c . c一 sin2 sin223sin2sin23,故選A.10.已知函數cos2x3sin 2x()的圖象向右平移一212個單位后關于x在區間,0上的最小值為(2A. 1B.,3D. 2【解析】f x cos 2x、,3sin 2x2sin 2x,將其圖象向6右平移萬個單位后得:2sin2 x 122sin 2x,由其關于y軸對稱,萬得2sin2x0, 42x 一332,在區間一 ,02上的最小值為73,故選C.11 .正方體 ABCDA

6、1B1C1D1 棱長為 6,O點在棱BC上,且 BO 2OC ,過 O點的直線l與直線AAi , C1D1分別交于M , N兩點，則MNA. 3.13 B. 9.5 C. 14 D.21【答案】D【解析】根據題意作圖，由圖可知:CiFNCi1AD1ND13NC1 3 ,，FN A ,afJab2 if；2而,EN, EF2FNEFMAiENMN MN 21,故選 D.點睛：本題主要考查了空間中點、線、面的位置關系，空間想象能力以及線面平行的判定及性質定理， 準確畫出圖形是解決本題的關鍵， 難度一般; 由三角形相似可得NCi 3,由勾股定理可得 NF,AF ,再次利用三角形相 似里里1 ,從而可

7、得結果.MA1 MN 312 .已知f x是定義在R上的可導函數，且滿足 x 2 f x xf' x 0, 則（）A. f x0 B.f x 0 C. f x為減函數D. f x為增函數【解析】令g x x2 f x ex，x2x2x xg x 2xf x e x f x e x f x e xe x 2 f x xf x ， x 2 f x xf' x 0,.二當x 0時，g x 0,函數g x單調遞增，當 x 0 時，g x0 ，函數g x 單調遞減；故g xx2 f x ex g 00即 f x 0 ，故選 A.點睛：本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，構造函數g

8、 x 是解題的關鍵，本題是一道中檔題；構造函數g x x2 f x ex ，結合題意可得函數 g x 在 0, 遞增，在,0 內單調遞減，可得結果.二、填空題13 . x 2y x y 7展開式中，含x3y5項的系數是 .【答案】49【解析】設 x y 7的通項公式為Tr 1 C7rx7 r y r，5252543434令 r 5 ，T6 C7x y 21x y ，令 r 4 ，T5 C7xy 35x y ，35 49,故答案x 2y x y 7展開式中，含x3y5項的系數是：21 2為49.14 .平行四邊形 ABCD中， M為BC的中點，若 ABuuuu AMuuirDB ,則【答案】2

9、9【解析】uuu ABuuuu AMuur DBuuur -AD , 2由圖形可得:uur uuu AB AD,2得:uur2AMuuurDBuur3AB ,uuuAB2 uuuu 1 uuur-AM - DB , 3315 .已知橢圓2 x ""2 a272 1(a b0）的右焦點為F 3,0別為A , B ,直線AF交于另一點M ,若直線BM交x軸于點N 12,0 ,則的離心率是【解析】由題意，得A 0,b ,B 0,b ,則直線AM、BN的方程分別為x! 1,1x2 y 1，聯立兩直線方程，2-得Mgw，則京元1,解得a 6,則該橢圓的離心率為e 3 2點睛：本題的關

10、鍵點在于理解 M是兩條直線和橢圓的公共點， 若先聯立直線與橢圓方程，計算量較大，而本題中采用先聯立兩直線方程得到點M的坐標，再代入橢圓方程進行求解，有效地避免了繁瑣的計算量16.在 ABC中，A BC 3, D是BC的一個三等分點，則 AD的3最大值是【答案】3 1【解析】如圖所示，以BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則 B 3,0 , C -,0 , D 1,0 取點 E,使得 BEC 120°,則 E 點坐 222標為0, . . A , A,B,E,C四點共圓，可得圓的方程為 23x2y立' 3 ,故可設點A坐標為Vscos，' V3

11、sin,0,22623sin4 2、,3sinAD 273cos2AD 24 2# ,故AD的最大值是33 1 ,故答案為陰1 .max點睛：本題考查了解析法的應用、 圓的參數方程及其應用、三角函數求值、輔助角公式，考查了推理能力與計算能力，解題的關鍵在于求出點A所在的圓的方程，屬于難題題；此題利用解析法，根據圓內接四邊形所具有的 特征，構造出點A所在的圓的方程，根據參數法的思想可設出點 A的坐標， 根據兩點間距離公式將|AD2表示成關于 的三角函數，將題意轉化為常見 的三角函數求最值問題.三、解答題17 .數列an的前n項和為Sn, Sn 2n 1 an,且ai 1.（D求數列an的通項公式

