1、綜合評價方法及其應用綜合評價方法及其應用一、什么是綜合評價問題一、什么是綜合評價問題近年競賽題近年競賽題全國研究生數學建模競賽題目：全國研究生數學建模競賽題目：（1 1）2011-C2011-C題：對小麥發育后期莖稈抗倒性問題的研究題：對小麥發育后期莖稈抗倒性問題的研究（2 2）2011-D2011-D題：房地產行業的數學模型題：房地產行業的數學模型（3 3）2013-D2013-D題：空氣中題：空氣中 PM2.5 PM2.5 問題的研究問題的研究（4 4）2013-E2013-E題：中等收入定位與人口度量模型研究題：中等收入定位與人口度量模型研究（5 5）2014-D2014-D題：人體營養

2、健康角度的中國果蔬發展戰略研究題：人體營養健康角度的中國果蔬發展戰略研究全國大學生數學建模競賽題目：全國大學生數學建模競賽題目：（6 6）20122012年年-A-A題題: :葡萄酒質量的評價葡萄酒質量的評價（7 7）20122012年年-B-B題題: :碎紙片拼接復原問題碎紙片拼接復原問題（8 8）20132013年年-A-A題：車道被占用對城市道路通行能力的影響題：車道被占用對城市道路通行能力的影響1 1、綜合評價的目的、綜合評價的目的 綜合評價一般表現為以下幾類問題：綜合評價一般表現為以下幾類問題： 。分類。分類對所研究對象的全部個體進行分類，但不同對所研究對象的全部個體進行分類，但不同

3、于復合分組（重疊分組）；于復合分組（重疊分組）； 。比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基。比較、排序（直接對全部評價單位排序，或在分類基礎上對各小類按優劣排序）；礎上對各小類按優劣排序）； 。考察某一綜合目標的整體實現程度（對某一事物作出。考察某一綜合目標的整體實現程度（對某一事物作出整體評價）。如小康目標的實現程度、現代化的實現程度。整體評價）。如小康目標的實現程度、現代化的實現程度。當然必須有參考系。當然必須有參考系。 構成綜合評價問題的五個要素分別為構成綜合評價問題的五個要素分別為: :被評價對象、評價被評價對象、評價指標、權重系數、綜合評價模型和評價者。指標、權重系數、綜合評

4、價模型和評價者。2 2、 構成綜合評價問題的五個要素構成綜合評價問題的五個要素 （2 2）評價指標）評價指標 評價指標是反映被評價對象評價指標是反映被評價對象( (或系統或系統) )的運行的運行( (或發展或發展) )狀況的狀況的基本要素。通常的問題都是有多項指標構成，每一項指標都是從基本要素。通常的問題都是有多項指標構成，每一項指標都是從不同的側面刻畫系統所具有某種特征大小的一個度量。不同的側面刻畫系統所具有某種特征大小的一個度量。 一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中一個綜合評價問題的評價指標一般可用一個向量表示，其中每一個分量就是從一個側面反映系統的狀態，即稱為綜合評價的

5、每一個分量就是從一個側面反映系統的狀態，即稱為綜合評價的指標體系。指標體系。 注意到注意到: :當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題當各被評價對象和評價指標值都確定以后，問題的綜合評價結果就完全依賴于權重系數的取值了，即權重系數的綜合評價結果就完全依賴于權重系數的取值了，即權重系數確定的合理與否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影確定的合理與否，直接關系到綜合評價結果的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。響到最后決策的正確性。 （4 4）綜合評價模型）綜合評價模型 對于多指標（或多因素）的綜合評價問題對于多指標（或多因素）的綜合評價問題, ,就是要通過就是要通過建立合適的綜合評價數學

6、模型將多個評價指標綜合成為一個建立合適的綜合評價數學模型將多個評價指標綜合成為一個整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據，從而得到相應整體的綜合評價指標，作為綜合評價的依據，從而得到相應的評價結果。的評價結果。 （5 5）評價者）評價者 評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，評價者是直接參與評價的人，可以是某一個人，也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體也可以是一個團體。對于評價目的選擇、評價指標體系確定、評價模型的建立和權重系數的確定都與評價系確定、評價模型的建立和權重系數的確定都與評價者有關。者有關。 3 3、綜合評價的一般步驟、綜合評價的一般步驟 1 1確定綜合評價的目的確定

