1、廣東省廣州市南沙區高一（下）期末數學試卷、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知aC R, bCR,且a>b,則下列不等式中一定成立的是（B.a2>b21_C. (2)a< (D. lg (a b) > 02.角a的終邊上有一點（1 ,2),則 sin a=()B.C.D.3.cos (一16幾的值為（返B-2C.D.4.tan a=2,sinG- -sinCL fees CLB.C.D.ABC中，AB=AC=BC=2 ,貝UABBC=5.如圖，在1B. - 1C.D. - 26.設平面向量b=

2、( - 2, y),若七/二，則|23一電等于（B. 5C.D.7.在等差數列an中，a3+a8=8,貝 U Sio=()A. 20B. 40C.60D. 808.為了得到函數 y=cos （ d x+ 一彳）的圖象，只要把 y=cos的圖象上所有的點（）7T共33A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度9.若關于x的方程x2+ax+a2 - a - 2=0 的 根大于 1,另一根小于1,則a的取值范圍為（0<a< 1B. a>- 1C. T v av 1D.a< 110.已知cos產1213Tt, 2 兀)，則 COS

3、( a-）的值為（B.7V23T1W2C. 26D.CO>0, - Tt< （f）<兀）一個周期的圖象（如圖）,則這個函數的一個解y2sin2A.11.已知函數y=Asin析式為（B.y=2sin(3x12 .在實數集R中定義一種運算*'”,對任意a, bC(1)對任意 aC R, a*0=a；(2)對任意a, bC R,a*b=ab+(a*0) + (b*0).則函數 f (x) = (ex) *的最小值為（A. 2eB. 3二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分y=2sin (3s -)C.ER, a*b為唯一確定的實數,C. 620分.13.不等式-x2-

4、2x+3>0的解集為 ;（用區間表示）D.ySsin (3工 -)bl-且具有性質:D. 814.已知 cos a+sin a=,貝U sin2 a=15 .已知x, y為正數，且 x+y=20,貝U m=lgx+lgy的最大值為 16 .如圖，設A, B兩點在河的兩岸，一測量者在 A的同側，在A所在的河岸邊選定一點 C,測出AC的 距離為50m, Z ACB=45 °, / CAB=105 °后，則 A, B兩點的距離為 m.三、解答題：本大題共 6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.一In-:一-KjP-417 .已知向量 汽b滿足|引二3,

5、 | b| 32, (3 + I.-)(a2匕)=4.(1)求b；*求 d期.“F . 2 ,18 .已知函數 f (x) = sinxcosx sin x+ n .(1)求f (x)的最小正周期值；(2)求f (x)的單調遞增區間；兀(3)求f(x)在0,二廠上的最值及取最值時 x的值.19 .已知數列an的前n項和為，且 Sn=n2+n,(1)求數列an的通項公式；(2)令bn=3an,求證：數列bn是等比數列.20 .某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多 少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況(如資金、勞動力)確定產品的月供應量，以使

6、得總利潤達到最大.已知對這兩種產品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩種產品的有關數據如表：試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？資金單位產品所需資金(百元)空調機洗衣機月資金供應量(百兀)成本3020300勞動力(工資)510110單位利潤6821 .在4ABC中，內角A, B, C所對的邊分別是 a, b, c,已知a=2, c=, cosA=- 返 .4(1)求sinC和b的值；7V(2)求 cos (2A+ 3 )的值.一22 .已知正數數列an的前n項和為Sn,點P (an, Sn)在函數f (x) = ? x + x x上，已知b

7、i=1,*、3bn-2bn 1=0 (n>2, nC N ),(1)求數列an的通項公式；(2)若Cn=anbn,求數列 cn的前n項和Tn;(3)是否存在整數 m, M ,使得mv Tn< m對任意正整數n恒成立，且 M-m=9,說明理由.【分析】由條件利用任意角的三角函數的定義，求得【解答】 解：由題意可得 x=1, y= - 2,二百，sina=r=-V5=-H,sin a的值.【點評】 本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題.磔3 ）的值為（B.D.廣東省廣州市南沙區高一（下）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，滿分60分.在每

8、小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的.1 .已知aC R, bCR,且a>b,則下列不等式中一定成立的是（）A. b>ib. a .角a的終邊上有一點（1 , - 2）,則sin a=（>b2c.（2）av （2） b d. 1g （a-b） >0【分析】根據不等式的基本性質，結合指數函數和對數函數的圖象和性質，分別判斷四個答案中的不等式 是否恒成立，可得結論.a【解答】解：當a> 0> b時，卜<0,故A錯誤； 當0 > a> b時，a2 v b2,故B錯誤；當a>b時，（？）a< （ 2） b一定成立，故C正確；

