1、趙月涓廣發證券發展研究中心2013年3月6日從VIX到無模型(Model Free)隱含波動率刻畫目目 錄錄一、波動率指數VIX二、國外波動率指數發展狀況三、 BS隱含波動率四、無模型隱含波動率VIX波動率指數發展概況波動率指數VXO （1993年）最接近平價看漲期權最接近平價看跌期權加權平均4個近月、次近月BS隱含波動率4個近月、次近月BS隱含波動率缺點不可復制、不可投資 波動率指數VIX（2003年）引入無模型隱含波動率22021()(1)rTiiiiXFe Q XTXTX優點可復制，可投資，可開發新產品編制原理2004年 VIX期貨2006年 VIX期權平價期權隱含波動率加權近月遠月與

2、加權平均3/22雷曼兄弟倒閉歐債危機爆發歐債危機升級次貸危機爆發911恐怖襲擊事件波動率指數(VIX)能及時有效地反映市場情緒，又被形象地稱為“投資者恐慌指標”（The Investor Fear Gauge ）2001年以來VIX波動率指數與S&P500指數的表現從VIX指數看出S&P500指數變盤征兆從長期時間的實證檢驗來看，VIX與S&P500指數收益率呈負相關關系4/22波動率指數VIX 是由近月合約和次月合約的無模型隱含波動率關于時間加權而成 反映了30天后市場的波動率水平，市場波動情況的風向標 可復制，可投資，可開發新產品 與標的S&P500的收益率

3、呈負相關 總結5/23目目 錄錄一、波動率指數VIX二、國外波動率指數發展狀況三、 BS隱含波動率四、無模型隱含波動率全球主要波動率指數概況國家國家/地區地區交易所交易所波動率指數波動率指數發布時間發布時間相關衍生產品相關衍生產品美國芝加哥期權交易所VIX指數1993年2004年推出VIX期貨，2006年推出VIX期權歐洲（歐盟）歐洲期貨交易所STOXX 50波動率指數2005年2009年推出VSTOXX期貨（FVS），2012年推出VSTOXX期權臺灣臺灣期貨交易所臺指期權波動率指數2006年沒有推出以臺灣VIX指數為標的的衍生產品 印度印度國家交易所India VIX 波動率指數2008年

4、沒有推出以India VIX指數為標的的衍生產品韓國韓國交易所KOSPI 200波動率指數2009年計劃于2013年12月16日前推出VKOSPI期貨產品日本大阪證券交易所Nikkei 225波動率指數2010年2012年推出Nikkei 225VI期貨香港香港交易所恒指波幅指數（VHSI）2011年2012年推出恒指波幅指數期貨7/22目目 錄錄一、波動率指數VIX二、國外波動率指數發展狀況三、 BS隱含波動率四、無模型隱含波動率BS期權定價模型,exp()exp()BSt Tft TtTt Tt Tt TBSt Tft Tt Tt TtTt TCrESdXdPrXdESd 基本假設：l標的

5、資產價格服從幾何布朗運動，漂移率與波動率均為已知常數。l標的資產在剩余期限內無現金流出。l剩余期限內市場無風險利率為已知常數，投資者可按市場無風險利率無限借貸，標的資產可無限賣空。l標的資產可連續交易且標的資產的價格變動也是連續的。l市場光滑無摩擦，即標的資產與期權合約均無交易成本。l期權合約僅能到期行權。 基于BS期權定價模型的看漲期權與看跌期權的定價形式：基于市場風險中性假設與無套利定價方法得到的歐式期權定價BS模型9/22Vega是指期權價格對波動率的導數，代表期權對波動率變化的敏感程度。Vega越大，期權對波動率越敏感。結論：在股價一定時，平價期權隱含的波動率信息最多的。數據來源：數據

6、來源：Wind資訊、廣發證券發展研究中心資訊、廣發證券發展研究中心l對于某個給定的期權 當標的資產運行至到期行權概率為50%的價格位置時，該期權的價值對于標的資產波動率變動的敏感性達到最大。l對于某個給定的標的資產 在一組同一標的資產且到期時間相同的期權中，能夠使得Delta的絕對值最接近于0.5的期權，其價值對于標的資產波動率的變動最為敏感。2,00,argmaxexp ()2tBStt Tft TSXSVegaXr2,00,argmaxexp ()2BStt Ttft TXSXVegaSrVega暴露度達到最大值的條件10/22無模型隱含波動率與BS隱含波動率的比較BS隱含波動率無模型隱含

