1、 專題十 概率與統計 2013.4【真題感悟】1. （2012山東11）現有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同的取法種數為A 232 B 252 C 472 D 4842. （2012廣東）從個位數與十位數之和為奇數的兩位數種任取一個，其個位數為0的概率是A. B. C. D. 3. （2012遼寧）在長為12cm的線段AB上任取一點C.現作一矩形，領邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為(A) (B) (C) (D) 4. （2012安徽）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5

2、次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則 甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數 甲的成績的中位數等于乙的成績的中位數 甲的成績的方差小于乙的成績的方差 甲的成績的極差小于乙的成績的極差【考點梳理】1.排列組合二項式定理：（1）基本計數原理：分類加法計數原理：做一件事，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，則完成這件事情，共有N_種不同的方法分步乘法計數原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，完成第一個步驟有m1種不同的方法，完成第二個步驟有m2種不同的方法，完成第n個步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N_種

3、不同的方法兩個基本計數原理的區別與聯系：分類加法計數原理與分步乘法計數原理，都涉及完成一件事情的不同方法的種數它們的區別在于：分類加法計數原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任一種方法都可以獨立完成這件事；分步乘法計數原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成（2）排列與組合：排列與排列數：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號A表示.排列數公式： ；.規定0! = 1。另外，； ； ，。注意：相同

4、排列：如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.組合與組合數：從n個不同的元素中任取m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。從n個不同元素中，任意取出m(mn)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中，任意取出m個元素的組合數，用符號表示組合數公式：；.規定。組合數公式有兩種形式：乘積形式和階乘形式前者多用于數字計算，后者多用于證明恒等式及合并組合數簡化計算注意公式的逆用即由寫出.另外，；.排列與組合的區別與聯系：組合與順序無關，排列與順序有關；排列可以分成先選取(組合)后排列兩個步驟進行排列組合問題的解法：直接法；窮舉

5、法；優先法（特殊元素優先安排法或特殊位置優先安排法）；相鄰問題捆綁法；不相鄰問題(相間)插空法（含逐一插空法）；多排問題直排法；定序問題用除法（或（非）定序元素優先安排法）；隔板法（名額分配問題，有狹義（）和廣義（）之分（不定方程解（）的個數）；小集團問題先整體后局部；選排問題先選后排法；分組分配問題（先分組后分配的方法和意識要加強）；至多至少問題間接法（正難則反）； 特別的，含有可重元素的排列問題，遵循的原則是重復元素都一樣，只留位置無需排列：對含有相同元素求排列個數的方法是用除法：設重集S有k個不同元素，其中各元素的重復數為，且, 則S的排列個數等于。（3）二項式定理：二項式定理：(r0,

6、1,2，n)。二項展開式的通項為展開式中的第項為：.二項式系數的性質：（）對稱性：在二項展開式中與首未兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等；（）增減性與最大值：二項式系數C，當r<時，二項式系數是遞增的；當r>時，二項式系數是遞減的二項展開式的中間項二項式系數最大： 當n是偶數時，中間項是第項，它的二項式系數最大；當n是奇數時，中間項為兩項，即第項和第項，它們的二項式系數相等且同時取得最大值.（）各二項式系數的和：；。 三項式的處理方法：對三項或三項以上的展開問題，應根據式子的特點，轉化為二項式來解決，轉化的方法通常為集項、配方、因式分解，集項時要注意結合的合理性和簡捷性如何來求展

7、開式中含（其中且）的系數呢？方法一：把視為二項式，先找出含有的項;另一方面在中含有的項為，故在中含的項為.其系數為。方法二：把看成個式子個式子 相乘，其展開式中含的系數分三步：第一步，從個式子中選個式子，從每個式子中均選取得到，共有種選法；第二步，從剩下的個式子中選個式子，從每個式子中均選取得到，共有種選法；第三步，從剩下的（即）個式子中均選取得到，共有種選法；根據分步乘法計數原理，含的系數為。求系數最大的項或最小的項：一般來說為常數）在求系數最大的項或最小的項時，當時可直接根據二項式系數的性質（）求解；當時，一般采用解不等式組的系數或系數的絕對值）的辦法來求解。近似計算的處理方法：當a的絕對