7、綜合評價的目的 （分類？排序？實現（分類？排序？實現程度？）程度？） 2 2建立評價指標體系建立評價指標體系 3. 3. 對指標數據做預處理對指標數據做預處理 （1 1）使所有的指標都從同一角度說明總體，這就提出了使所有的指標都從同一角度說明總體，這就提出了如何使指標一致化的問題；如何使指標一致化的問題； （2 2）所有的指標可以相加，這就提出了如何消除指標之）所有的指標可以相加，這就提出了如何消除指標之間不同計量單位（不同度量）對指標數值大小的影響和間不同計量單位（不同度量）對指標數值大小的影響和不能加總（綜合）的問題，即對指標進行無量綱化處不能加總（綜合）的問題，即對指標進行無量綱化處理理

8、計算單項評價值。計算單項評價值。 4 4確定各個評價指標的權重確定各個評價指標的權重 5 5求綜合評價值求綜合評價值將單項評價值綜合而成。將單項評價值綜合而成。 1. 1. 評價指標類型的一致化評價指標類型的一致化 極大型指標極大型指標: :總是期望指標的取值越大越好；總是期望指標的取值越大越好； 極小型指標極小型指標: :總是期望指標的取值越小越好；總是期望指標的取值越小越好； 中間型指標中間型指標: :總是期望指標的取值既不要太大，也不要太小總是期望指標的取值既不要太大，也不要太小為好，即取適當的中間值為最好為好，即取適當的中間值為最好; ; 區間型指標區間型指標: :總是期望指標的取值最

9、好是落在某一個確定的總是期望指標的取值最好是落在某一個確定的區間內為最好。區間內為最好。 - - 定性指標定性指標二、評價指標的規范化處理二、評價指標的規范化處理 1.1 1.1 將極小型化為極大型將極小型化為極大型 倒數法：倒數法： 平移變換法平移變換法 其中其中 jjxx1jjjxMx ijnijxM1max 1.2 1.2 將居中型化為極大型將居中型化為極大型 對于居中型指標對于居中型指標)min(),max(其中2,)(22,)(2大型指標，令為最好，要將其化為極2取中間值ijjijjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjxmxMMxmMmMxMmMxmmMmxxmMxjx1.3 將

10、區間型化為極大型將區間型化為極大型1.4 定性指標的量化處理方法定性指標的量化處理方法 在實際中，很多問題都涉及到定性，或模糊指在實際中，很多問題都涉及到定性，或模糊指標的定量處理問題。標的定量處理問題。 諸如諸如: :教學質量、科研水平、工作政績、人員素教學質量、科研水平、工作政績、人員素質、各種滿意度、信譽、態度、意識、觀念、能質、各種滿意度、信譽、態度、意識、觀念、能力等因素有關的政治、社會、人文等領域的問題力等因素有關的政治、社會、人文等領域的問題。 如何對有關問題給出定量分析呢？如何對有關問題給出定量分析呢？按國家的評價標準按國家的評價標準, ,評價因素一般分為五個等級，如評價因素一

11、般分為五個等級，如A A，B B，C C，D D，E E。 如何將其量化？若如何將其量化？若A A- -，B B+ +，C C- -，D D+ +等又如何合理量化？等又如何合理量化？ 根據實際問題，構造模糊隸屬函數的量化方法是一種可根據實際問題，構造模糊隸屬函數的量化方法是一種可行有效的方法。行有效的方法。 2. 2. 評價指標的無量綱化評價指標的無量綱化 如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評價過如果不對這些指標作相應的無量綱處理，則在綜合評價過程中就會出程中就會出“大數吃小數大數吃小數”的錯誤結果，從而導致最后得到錯的錯誤結果，從而導致最后得到錯誤的評價結論。誤的評價結論。 無量綱

12、化處理又稱為指標數據的標準化無量綱化處理又稱為指標數據的標準化,或規范化處理。或規范化處理。 常用方法常用方法:標準差方法、極值差方法和功效系數方法等。標準差方法、極值差方法和功效系數方法等。 三、近年建模題目中涉及的指標構三、近年建模題目中涉及的指標構建問題舉例建問題舉例1 1、20132013年數學建模年數學建模B B題中題中 碎紙片拼接中的紙片匹配指標碎紙片拼接中的紙片匹配指標2 2、20132013研究生數學建模研究生數學建模E E題中題中 貧富兩極分化衡量指標貧富兩極分化衡量指標3 3、20132013年數學建模年數學建模A A題中事故處橫斷面實際通行能力影響題中事故處橫斷面實際通行