9、當 b+1 >a>b 時，1g （a b） v 0,故 D 錯誤； 故選：C.【點評】 本題考查的知識點是不等式的基本性質，指數函數和對數函數的圖象和性質，難度中檔.【分析】直接根據誘導公式轉化求解計算即可.【解答】解：cos （-16元 16兀)=cos 3=cos (6 兀一)=cos 3 =-/故選：D.【點評】本題考查誘導公式的應用： 求值.此類題一般依照 負角化正角，大角化小角”的順序進行角的轉化.sind -4 .若 tan“=2,貝U 對門口+8£口 =（）A.aB. 3C, 3D. 4【分析】原式分子分母除以 cos a,利用同角三角函數間基本關系化簡，將

10、 tan a的值代入計算即可求出值.【解答】 解：tana=2,【點評】此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵.5 .如圖，在 ABC 中，AB=AC=BC=2 ,則 AB ' K=()A. 1B. - 1C. 2D. - 2【分析】利用向量的數量積運算即可得出.元,證 瓦|辰leg（冗-4）乂2X（貨吟）【解答】解：=$= =-2.【點評】 本題考查了向量的數量積運算，注意向量的夾角，屬于基礎題.6 .設平面向量白=（1, 2）, b=（ 2, y）,若回/匕，則|23一電等于（）A. 4B. 5C,D, 4B-»【分析】利用向量共線定理即可得

11、出y,從而計算出24-b的坐標，利用向量模的計算公式即可得出.【解答】 解：: »/ "2X2y=0,解得y=-4.至2 (1, 2) - (- 2, - 4) = (4, 8),I2 - g=vN + /=4近故選D.【點評】熟練掌握向量共線定理、向量模的計算公式是解題的關鍵.7 .在等差數列an中，a3+a8=8,則S10=()A. 20B. 40C. 60D. 80【分析】由已知利用等差數列的通項公式和前n項和公式求解.【解答】解：二.在等差數列an中，a3+a8=8, .-80=3'回 + 0加=與 (% + %)=5X8=40.故選：B.【點評】本題考查等

12、差數列的前 10項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合 理運用.1_ K的圖象，只要把 y=cos2的圖象上所有的點(8 .為了得到函數 y=cos x+ 兀A .向左平移 §個單位長度B.向右平移個單位長度2兀C.向左平移 3個單位長度2JTD.向右平移 3個單位長度【分析】利用函數y=Asin (亦+力的圖象變換規律，得出結論.1 兀 12KHI I I- I 12兀 1 支y=cosZ (x+ 3 ) =cos (2 x+ )【解答】 解：由于cos ( 2x+ 3 ) =cos? (x+ 3 ),故把y=cos 2'的圖象上所有的點向左平移3個

13、單位長度，可得函數的圖象，故選：C.【點評】本題主要考查函數 y=Asin (cox+(f)的圖象變換規律，屬于基礎題.9.若關于x的方程x2+ax+a2-a-2=0的一根大于1,另一根小于1,則a的取值范圍為()A . 0vav1B . a>-1C. Tvav1D. a< 1【分析】利用一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質，求得a的取值范圍.【解答】 解：二關于x的方程x2+ax+a2a 2=0的一根大于1,另一根小于1,令 f (x) =x2+ax+a2- a - 2,貝U f (1) =1 +a+a2 - a- 2=a2 - 1 < 0,求得一1vav 1

14、,故選：C.【點評】本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質，屬于基礎題.12IT10.已知cos爐。3純A. 13B.兀，2兀），貝U cos （77213D.V226【分析】由已知利用同角三角函數基本關系式可求sin a的值，利用兩角差的余弦函數公式即可計算求值得解.12【解答】解：cos a=71, 2 兀),sin a=COS (a )=COS aCOS4絲乂+ +sin asin 4 =132-13【點評】本題主要考查了同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用,考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.11.已知函數y=Asin （ w