8、值與1相比很小且n不大時，常用近似公式，因為這時展開式的后面部分很小，可以忽略不計。類似地，有但使用這兩個公式時應注意a的條件，以及對計算精確度的要求，據此可以應用其首尾幾項進行放縮。整除性：利用二項式定理解決整除問題時，基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可因此，一般將被除式化為含有相關除式的二項式，然后再展開，此時常用“配湊法”、“消去法”、添減項結合有關整除知識來處理賦值法：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只

9、需令x1即可；對形如(axby)n (a，bR)的式子求其展開式各項系數之和，只需令xy1即可若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)；奇數項系數之和為a0a2a4；偶數項系數之和為a1a3a5。2. 統計與統計案例：（1）隨機抽樣：簡單隨機抽樣：一般地，從元素個數為N的總體中_地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣最常用的簡單隨機抽樣的方法：_和_簡單隨機抽樣適用范圍是：總體中的個體性質相似，無明顯層次；總體容量較小，尤其是樣本容量較小。系統抽樣：假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本

10、，第一步，先將總體的N個個體_；第二步，確定_，對編號進行_，當(n是樣本容量)是整數時，取k；當(n是樣本容量)不是整數時，先用簡單隨機抽樣剔除-個個體，取k；第三步，在第1段用_確定第一個個體編號l (lk)；第四步，按照一定的規則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號_，再加k得到第3個個體編號_，依次進行下去，直到獲取整個樣本系統抽樣的適用范圍是：元素個數很多且均衡的總體；各個個體被抽到的機會均等。分層抽樣：當總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，常采用分層抽樣，將總體中各個個體按某種特征分成若干個_的幾部分，每一部分叫做_，在各層中按層在總體

11、中所占比例進行_抽樣或_抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣分層抽樣的應用范圍是：總體由差異明顯的幾部分組成的情況；分層后，在每一層抽樣時可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣（2）用樣本估計總體：在研究總體時，常用樣本的頻率分布去估計總體分布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確。頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示_，數據落在各小組內的頻率用_表示，各小長方形的面積總和等于_連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖隨著_的增加，作圖時所分的_增加，組距減小，相應的頻率分布折線圖就會越來越接近于一條光滑的曲線，統計中稱之為_，它能夠更加精細的反映出_作頻率分布直方圖的步驟如下

12、：()求極差；()確定組距和組數；()將數據分組；()列頻率分布表；()畫頻率分布直方圖頻率分布直方圖能很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀莖葉圖：當樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的效果較好，它不但可以保留原始信息，而且可以隨時記錄，給記錄和表示都帶來方便用樣本的數字特征估計總體的數字特征：()平均數：樣本數據的算術平均數，即_.()樣本方差、標準差：標準差s 標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小標準差、方差越大，數據的離散程度越大，標準差、方差越小，數據的離散程度越小，因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程

13、度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差通常用樣本方差估計總體方差，當樣本容量接近總體容量時，樣本方差很接近總體方差（3）兩個變量間的相關關系：有關概念：相關關系與函數關系不同函數關系中的兩個變量間是一種確定性關系相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系如果一個變量的值由小變大時另一個變量的值由小變大，這種相關稱為正相關；如果一個變量的值由小變大時另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關；如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系回歸方程：求回歸直線，使“離差平方和為最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得

14、回歸方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據的回歸方程，其中是待定參數從與的計算公式與 可以看出：()回歸直線必過點；()與符號相同。回歸分析：是對具有相關關系的兩個變量進行統計分析的一種常用方法，主要判斷特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式。比如線性回歸分析就是分析求出的回歸直線是否有意義，而判斷的依據就是|r|的大小：|r|1，并且|r|越接近1，線性相關程度越強；|r|越接近0，線性相關程度越弱。從散點圖來看，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義。線性相關檢驗的步驟如下： ()作統計假設：x與Y不具有線性相

15、關關系;()根據小概率0.05與n2在附表中查出r的一個臨界值；（）根據樣本相關系數計算公式求出r的值；（）作統計推斷，如果|r|>，表明有95%的把握認為x與Y之間具有線性相關關系； 如果|r|，我們沒有理由拒絕原來的假設。這時尋找回歸直線方程是毫無意義的。（4）獨立性檢驗：2×2列聯表B合計An11n12n1n21n22n2總計n1n2n構造一個隨機變量，利用隨機變量2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗：若，則有95%把握認為A與B有關；若，則有99%把握認為A與B有關；其中是判斷是否有關系的臨界值，應判斷為沒有充分證據顯示A與B有關，而不能作為小于95%的量

