1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程（六年級(jí) ）本教程共30 講牛吃草問題“一堆草可供 10 頭牛吃 3 天，這堆草可供6 頭牛吃幾天？”這道題太簡(jiǎn)單了，同學(xué)們一下就可求出：3X10+ 6=5 （天）。如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長(zhǎng)的草地”，問題就不那么簡(jiǎn)單了，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是牛吃草問題。例 1 牧場(chǎng)上一片青草，每天牧草都勻速生長(zhǎng)。這片牧草可供10 頭牛吃 20 天，或者可供15 頭牛吃 10 天。問：可供25 頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場(chǎng)上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化，我們要想辦法從變化當(dāng)中找到不變的量。總草量可以分為牧場(chǎng)上原有

2、的草和新生長(zhǎng)出來的草兩部分。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以這片草地每天新長(zhǎng)出的草的數(shù)量相同，即每天新長(zhǎng)出的草是不變的。下面， 就要設(shè)法計(jì)算出原有的草量和每天新長(zhǎng)出的草量這兩個(gè)不變量。設(shè) 1 頭牛一天吃的草為1 份。那么，10 頭牛20 天吃200 份，草被吃完； 15頭牛 10天吃 150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150 份，前者是原有的草加20 天新長(zhǎng)出的草，后者是原有的草加 10 天新長(zhǎng)出的草。200 150= 50 （份）,2010= 10 （天）,說明牧場(chǎng)10 天長(zhǎng)草 50 份， 1 天長(zhǎng)草 5 份。也就是說，5 頭牛專吃

3、新長(zhǎng)出來的草剛好吃完，5 頭牛以外的牛吃的草就是牧場(chǎng)上原有的草。由此得出，牧場(chǎng)上原有草（10 5） X 20 =100 （份）或（15 5） X10= 100 （份）。現(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100 份，每天新長(zhǎng)出草5 份。當(dāng)有25 頭牛時(shí)，其中的5頭專吃新長(zhǎng)出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100+ 20 = 5 （天）。所以，這片草地可供25 頭牛吃 5 天。在例 1 的解法中要注意三點(diǎn)：（1）每天新長(zhǎng)出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的 差及吃的天數(shù)的差計(jì)算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長(zhǎng)出 的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計(jì)算出原

4、有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有 的草，根據(jù)原有的草量可以計(jì)算出能吃幾天。例2 一個(gè)水池裝一個(gè)進(jìn)水管和三個(gè)同樣的出水管。先打開進(jìn)水管，等水池存了一些水后，再打開出水管。如果同時(shí)打開 2個(gè)出水管，那么8 分鐘后水池空；如果同時(shí)打開3個(gè)出水管，那么5分鐘后水池空。那么出 水管比進(jìn)水管晚開多少分鐘？分析：雖然表面上沒有“牛吃草”，但因?yàn)榭偟乃吭诰鶆蜃兓八?相當(dāng)于“草”，進(jìn)水管進(jìn)的水相當(dāng)于新長(zhǎng)出的草，出水管排的水相當(dāng)于牛 在吃草，所以也是牛吃草問題，解法自然也與例1相似。出水管所排出的水可以分為兩部分：一部分是出水管打開之前原有的 水量，另一部分是開始排水

5、至排空這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)水管放進(jìn)的水。因?yàn)樵械乃渴遣蛔兊模钥梢詮谋容^兩次排水所用的時(shí)間及排水量入手解決 問題。設(shè)出水管每分鐘排出水池的水為1份，則2個(gè)出水管8分鐘所排的水 是2X8= 16 （份），3個(gè)出水管5分鐘所排的水是3X5=15 （份），這 兩次排出的水量都包括原有水量和從開始排水至排空這段時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水 量。兩者相減就是在8-5=3 （分）內(nèi)所放進(jìn)的水量，所以每分鐘的進(jìn)水量 是C16-15）= 1 （份）.假設(shè)讓個(gè)出水管專門排進(jìn)水管新進(jìn)的水，兩相抵消，其余的出水管排原有的水，可以求出原有水的水量為（2CW或（3-乂5理（:份）口解：設(shè)出水管每分鐘排出的水為1份。每分鐘進(jìn)水量（2X8-

6、3X5）+（8-5）= | （份）進(jìn)水管提前開了=（分）o55答：出水管比進(jìn)水管晚開40分鐘。例3由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定的 速度在減少。已知某塊草地上的草可供 20頭牛吃5天,或可供15頭牛吃 6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還 在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原 有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃 90份，100-90=10 （份），說明寒冷使牧場(chǎng)1天減少青草10份，也就是 說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供 20頭

7、牛吃5天”， 再加上“寒冷”代表的10頭牛同時(shí)在吃草，所以牧場(chǎng)原有草（20+10） X 5=150 （份）。由150+10= 15知，牧場(chǎng)原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10 頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。例4自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶 梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男 孩用了 5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了 6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少 級(jí)？分析：與例3比較，“總的草量”變成了 “扶梯的梯級(jí)總數(shù)”，“草” 變成了 “梯級(jí)”，“牛”變成了 “速度”，也可以看成牛吃草問題。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另