13、能力影響差異差異1 1、 20132013數學建模數學建模B B題中碎紙片拼接中題中碎紙片拼接中的紙片匹配指標的紙片匹配指標 運用最小二乘法，將最新確定位置的右側邊緣灰度運用最小二乘法，將最新確定位置的右側邊緣灰度值與剩下碎片的左側邊緣灰度值進行比對，將相似度最值與剩下碎片的左側邊緣灰度值進行比對，將相似度最高即（高即（MatchMatch值最小）的待排碎片放在已知碎片的右邊。值最小）的待排碎片放在已知碎片的右邊。依照上述方法直到將所有碎片拼接完畢。依照上述方法直到將所有碎片拼接完畢。 19802min(_)imijiMatchRightcolLeftcol方法一：方法一：方法二：方法二：22

14、1112min()()jMxyxy19792221112()()()kkkkkkkxyxyxy221980197919801980()()xyxy 為了比較不同地區和不同年份收入分配的兩極分化為了比較不同地區和不同年份收入分配的兩極分化程度，需要構建了一個指標，以衡量居民收入兩極分化程度，需要構建了一個指標，以衡量居民收入兩極分化的大小，該指標越大，說明收入分配的兩極分化程度越的大小，該指標越大，說明收入分配的兩極分化程度越高，該指標越小，說明收入分配兩極分化的程度越低。高，該指標越小，說明收入分配兩極分化的程度越低。該指標需要滿足的經濟規律方面的要求概括為：該指標需要滿足的經濟規律方面的要求

15、概括為： 在其他情況不變的條件下，當在其他情況不變的條件下，當 擴大時，擴大時， 減減增大，這說明隨著貧富收入離散程度的加大，兩極分化增大，這說明隨著貧富收入離散程度的加大，兩極分化程度具有增大的趨勢；在其他情況不變的條件下，當程度具有增大的趨勢；在其他情況不變的條件下，當p p增大時，增大時， 減小，這說明隨著中等收入區間人口比例的減小，這說明隨著中等收入區間人口比例的增加，兩極分化程度減弱；在其他情況不變的條件下，增加，兩極分化程度減弱；在其他情況不變的條件下，當當 增大時，增大時， 減小，這說明隨著人均收入水平減小，這說明隨著人均收入水平的提高，若貧富收入離散程度沒有改變，則兩極分化程的

16、提高，若貧富收入離散程度沒有改變，則兩極分化程度減輕了。根據該指標的性質，將其定義為：度減輕了。根據該指標的性質，將其定義為：2 2、20132013研究生數學建模研究生數學建模E E題中題中 貧富兩貧富兩極分化衡量指標極分化衡量指標12p 是一個在區間是一個在區間 上變動的指標，當收入分配完上變動的指標，當收入分配完全是均勻分配時，不存在兩極分化的情況，此時全是均勻分配時，不存在兩極分化的情況，此時 ；而當中間收入人群為零時，即形成完全的兩極分化時，而當中間收入人群為零時，即形成完全的兩極分化時， ，為此本文考慮另一種特殊的情形，即中間收入人口所占比為此本文考慮另一種特殊的情形，即中間收入人

17、口所占比例為例為50%，變異系數為，變異系數為 0.5 時，時， 。自此，本文界定。自此，本文界定 時，兩極分化程度比較輕，而當時，兩極分化程度比較輕，而當 時，兩極分化程度比較高。時，兩極分化程度比較高。(,11(,0.5 (0.5,10.5其中其中 為收入均值，為收入均值， 為收入的標準差，為收入的標準差，P為基于收入的人為基于收入的人口分布，口分布， 為兩極分化衡量指標。為兩極分化衡量指標。 從視頻從視頻1 1和視頻和視頻2 2的圖像，可以看出交通事故期間，交通事的圖像，可以看出交通事故期間，交通事故橫截面出實際通行能力波動明顯，且沒有明顯的線性或者其故橫截面出實際通行能力波動明顯，且沒