12、；（n ）若bn nan ,求數列bn的前n項和Tn .【解析】試題分析：（I）對已知等式Sn 2n 1an利用Sn &1 an化簡整理得旦 1n 2 ,進而可推斷出數列 an是一個以1為首項，1為公比 an 122的等比數列，根據等比數列的通項公式求得答案；（n）利用錯位相減法求結果.試題解析：（I）由Sn1 an,可得Sn12n 11 an 1 ( n 2 ),兩式相減，得sn sn 12n1 an2n 1 1 an 1 ,nn 122 an2anan 1故an是一個以1為首項,1為公比的等比數列,2所以a(n)bnnaTnbib2b3bn2Tn所以Tn2n 1點睛：本題主要考查了

13、等比數列的概念，以及數列的求和，屬于高考中常 考知識點，難度不大；常見的數列求和的方法有公式法即等差等比數列求 和公式，分組求和類似于Cn an bn,其中an和bn分別為特殊數列，裂項相消法類似于an -,錯位相減法類似于Cn an bn ,其中a為等 n n 1n差數列，bn為等比數列等.18 .某儀器經過檢驗合格才能出廠，初檢合格率為3：若初檢不合格，則4需要進行調試，經調試后再次對其進行檢驗； 若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為4.每臺儀器各項費用如表：5項目生產成本檢驗費/次調試費出廠價金額（元）10001002003000（I）求每臺儀器能出廠的概率；（n）求生產一臺儀器所獲得

14、的利潤為 1600元的概率（注：利潤 出廠價 生產成本檢驗費調試費）；（田）假設每臺儀器是否合格相互獨立，記X為生產兩臺儀器所獲得的利潤，求x的分布列和數學期望.【答案】（I） 19; （n） 1;（田）見解析.【解析】試題分析：（I）每臺儀器能出廠的對立事件為不能出廠，根據 對立事件的概率可得結果；（n）由表可知生產一臺儀器所獲得的利潤為 1600元即初檢不合格再次檢測合格，根據相互獨立事件同時發生的概率可得結果；（田）由題意可得 X可取3800, 3500, 3200, 500, 200, 2800,根據相互獨立事件同時發生的概率計算出概率，可得分布列及期望試題解析：（I ）記每臺儀器不能

15、出廠為事件A ,則P A 13 14520，所以每臺儀器能出廠的概率1工201920（n）生產一臺儀器利潤為 1600的概率p(m) X 可取 3800,3500,3200,500,200,2800.P X 3800P X 3200916525-T133P X 3500 C25 4 10P X 500 C2 31 -44 54015021 11P X 28004 5400X的分布列為:X3800350032005002002800P9163101253401501400931311E X 3800 3500 3200500 20028003350161025405040019.在四棱錐P AB

16、CD中，底面ABCD為平行四邊形， AB 3, AD 272 , ABC 45 , P點在底面 ABCD內的射影 E在線段 AB上，且PE 2, BE 2EA, F為AD的中點，M在線段CD上，且CM CD.（I）當2時，證明：平面PFM 平面PAB ；3（n）當平面PAM與平面ABCD所成的二面角的正弦值為 漢5時，求四棱5錐P ABCM的體積.【答案】（I）見解析；（n）8.3【解析】試題分析：（I ）接EC ,作AN/EC交CD于點N ,則四邊形AECN為平行四邊形，在BCE中由余弦定理得EC 2,由勾股定理可得BE EC,在AND中，F , M分別是AD , DN的中點，結合中位線及平

17、行的傳遞性可得FM AB ,故可得FM 平面PAB ,由線面平行判定定理可得結論；（II）以E為坐標原點，EB , EC, EP所在直線分別為x軸，y軸, z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量與二面角平面角之間關系可得： 1,由棱錐的體積公式可得結果.試題解析：(I )證明：連接EC，作AN/EC交CD于點N ,則四邊形AECN 為平行四邊形，CN AE 1,在 BCE 中，BE 2, BC 2員ABC 45 ,由余弦定理得EC 2.所以BE2 EC2 BC2,從而有BE EC.在AND中，F , M分別是AD , DN的中點，則 FM /AN , FM / /EC ,因為AB EC

