1、15 定積分1.5.1 曲邊梯形的面積【教學(xué)目標(biāo)】1了解微積分在幾何上的兩個基本問題，學(xué)會求曲邊梯形的面積的一般方法；2通過求曲邊梯形的面積，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的逼近思想，引導(dǎo)學(xué)生在“分割、以直代曲、作和、逼近”的具體操作過程中，突出“局部以曲代直”的思想本質(zhì)【教學(xué)重點】正確理解“分割、以直代曲、作和、逼近”的求曲邊梯形的面積方法【教學(xué)難點】對“分割、以直代曲、作和、逼近”的求曲邊梯形的面積方法的理解【教學(xué)過程】一、問題情境如何求直線x = 0，x = 1，y = 0和曲線y = x2 圍成的圖形（曲邊三角形）的面積？二、學(xué)生活動三、建構(gòu)數(shù)學(xué)曲邊梯形的面積。分割把區(qū)間0，1等分成 n個小區(qū)間：0，

2、 ， ， ， ， ， ， ， ， ，每個小區(qū)間的長度是，過各區(qū)間頂點作 x 軸的垂線，從而得到 n 個小曲邊梯形，它們的面積分別記作S1，S2，Si，Sn。以直代曲對區(qū)間 ， 上的小曲邊梯形，以區(qū)間的右端點 對應(yīng)的函數(shù)值為一邊的長，以 為寬的長的小矩形面積近似地代替小曲邊梯形的面積，即Si 。求和因為每個小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形的面積的近似值，所以n個小矩形面積這和就是所要求的曲邊三角形面積S的近似值，即S =S1 +S2 + +Si + +Sn =Si = = 12 +22 + + n2。逼近當(dāng)分割無限變細(xì)，即 0（亦即時），12 +22 + + n2= S (當(dāng)n +時)。而當(dāng)n +

3、時， 。由此可見，S = 。【歸納】計算曲邊梯形面積的一般思路：分割化整為零；以曲代直以不變代變；求和積零為整；逼近從近似到精確。一般地，對于一個給定區(qū)間a，b上的函數(shù) y = f (x) (f (x)>0)，若將區(qū)間平均分成 n 個小區(qū)間，每個小區(qū)間的左(或右端點或區(qū)間的中點)設(shè)為 xi ，區(qū)間長度為 ，則曲邊梯形的面積可近似地表示為f(x1)x +f(x2)x + + f(xn)x = f(xi)x。問題在求曲邊梯形的面積時，取的函數(shù)值是區(qū)間的左端點，或右端點或區(qū)間的中點，得到的結(jié)果是否相同？如果對區(qū)間沒有等分，得到的結(jié)果是否相同？四、例題選講【例】求半徑為R，高為 h 的圓錐的體積

4、。分割：將圓錐體分成 n個較薄的等高的圓臺（最上一個實際上是圓錐）。以曲代直： 把圓錐分成 n 個等高的部分，每個部分都近似看成一個圓柱體，則每部分的高均為 ，自上而下的半徑依次為 ， ， ，第一個圓柱體體積為 ；第二個圓柱體體積為 ； 第三個圓柱體體積為 ； 第 n1個圓柱體體積為 ； 第 n 個圓柱體體積為 。 作和： 將這些圓柱體的體積加起來，則Vi = 12 +22 + + n2 · 。 整理可得： = p R2 h · 。 逼近 Vi 為體實積（圓錐體的體積，記為V錐）的過剩近似值，如果把整個圓錐體分得極為細(xì)微，分得愈細(xì)，則空隙愈小，Vi 就愈接近實積，則當(dāng) n 趨向于無窮大時，則近似值轉(zhuǎn)化為精確值。 Vi =p R2 h · p R2 h （當(dāng)n+時）。 V錐 = p R2 h。五、課堂練習(xí) P46 練習(xí)1六、課后作業(yè)：1函數(shù) f (x) = e x在區(qū)間 ， 上（ ） Af (x) 的值變化很小 Bf (x) 的值變化很大Cf (x) 的值沒有變化 D當(dāng)n很大時，f (x) 的值變化很小2當(dāng)n很大時，f (x) = x2 +1在 ， 上的值可以用（ ）近似地代替 Af () Bf ()Cf () Df (0) 3根據(jù)求曲邊梯形的面積的一般步驟計算由直線 x =0，x =1，y= 2和