16、化值來判斷注意：線性回歸分析以散點圖為基礎，具有很強的直觀性，有散點圖作比較時，擬合效果的好壞可由直觀性直接判斷，沒有散點圖時，只須套用公式求r，再作判斷即可獨立性檢驗沒有直觀性，必須依靠作判斷3.概率、離散型隨機變量及其分布列：（1）概率的有關概念：隨機事件和隨機試驗是兩個不同的概念：在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件叫隨機事件，條件每實現一次，叫做一次試驗，如果試驗結果預先無法確定，這種試驗就是隨機試驗頻率與概率有本質的區別，不可混為一談頻率隨著試驗次數的改變而變化，概率卻是一個常數，它是頻率的科學抽象當試驗次數越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數足夠多，所得頻率就可以近似地當作隨機

17、事件的概率概率是頻率的近似值，兩者是不同概念。基本事件空間：在一次試驗中，我們常常要關心的是所有可能發生的基本結果，它們是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用它們來描繪，這樣的事件稱為基本事件，所有基本事件構成的集合稱為基本事件空間，通常用大寫希臘字母表示事件的關系與運算：定義符號表示包含關系如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B_ _事件A(或稱事件A包含于事件B)_(或AB)相等關系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件發生當且僅當A發生或事件B發生，稱此事件為事件A與事件B的_(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發生當且僅當_且_，則稱此事件為事件A與事

18、件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件，則事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件AB；P(AB)P(A)P(B)1其中，互斥事件與對立事件的區別與聯系是：互斥事件與對立事件都是兩個事件的關系，互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件（2）古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型， 有限性試：驗

19、中所有可能出現的基本事件只有有限個；等可能性：每個基本事件出現的可能性相等，簡稱古典概型如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P(A).從集合的角度去看待古典概型，在一次試驗中，等可能出現的全部結果組成一個集合I，基本事件的個數n就是集合I的元素個數，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集故P(A).（3）幾何概型：事件A理解為區域的某一子區域A，A的概率只與子區域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，滿足以上條件的試驗稱為幾何概型在幾何概型中，事件A的概率定義

20、為：P(A)，其中表示區域的幾何度量，A表示子區域A的幾何度量要切實理解并掌握幾何概型試驗的兩個基本特點：無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；等可能性：每個結果的發生具有等可能性。（4）條件概率：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率，用符號“_”來表示，其計算公式為P(B|A).古典概型中，A發生的條件下B發生的條件概率公式為P(B|A)，其中，在實際應用中P(B|A)是一種重要的求條件概率的方法（5）相互獨立事件：對于事件A、B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱A與B是相互獨立事件若A與B相互獨立，則P(B|A)P(B)，P(AB)P(

21、B|A)·P(A)P(A)P(B).若A與B相互獨立，則A與、與B、與也都相互獨立，反之，若P(AB)P(A)P(B)，則A與B是相互獨立事件注意：“互斥事件”與“相互獨立事件”的區別與聯系：相同點為二者都是描述兩個事件間的關系.不同點是針對問題的角度不同. 互斥事件是針對一次試驗下的兩個事件A,B能不能同時發生, 相互獨立事件是針對兩次或更多次不同試驗下出現的兩個事件A,B，一個事件對另一個事件發生的概率有沒有影響.具體來說,相互獨立事件,不是一個事件對另一個事件發生沒有影響,而是一個事件對另一個事件發生的概率沒有影響.互斥事件不一定是相互獨立事件,相互獨立事件不一定是互斥事件。若

22、存在不可能事件即概率為0的情況，如在數軸上取一個數，設事件A=“取到的數是1”，事件B=“取到的數是2”，則A、B既互斥又相互獨立；但若A、B互斥，且P(A)>0 ，P(B)>0，則它們不可能互相獨立：因為A發生的條件下，B不可能發生，即，所以A、B不是相互獨立事件（6）概率的計算公式：等可能事件的概率計算公式：；互斥事件的概率加法公式：P(A+B)P(A)+P(B)；對立事件的概率計算公式是：P()=1P(A)；相互獨立事件同時發生的概率計算公式是：P(AB)P(A)P(B)；獨立事件重復試驗的概率計算公式是：。（7）離散型隨機變量及其分布列：離散型隨機變量的分布列的概念：如果隨