18、 ,所以FM AB .由PE 平面ABCD , FM 平面ABCD ,得 PE FM ,又 FM AB , PE AB E ,得FM 平面PAB ,又FM 平面PFM ,所以平面PFM 平面PAB.(II)以E為坐標原點， EB, EC, EP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A 1,0,0 , P 0,0,2 , C 0,2,0 , uuruuur uuuruurD 3,2,0 , AP 1,0,2 , AM AC CD 1 3 ,2,0 .平面ABCD的一個法向量為mn 0,0,1 設平面PAM的法向量為n x,y,z ,uuu rx 2z 0,r1, 1AM

19、% 0,得令 x 2,得 自 2,3M3 x 2y 0,由題意可得,cos n, nImiinl1 J55 31 25解得 1, 3所以四棱錐P ABCM的體積Vp abcm 1s梯形abcm PE 8.33AB AC ,且BC的中20.已知 ABC的頂點A 1,0，點B在x軸上移動, 點在y軸上.(I)求C點的軌跡的方程；(n)已知軌跡 上的不同兩點M , N與P1,2的連線的斜率之和為2, 求證：直線MN過定點.【答案】(I ) y2 4x ( y 0) ; (II)見解析.【解析】試題分析：(I)設Cx,y (y 0),將題意與兩點間距離公式相結合可得結論；(II)設直線MN的方程為x

20、my n, M xi,yi , N x22 , 聯立直線與拋物線的方程結合韋達定理可得iy4n,由兩點間斜率計算公式及斜率之和為2可得乂丫2 4,故可得n的值，即可得結果.試題解析：(I)設Cx,y (y 0),因為B在x軸上且BC中點在y軸上， 所以 B x,0 ,由 |AB |AC ,得 x 1 2 x 1 2 y2 ,化簡得y2 4x ,所以C點的軌跡 的方程為y2 4x ( y 0).(n)設直線 MN 的方程為 x my n, M x，yi , N x2,y2 , y 4x由 V 得 y 4my 4n 0 , x my n,所以 y1y24n,k _MP所以4yi24y2 2又因為y

21、1y24n ,所以n 1 , 所以直線MN過定點 1,0 點睛：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要 認真審題，注意韋達定理的合理運用； 在該題中利用直譯法求的軌跡方程,直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，聯立直線與拋物線的方程構成方程組，結合韋達定理及整體代換思想代入kMP kNP 2,可得y1y24n,即n的值.21 . 已知函數f x a lnx 11的圖象與x軸相切，Xg x b 1 log bX 22(I )求證:x 1;x(n)若 1 x , b ,求證：0 g x【答案】（i）見解析；（n）見解析%,0 ，【解析】試題分析：（I）對函數求導，設f x的圖

22、象與x軸相交于點由題意可得在該點處導數值為0,函數值為0,構造方程組可得a的值，將題意轉化為lnx x 1 ,設h x lnx x 1,利用導數判斷其單調性求出最大值即可；（n ）構造函數h x 立，對其求導結合（I ）可得h x的單調 lnx性，從而有h x2 h b ,化簡整理可得g x 0,運用換底公式及（I ）中的不等式lnx x 1可得g x 史U 1 ,再次運用lnb 1 1可得 2 lnbb結論.試題解析：（I） f' xa工，設fx的圖象與x軸相交于點xo,O ,x xf x0則0f' X00,0,即lnx0x01 一 x01-2 x00,0,解得a x0 1

23、.所以 f x Inx 1 , x2 x 1f x 等價于Inx x 1 .x1設 h x Inx x 1,貝U h' x - 1 , x當0x1時，h' x 0, h x單調遞增;當x 1時，h' x 0, h x單調遞減，所以h x h 10 ,口 LiIx 1 2即 lnx x 1,(),所以 f x .xlnx 1 1(n)設 hx U(x 1),貝(Jh'x 2-Inxln2x由(I )可知，當x 1時，lnx 1 1 0, x從而有h' x 0,所以h x單調遞增，又1 x而，所以1 x2 b ,從而有h x2x 1 b 1h b ,即2,1nx 1nb所以x2 12b 1 Inx b 1 logbx,即 g xInb0,logbx。2b 1 InxInbx2 12b 1應21nbx2 1221nbb 1 1Inb又Inb1b 11 ,所以 b,bInb一 cx2又1 x b ,所以g x “b 1 2綜上可知，0 g x222.選修4-4 :坐標系與參數方程x在直角坐標系xOy