7、波動率反映未來波動率有效信息結論：無模型隱含波動率可復制、可開發創新產品，更具投資價值 原理：原理：反解BS公式 原理：原理：期權組合市場價格的加權平均 不足： 依賴于BS模型 未來波動率有偏估計 不可復制，不可投資 優點： 不依賴于BS模型 包括不同行權價期權所包含的波動率預測信息 可復制、可開發創新產品，更具有投資價值11/22目目 錄錄一、波動率指數VIX二、國外波動率指數發展狀況三、 BS隱含波動率四、無模型隱含波動率無模型隱含波動率基于方差互換定價數學角度光滑函數基于Dirac Delta函數的分解13/22復制方差互換合約波動率方差互換合約簡介波動率方差互換定價波動率方差互換在風險

8、中性下的無套利定價第一種表達形式無模型隱含波動率剩余期限波動率方差可以用遠期對數合約空頭來復制波動率方差互換在風險中性下的無套利定價第二種表達形式利用基準行權價價的導數分之一份的遠期合約空頭對數合約靜態復制（到期收益復制）低于基準行權價的看跌期權組合高于行權價的看漲期權組合波動率方差互換在風險中性下的無套利定價第三種表達形式無模型隱含波動率離散形式VIX指數14/22波動率方差互換 波動率方差互換l 方差互換在市場風險中性環境下的無套利定價反映了對市場投資者對未來波動率的一致預期l 結論：無模型隱含波動率實際上是對方差互換定價。標的股票收益率的年化波動率方差類型遠期合約到期收益222,()X

9、TXN2,X t15/22 ()tttttdSSdtdW 2222,exp()Ttt Ttft TX tt TdVNEr 222,TttX tt Tt TEd16/22波動率方差互換定價第一種形式 假設波動率方差互換定價波動率方差互換多頭部位的到期收益在市場風險中性環境下的現值波動率方差互換在市場風險中性環境下無套利定價的第一種表達標的資產價格波動波動率方差互換定價的第二種表達形式l通過消除時變的標的資產漂移率來復制標的資產的未來波動率：l波動率方差互換在市場風險中性環境下無套利定價的第二種表示形式： 22()2(ln)1ln()2tttttTTTttttttttd SSd td Wd SSd

10、SSdSd td W 恒定單位對數遠期市值持倉合約空頭2,22lnlnlnTt Tft TttTtTt Ttt TSrEE SESS17/22結論：l 標的資產的未來波動率可以用對數遠期合約空頭來表示。l 靜態持有標的資產對數遠期合約的空頭部位，合約的到期交割價格為標的資產的當期價格。對數遠期合約標的股票價格交割價格當期時點 時刻的到期交割價格為到期收益tSt,X tS對數遠期合約空頭部位的到期收益 lnln,(lnln)SSTX tTVSSNl采用靜態復制方法復制對數遠期合約空頭部位的到期收益： ,ln,ln,220,lnlnX tX tSTX tTSSTX tTTSX tVSSNSSXSS

11、Xd Xd XSXX 看跌期權多頭組合看漲期權多頭組合 線性部分遠期合約空頭部位非線性高階部分 特殊期權組合對數遠期合約空頭復制特殊期權組合2,PCt TX tXXSX18/22無模型隱含波動率在市場風險中性環境下將時間坐標從到期時刻前移至當前時點：無模型隱含波動率波動率方差互換在風險中性環境下無套利定價的第三種表述形式： ,2,2,lnlnlnexpTX tPCtTtX ttT TX tX ttTX tPCX tt TX tft TX tSSESESEXXSXSE SSSXXSXrS,2,2,2lnexptTX ttTt Tt TX tX tPCt TX tft TE SSE SSSXXSXr19/2222021()(1)rTiiiiXFe Q XTXTX美國波動率指數VIX香港恒生波幅指數22()rTiiiiXe Q XTX兩者的行權基準價不同20/22基準行權價的取值,22,exp2ft TPCt Tt TtTt TrXXE SX21/22 基準行權價選取：l 在無模型隱含波動率的計算中，而構建特殊