8、一部 分是自動(dòng)扶梯的速度。男孩5分鐘走了 20X 5= 100 （級(jí)），女孩6分鐘 走了 15X 6=90 （級(jí)），女孩比男孩少走了 10090=10 （級(jí)），多用了 6 5=1 （分），說明電梯1分鐘走10級(jí)。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上 樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10） X 5=150 （級(jí)）。解：自動(dòng)扶梯每分鐘走（20X5- 15X6） + （65） =10 （級(jí)），自動(dòng)扶梯共有（20+ 10） X 5= 150 （級(jí)）。答：扶梯共有150 級(jí)。例 5 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。 從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開 4

9、個(gè)檢票口需30 分鐘，同時(shí)開 5 個(gè)檢票口需20 分鐘。如果同時(shí)打開7 個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化， “旅客” 相當(dāng)于 “草”， “檢票口”相當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè) 1 個(gè)檢票口1 分鐘檢票的人數(shù)為1 份。因?yàn)? 個(gè)檢票口30 分鐘通過（4X30）份，5個(gè)檢票口 20分鐘通過（5X20）份，說明在（30-20） 分鐘內(nèi)新來旅客（4X30-5X20）份，所以每分鐘新來旅客（4X30-5 X20） + （ 30-20） =2 （份）。假設(shè)讓 2 個(gè)檢票

10、口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2） X 30=60 （份）或（ 5-2） X 20=60 （份）。同時(shí)打開7 個(gè)檢票口時(shí)，讓 2 個(gè)檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60+ （7-2） =12 （分）。例 6 有三塊草地，面積分別為5， 6 和 8 公頃。草地上的草一樣厚，而且長(zhǎng)得一樣快。第一塊草地可供11 頭牛吃 10 天，第二塊草地可供12頭牛吃 14 天。問：第三塊草地可供19 頭牛吃多少天？分析與解：例 1 是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。5, 6,

11、 8 =120。因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120 +5 = 24,所以120公頃 草地可供11X24 = 264 （頭）牛吃10天。因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120+ 6 = 20,所以120公頃草 地可供12X20=240 （頭）牛吃14天。120+ 8=15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X 15=285 （頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長(zhǎng)的草地，可供 264 頭牛吃 10 天，或供240 頭牛吃 14天，那么可供285 頭牛吃幾天？”這與例 1 完全一樣。設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為1 份。 每天新長(zhǎng)出的草有(240X

12、 14 264X10) + (1410) =180 (份)。草地原有草(264 180) X 10= 840 (份)。可供285頭牛吃840+ (285180) =8 (天)。所以，第三塊草地可供19 頭牛吃 8 天。練習(xí) 2627 頭牛吃 6 周或17 頭牛吃 30天，4 頭，余下的牛又1. 一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供供 23 頭牛吃 9 周。那么，可供21 頭牛吃幾周？2. 一牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供或供19 頭牛吃24 天。現(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣掉吃了2 天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3. 經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100 億人生活100 年，或可供80

13、 億人生活 300 年。 假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4. 有一水池，池底有泉水不斷涌出。用 10 部抽水機(jī)20 時(shí)可以把水抽干；用 15 部同樣的抽水機(jī)，10時(shí)可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？5. 某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時(shí)開放3 個(gè)檢票口，那么40 分鐘檢票口前的隊(duì)伍恰好消失；如果同時(shí)開放4 個(gè)檢票口，那么25 分鐘隊(duì)伍恰好消失。如果同時(shí)開放8個(gè)檢票口，那么隊(duì)伍多少分鐘恰好消失？6. 兩只蝸牛由于耐不住陽(yáng)光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的

14、速度是不同的，一只每個(gè)白天爬20 分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5 個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6 個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？7. 兩位頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在20 秒鐘里，男孩可走 27 級(jí)梯級(jí)， 女孩可走24 級(jí)梯級(jí)， 結(jié)果男孩走了2 分鐘到達(dá)另一端，女孩走了 3 分鐘到達(dá)另一端。問：該扶梯共多少級(jí)？答案與提示練習(xí) 26周。解：設(shè) 1 頭牛 1 周吃的草為1 份。牧場(chǎng)每周新長(zhǎng)草（23X9-27X6） + （ 9-6） =15 （份）。草地原有草（27-15） X 6=72 （份），可供21頭牛吃72+ （21-

15、15） =12（周）。頭。解：設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)草（17X 30-19X 24） + （30-24） =9 （份）。草地原有草（179） X 30=240 （份）。這群牛8天應(yīng)吃掉草240+9X8 + 4X2 = 320 （份），所以這群牛有320+ 8=40 （頭）。億。解：設(shè) 1 億人生活1 年的資源為1 份。地球每年新生成資源（80X300-100X 100） + （ 300-100） =70 （份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時(shí)，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活70 億人。時(shí)。解： 設(shè) 1 部抽水機(jī)1 時(shí)抽出的水為1 份。 水池中每小時(shí)涌出泉水（ 10X20-15X10） + （ 20-10） =5 （份）。水池中原有水（10-5）X20=100份）。25部抽水機(jī)抽干需100+ （25-5