15、x+（f） （A>0, w>0,-兀 產 兀）一個周期的圖象（如圖）析式為（）,則這個函數的一個解y=2sin(37C.匕D.y=2sin(3s（a）x+?） （A>0, W> 0, - TtW ?< Tt）的圖象，我們分別求出函數的最大值,最小值及周期，進而求出 A值和3值，將最大值點代入結合正弦函數的性質求出4值，即可得到函數的解析式.【解答】 解：由函數的圖象可得函數的最大值為2,最小值為-2,結合A>0,可得A=22TT又,函數的圖象過（,2）點和（2,0）點，則T= 3,結合3>0,可得3=35= -Y3,則函數的解析式為 y=2sin （3

16、x+?） ir,2）代入得+（j）=7C了+2k河7T當 k=0 時，(j)= - 2jr山y=2sin(3x故函數的解析式為2 '故選D【點評】本題考查的知識點是由函數 y=Asin ( cox+?)的圖象確定函數的解析式，其中根據函數的圖象分析 出函數的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊點等是解答本題的關鍵.12 .在實數集R中定義一種運算*'”，對任意a, bCR, a*b為唯一確定的實數，且具有性質: (1)對任意 aC R, a*0=a；(2)對任意 a, bC R, a*b=ab+ (a*0) + (b*0).1的最小值為()B. 3C. 6D. 81 1=(e

17、x) *eE=i+ex+ex ,利用基本不等式，即可得出結論. 1 1(x) = (ex) *ex =i+ex+eK > 1 +2=3,1=(ex) * 口”的最小值為3.則函數f (x) = (ex) * 已其【分析】根據性質，f (x)A. 2【解答】解：根據性質，f1當且僅當ex=亡時，f (x) 故選：B.【點評】 本題考查新定義，考查基本不等式的運用，正確理解新定義是關鍵.二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13 .不等式-x22x+3>0的解集為(一3, 1);(用區間表示)【分析】把不等式化為(x+3) (x-1) <0,得出不等式對應方程的實

18、數根，寫出解集即可.【解答】 解：不等式x22x+3>0可化為x2+2x - 3< 0,即(x+3) (x-1) <0,解得-3<x< 1,所以該不等式的解集為(-3, 1).故答案為：(-3,1).【點評】 本題考查了一元二次不等式的解法與應用問題，是基礎題目.昌 同14 .已知 cosa+sina=2,貝U sin2爐 -4.【分析】把所給的等式平方，利用同角三角函數的基本關系，二倍角的正弦公式求得sin2 a的值.【解答】 解：cosa+sin o= 2 ,平方可得 1+sin2a=q ,貝U sin2a=-4 ,故答案為：-五.【點評】 本題主要考查同角三

19、角函數的基本關系，二倍角的正弦公式的應用，屬于基礎題.15 .已知x, y為正數，且 x+y=20,貝U m=lgx+lgy的最大值為2 .【分析】由基本不等式：a+b>27ab (a, b>0, a=b取得等號)，可得xy的最大值為100,再由對數的運算 性質，可得m的最大值.【解答】 解：x, y為正數，且x+y=20 ,可得 x+y>2ME,即有 220,即 xyw 100,當且僅當x=y=10 ,取得等號.則 m=lgx+lgy=lg (xy) & lg100=2 ,即有m的最大值為2.故答案為：2.【點評】 本題考查最值的求法，注意運用基本不等式和對數的運算

20、性質，考查運算能力，屬于基礎題.16 .如圖，設A, B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在A所在的河岸邊選定一點 C,測出AC的距離為50m, / ACB=45 °, / CAB=105 °后，則A, B兩點的距離為5。6 m.【分析】先利用三角形的內角和求出/ B=30 °,再利用正弦定理，即可得出結論.【解答】 解：在 ABC 中，.一/ ACB=45 °, / CAB=105 ° ./ B=30°AC _ AB由正弦定理可得：wiri/B sinZACBMX 返 V2ACX sinZACB 2-=50 m故答案為：50 :【

21、點評】 本題考查解三角形的實際應用，解題的關鍵是利用正弦定理，求三角形的邊，屬于基礎題.三、解答題：本大題共 6小題，滿分70分，解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟17 .已知向量 a, b滿足 | 列=3, | b| =V2, (a + b)(君 2b)=4.(1)求日b；(2)求 | a- b| .> '* _ " > .- . -S! . 4【分析】(1)由條件進行數量積的運算便可得出ta + b)*(a - 2b)=9 - a,b - 4= 4 ,從而求出a，b的值;(2)根據上面求得的鼻玉及條件可求出I3的值，從而得出 - E 的值.【解答】解：(1