18、有明顯的線性或者其他類似規律，數據可能具有正態分布特性。因此，利用得到的他類似規律，數據可能具有正態分布特性。因此，利用得到的實際通行能力數據，作正態檢驗。利用實際通行能力數據，作正態檢驗。利用spssspss軟件作正態檢驗，軟件作正態檢驗，發現正態性明顯。因此，可以認為題中交通事故橫截面處實際發現正態性明顯。因此，可以認為題中交通事故橫截面處實際交通能力服從正態分布。交通能力服從正態分布。實際交通能力差異度：實際交通能力差異度： 以正態擬合得到的均值作為實際交通能力的大小，則下式成立：以正態擬合得到的均值作為實際交通能力的大小，則下式成立： 實際交通能力的差異程度定義如下：實際交通能力的差異

19、程度定義如下：P值越大反應發生事故的車道位置對實際交通能力的影響很大值越大反應發生事故的車道位置對實際交通能力的影響很大。),(:(),(:(2222211111NCNC2121CCCCP3 3、20132013數學建模數學建模A A題中事故處橫斷面實際題中事故處橫斷面實際通行能力影響差異通行能力影響差異穩定性差異度：穩定性差異度： 由于視頻由于視頻1 1和視頻和視頻2 2的交通事故橫截面實際交通能力具有波的交通事故橫截面實際交通能力具有波動性，則應該具有穩定程度，用穩定性動性，則應該具有穩定程度，用穩定性這一量來反映，顯然，這一量來反映，顯然，穩定性越高越有利于車輛的通行。定義穩定性如下所示

20、：穩定性越高越有利于車輛的通行。定義穩定性如下所示：則穩定性的差異程度如下：則穩定性的差異程度如下：22111,12121T差異度：差異度： 為了說明事故處橫斷面實際交通能力總的影響差異，定為了說明事故處橫斷面實際交通能力總的影響差異，定義差異度義差異度B B，如下所示：，如下所示：式中的式中的21, 為實際交通能力和穩定性的偏好系數。為實際交通能力和穩定性的偏好系數。綜上所述，得到如下事故處橫斷面實際通行能力影響差異模型綜上所述，得到如下事故處橫斷面實際通行能力影響差異模型：TPB212221212121wwwwTCCCCPTPB問題問題:如何來構造合適的綜合評價模型？如何來構造合適的綜合評

21、價模型？ 四、綜合評價模型的建立方法四、綜合評價模型的建立方法 線性加權綜合法的適用條件線性加權綜合法的適用條件: :各評價指標之間相互獨各評價指標之間相互獨立。立。 對于不完全獨立的情況采用該方法，其結果將導致各對于不完全獨立的情況采用該方法，其結果將導致各指標間信息的重復，使得評價結果不能客觀地反映實際。指標間信息的重復，使得評價結果不能客觀地反映實際。 1. 線性加權綜合法線性加權綜合法 線性加權綜合法的特點：線性加權綜合法的特點： （1 1）該方法能使得各評價指標間作用得到線性補償，保）該方法能使得各評價指標間作用得到線性補償，保證綜合評價指標的公平性；證綜合評價指標的公平性； （2

22、2）該方法中權重系數的對評價結果的影響明顯，即權）該方法中權重系數的對評價結果的影響明顯，即權重較大指標值對綜合指標作用較大；重較大指標值對綜合指標作用較大； （3 3）當權重系數預先給定時，該方法使評價結果對于各）當權重系數預先給定時，該方法使評價結果對于各備選方案之間的差異表現不敏感；備選方案之間的差異表現不敏感； （4 4）該方法計算簡便，可操作性強，便于推廣使用。）該方法計算簡便，可操作性強，便于推廣使用。 2. 非非線性加權綜合法線性加權綜合法 主要特點主要特點:（1）對數據要求較高，指標數值不能為）對數據要求較高，指標數值不能為0、負數，、負數，（2）乘除法容易拉開評價檔次，對較小

23、數值的變動更敏）乘除法容易拉開評價檔次，對較小數值的變動更敏感。感。適用條件：適用條件： 各指標間有較強關聯性各指標間有較強關聯性 。 3. 逼近理想點（逼近理想點（TOPSISTOPSIS）方法）方法 模糊綜合評價方法是模糊數學中應用的比較模糊綜合評價方法是模糊數學中應用的比較廣泛的一種方法，對一些具有模糊概念的系統廣泛的一種方法，對一些具有模糊概念的系統（評價對象），在進行評價時很難給出確切的表（評價對象），在進行評價時很難給出確切的表達，對受多種因素影響的事物做出全面評價的一達，對受多種因素影響的事物做出全面評價的一種十分有效的多因素決策方法，其特點是評價結種十分有效的多因素決策方法，其