23、機試驗的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫做隨機變量；如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則稱表Xx1x2xixnPp1p2pipn為離散型隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列，具有性質：（）pi_0，i1,2，n；（）p1p2pipn_.二點分布：如果隨機變量X的分布列為X10Ppq其中0<p<1，q1p，則稱離散型隨機變量X服從參數為p的二點分布超幾何分布：

24、在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件Xk發生的概率為：P(Xk) (k0,1,2，m)，其中mminM，n，且nN，MN，n、M、NN*，則稱分布列X01mP超幾何分布幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把k次試驗時事件A發生記為，事A不發生記為，那么.根據相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量的概率分布列.123kPq qp 我們稱服從幾何分布，并記，其中二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：（其中），于是得到隨機變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量服從二項分布，記作

25、B（n·p），其中n，p為參數，并記.二項分布實際上是對n次獨立重復試驗而言的，關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布。當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列。（8）數學期望與方差.期望：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為P則稱為的數學期望或平均數、均值.數學期望又簡稱期望.數學期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.方差、標準差的定義：當已知隨機變量的分布列為時，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標準差.

26、隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.越小，穩定性越高，波動越小.均值與方差的常用性質：()E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；若已知隨機變量的均值、方差，求的線性函數的均值、方差和標準差，可直接用的均值、方差的性質求解.() 若X服從二點分布，則E(X)p，D(X)pq.一般地，若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)np(1p). 如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解() 若X服從超幾何分布，則E(X)； 若X服從幾何分布：E(X)；D(X)。期望與方差的關系：(

27、)如果和都存在，則；()設和是互相獨立的兩個隨機變量，則,（不作要求）；()期望與方差的轉化：； () （因為為一常數）。（9）正態分布：密度曲線與密度函數：對于連續型隨機變量，位于x軸上方，落 在任一區間 內的概率等于它與x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的 面積（如圖陰影部分）的曲線叫的密度曲線，以其作為圖像的函數叫做的密度函數，由于“x(，)”是必然事件，故密度曲線與x軸所夾部分面積等于1.正態分布與正態曲線：如果隨機變量的概率密度函數為（x(，)，實數和 (>0)為參數），稱服從參數為、的正態分布，用表示. 的表達式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態曲線。正態分布的期望與方差：若，則

28、的期望與方差分別為：.標準正態分布：如果隨機變量的概率函數為，則稱服從標準正態分布. 即。非標準正態分布與標準正態分布間的關系：若，則，據此可以把非標準正態分布的概率轉化為標準正態分布的概率：。 正態總體在三個特殊區間內取值的概率值：P(<X)0.683；P(2<X2)0.954；P(3<X3)0.997.“”原則：假設檢驗是就正態總體而言的，進行假設檢驗可歸結為如下三步：()提出統計假設，統計假設里的變量服從正態分布.()確定一次試驗中的取值是否落入范圍.()做出判斷：如果，接受統計假設. 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統計假設.“”原則的應用：若隨機變量服從正態分布則

29、落在內的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發生了，就說明此種產品不合格（即不服從正態分布）.【要點突破】題型一、排列組合二項式定理：例1. （1）某次活動中，有30人排成6行5列，先要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數為 。（2）一條長椅上有9個座位，3個人坐，若相鄰2人之間至少有2個空椅子，共有 種不同的坐法。（3）一條長椅上有7個座位，4個人坐，要求3個空位中，恰有2個空位相鄰，共有 種不同的坐法。（4）的展開式中含的項為 。（5）設，則的值為 。題型二、統計與統計案例：例2. （1）（2010湖北）將參加夏