22、)根據條件，(a+bXa _ 2b)=a2 - a-b -'=9.用-&=4;ab=l；1 日11-2 E- b I 二豆-2a-b+b=9 - 2+2=9;IEY 圖.【點評】考查向量數量積的運算，以及要求I名-E I而求I； 一工I?的方法.62 -18 .已知函數 f (x) = sinxcosx sin x+工.(1)求f (x)的最小正周期值；(2)求f (x)的單調遞增區間；7T(3)求f(x)在0, 2上的最值及取最值時 x的值.【分析】(1)利用二倍角的正弦和余弦公式，及兩角和的正弦公式，化簡函數 f (x),再由正弦函數的周期性得答案；(2)由正弦函數的單調性

23、得答案；.7U 7U 行ITT(3)由xC 0, 2 ,得到 6c &,8,再求f (x)在區間0, 2上的最大值和最小值.(2si mcosK)-h1-(l - 2si k)<3工逅【解答】 解：(1) f (x) = sinxcosx sin2x+? = ?-./jTC兀 小 冗*-SLn2xH-Ycos2x sin2zcos-+cos2xsin- sinC2x+-)1. f (x)由,(kCZ),3kn<x<3 k江36,(kJ), .f (x)的單調遞增區間為:，kCZ;(3) x 0,兀,T,兀2K故當6 = 2時，即X-8時，f (x)有最大值，最大值為

24、1 ,故當兀 ET=7一時，即2時，f (x)有最小值，最小值為-1.【點評】 本題考查三角函數的二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查正弦函數的周期性和單調性，屬于中 檔題.19 .已知數列an的前n項和為,且 Sn=n2+n,(1)求數列an的通項公式；(2)令bn=3an,求證：數列bn是等比數列.【分析】(1)利用遞推關系即可得出.(2)利用等比數列的定義即可證明.【解答】(1)解：: Sn=n2+n,當 n=1 時，a1=S1=2；當 n> 1 時，an=Sn - Sn 1=n2+n - ( nT ) 2+ (n T) =2n ,綜上所述，數列an的通項公式為an=2n .(2)證

25、明：由(1)得 bn=3an=32n=9n.h a ii0n = 9=9 為常數.則數列 bn是以9為首項，9為公比的等比數列.【點評】本題考查了等比數列的定義、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.20 .某公司計劃在今年內同時出售變頻空調機和智能洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多 少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況(如資金、勞動力)確定產品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調查，得到關于這兩種產品的有關數據如表：試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？資金單位產品所需資金（百元）

26、空調機洗衣機月資金供應量（百兀）成本3020300勞動力（工資）510110單位利潤68【分析】利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用.本題主要考查找出約束條 件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解.【解答】 解：設空調機、洗衣機的月供應量分別是x、y臺，總利潤是P,則P=6x+8y,由題意有 30x+20yW 300, 5x+10ywil0, x>0, y>0, x、y均為整數.3_ 1_由圖知直線y= - 4x+*P過M （4, 9）時，縱截距最大.這時P也取最大值Pmax=6 X 4+8 X 9=96 （百元）.故當月供應量為

27、空調機 4臺，洗衣機9臺時，可獲得最大利潤 9600元.【點評】用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將 題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出 目標函數.然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解.V2 返21 .在4ABC中，內角 A, B, C所對的邊分別是 a, b, c,已知a=2, c= , cosA= - & .（1）求sinC和b的值；7T（2）求 cos （2A+ 5 ）的值.【分析】（1） ABC中，利用同角三角函數的基本關系求出sinA,再由正

28、弦定理求出 sinC,再由余弦定理求得b=1 .（2）利用二倍角公式求得 cos2A的值，由此求得 sin2A ,再由兩角和的余弦公式求出 cos （2A + 3 ）兀71=cos2Acos 3 sin2Asin 3 的值.返 逗【解答】 解：（1） AABC中，由cosA= - 4可得sinA= 4 .Vs 且再由儲，二Ft，以及 a=2、c= ,可得 sinC= 4 .由 a2=b2+c2 2bccosA 可得 b2+b - 2=0,解得 b=1 .V2色1豈(2)由 cosA= - 4、sinA= 4 可得 cos2A=2cos2A 1= 4 , sin2A=2sinAcosA=兀兀 -3+21故 cos (2A+ 3 ) =cos2Acos sin2Asin = =【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，二倍角公式以及兩角和的余弦公式，同角三角函數的 基本關系的應用，屬于中檔題.1_ 1_22 .已知正數數列an的前n項和為Sn,點P (an, Sn)在函數f (x) =2