24、特點是評價結果不是絕對地肯定或否定，而是以一個模糊集合果不是絕對地肯定或否定，而是以一個模糊集合來表示。來表示。4 4、模糊綜合評價法、模糊綜合評價法5 5、層次分析模型、層次分析模型 層次分析法是將與決策總是有關的元素分解成層次分析法是將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。和定量分析的決策方法。6、動態加權綜合評價方法、動態加權綜合評價方法 20052005年中國大學生數學建模競賽的年中國大學生數學建模競賽的A A題：題：“長江水質的評長江水質的評價和預測價和預測”問題的第一部份給出了問題的第

25、一部份給出了1717個觀測站（城市）的最個觀測站（城市）的最近近2828個月的實際檢測指標數據，包括反映水質污染程度的最個月的實際檢測指標數據，包括反映水質污染程度的最主要的四項指標：溶解氧（主要的四項指標：溶解氧（DODO）、高錳酸鹽指數（）、高錳酸鹽指數（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求綜合這四種污染指標的值，要求綜合這四種污染指標的2828個月的個月的檢測數據對檢測數據對1717個城市的水質情況做出綜合評價。個城市的水質情況做出綜合評價。 6.1 動態加權綜合評價問題的提法動態加權綜合評價問題的提法 根據國標（根據國標（GB 383

26、8GB 383820022002）的規定，關于地表水的水）的規定，關于地表水的水質可分為質可分為類、類、類、類、類、類、類、類、類、劣類、劣類共六個類類共六個類別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區間），別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區間），只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所以實際中不同類別的水質有很大的差別，而且同一類別的水以實際中不同類別的水質有很大的差別，而且同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別。在污染物的含量上也有一定的差別。 在對在對1717個城市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指個城

27、市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指標值不同類別水的標值不同類別水的“質的差異質的差異”和同類別水的和同類別水的“量的差異量的差異”, ,在此簡稱為在此簡稱為“質差質差”和和“量差量差”。因此，這是一個較復。因此，這是一個較復雜的多因素多屬性的綜合評價問題。雜的多因素多屬性的綜合評價問題。 根據這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決根據這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決問題的主要過程分三步完成：問題的主要過程分三步完成：將各評價指標作標準化處理；將各評價指標作標準化處理；根據各屬性的特性構造動態加權函數；根據各屬性的特性構造動態加權函數；構建問題的綜合評價模型，并做出評價。構

28、建問題的綜合評價模型，并做出評價。 實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中間型，或區間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就間型，或區間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就需要根據不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指需要根據不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指標變換成統一的、無量綱的標準化指標。標變換成統一的、無量綱的標準化指標。 6.2 動態加權綜合評價的一般方法動態加權綜合評價的一般方法 6.2.1 評價指標的標準化處理評價指標的標準化處理 考慮到評價指標的考慮到評價指標的“質差質差”與與“量差量差”的關系，在

29、確的關系，在確定綜合評價指標時，既要能體現不同類型指標之間的差異，定綜合評價指標時，既要能體現不同類型指標之間的差異，也要能體現同類型指標的數量差異。也要能體現同類型指標的數量差異。 根據實際問題具體取什么樣的動態加權函數，主要是根據實際問題具體取什么樣的動態加權函數，主要是從實際問題出發分析確定。從實際問題出發分析確定。 對于不同的指標可以取相同的權函數，也可以取不同對于不同的指標可以取相同的權函數，也可以取不同的權函數。的權函數。 6.2.2 動態加權函數的設定動態加權函數的設定 6.3 綜合評價模型的構建綜合評價模型的構建 表表（1）: 地地表表水水環環境境質質量量標標準準 （G GB

30、B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4個個主主要要項項目目標標準準限限值值 單單位位：mg/L 指指 標標 類類 類類 類類 類類 類類 劣劣類類 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高錳錳酸酸鹽鹽指指數數( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（無無量量綱綱） 6 , 9 五、長江水質的綜合評價模型五、長江水質的綜合評價模型 1. 1. 指標數據的標準化處理指標數據的標準化處理 2. 動態加權函數的確定動態加權函數的確定 3.綜合評價指標函數的確定綜合評價指標函數的確定 4.各城市水