30、令營的600名學生編號為：001，002，600，采用系統抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003這600名學生分住在三個營區，從001到300在第營區，從301到495住在第營區，從496到600在第營區，三個營區被抽中的人數依次為（）A26，16，8，B25，17，8C25，16，9D24，17，9（2）為了普及環保知識，增強環保意識，某大學隨即抽取30名學生參加環保知識測試，得分（十分制）如圖所示，假設得分值的中位數為，眾數為，平均值為，則A. B. C. D.（3）（2011陜西）設··· ，是變量和的個樣本點，直線是由這些樣本點通過最小

31、二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結論正確的是(A) 直線過點 （B）和的相關系數為直線的斜率（C）和的相關系數在0到1之間 （D）當為偶數時，分布在兩側的樣本點的個數一定相同（4）（2011江蘇）某老師從星期一到星期五收到信件數分別是10，6，8，5，6，則該組數據的方差。題型三、概率、離散型隨機變量及其分布列：例3. (1) （2011遼寧）從1，2，3，4，5中任取2各不同的數，事件A=“取到的2個數之和為偶數”，事件B=“取到的2個數均為偶數”，則P（BA）=（A） （B） （C） （D）(2) （2012新課標）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

32、3正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 。(3) 某批產品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗，設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品.（）用表示抽檢的6件產品中二等品的件數，求的分布列及的數學期望；（）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕購買的概率.【鞏固提高】1. 四張卡片上分別標有數字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可當“6”用，則由這四張卡

33、片可組成不同的四位數的個數為（）A6B12C18D242. 將5名志愿者分配到3個不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數為A.540 B.300 C.180 D.1503. 某校開展“愛我家鄉”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如莖葉圖所示記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是A4B3C2D14. 為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數據如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm）175175176177177

34、則y對x的線性回歸方程為A.y = x-1 B.y = x+1 C.y = 88+ D.y = 1765. 學生通過演示實驗來估算不規則圖形的面積，先在平面內畫4條直線x0，x5，y2，y1圍成矩形，再畫2條曲線y，y，稱2條直線y2，y1和2條曲線y，y圍成的區域稱為曲邊矩形，現隨機向矩形投射飛標，則落在曲邊矩形內的數N1與落入矩形內的數N2的比大約為A. B. C. D. 6. 甲乙兩人一起去游“2011西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 （A） （B） （C） （D）7甲從正方形四個頂點中任意選擇兩

35、個頂點連成直線，乙從該正方形四個頂點中任意選擇兩個頂點連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（A） （B） （C） （D）8. 一個壇子里有編號為1，2，12的12個大小相同的球，其中1到6號球是紅球，其余的是黑球，若從中任取兩個球，則取到的都是紅球，且至少有1個球的號碼是偶數的概率是（ ）ABCD9. 將20名運動員平均分成兩組，其中兩名種子選手必在一組的概率是 。10. (2012浙江理14)若將函數表示為， 其中，為實數，則_11. 袋內裝有30個球，每個球上都記有從1到30的一個號碼，設號碼n的球重-4n+克，這些球以等可能性從袋里取出（不受重量、號碼的影響）如果任意取出2球，則它

36、們重量相等的概率為_12. (2012江蘇)設為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，；當兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時， （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數學期望13.（2012江西）如圖，從A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0，1，0），B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）這6個點中隨機選取3個點，將這3個點及原點O兩兩相連構成一個“立體”，記該“立體”的體積為隨機變量V（如果選取的3個點與原點在同一個平面內，此時“立體”的體積V=0）。（1）求V=0的概率；(2)求V的分布列及數學期望。專題十 概

37、率與統計參考答案【真題感悟】1. C解：,答案應選C。2.D.解：和為奇數個數為：，個位數為0十位為奇數兩位數有5個，所以其個位數為0的概率是5/45=1/9。3. C解：設線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm,那么矩形的面積為cm2，由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為，故選C4. 。解：，甲的成績的方差為，乙的成績的方差為【要點突破】例1.（1）1200。解：由題意知本題是一個計數原理的應用，從5列中選擇三列C53=10；從某一列中任選一個人甲有6種結果；從另一列中選一個與甲不同行的人乙有5種結果；從剩下的一列中選一個與甲和乙不同行的丙有4種結果，根據分步計數原理知共有10×6×5×4=1200 （2）60.解：先將3人（用×表示）與4張空椅子（用表示），排列如圖（×××），這時共占據了7張椅子，還有2張空椅子，第一種情況是分別插入兩