1、第五屆中國東南地區數學奧林匹克2008年7月27日 上午8：0012：00) 福建 龍巖1. 已知集合，n是正整數，T是S的子集，滿足：對任意的 (其中x、y、z可以相同) 都有，求所有這種集合T的元素個數的最大值。若取，此時，且中任三數之和大于3n，即不在中；故，另一方面，作三元子集列則，對于S的任一個2n+1元子集，必包含有某個。若，則其中有元素3n=n+n+n；若某個，則其中有元素，于是，因此。2. 設數列滿足：。試求通項的表達式。將所給遞推關系的兩邊同時除以，得即即。令，則，可得故 ，從而 。3. 在ABC中，BC>AB，BD平分交AC于D，如圖，CP垂直BD，垂足為P，AQ垂直

2、BP，Q為垂足。M是AC中點，E是BC中點。若PQM的外接圓O與AC的另一個交點為H，求證: O、H、E、M四點共圓。1. 作AQ延長線交BC于N，則Q為AN中點，又M為AC中點，故QM/BC。所以。同理，。所以QM= PM。又因為Q、H、P、M共圓，所以，故。所以P、H、B、C四點共圓，故。結合OH=OM，知OE為HP中垂線，易知，所以O、H、E、M四點共圓。4. 設正整數，對于任一個n元整數集，取每一對不同的數，作差，把這個差按從小到大順序排成一個數列，稱這個數列為集合A的“衍生數列”，記為。衍生數列中能被m整除的數的個數記為。證明：對于任一正整數，n元整數集及集合所對應的“衍生數列”及，

3、滿足不等式對于給定的正整數，若整數x被m除得的余數為i，則稱x屬于模m的剩余類.設A的元素中屬于的數有個，而集合的元素中屬于的數有個，則易知， 與至多相差1，且是m的倍數當且僅當兩數x、y屬于模m的同一個剩余類. 對于剩余類中的任一對數，有，故屬于中個數，共作成個m的倍數，考慮所有的i，則；類似得。為證本題，只要證 ，化簡后，即要證 據(1)易知，若，則與就是同一組數(至多只有順序不同)，這時(2)式將取得等號。若存在i、j，使，這時將兩數調整為，其中，其他元素不變，則，由于，故調整后(2)式左邊的和值將減少，因此(2)式取得最小值當且僅當與為同一組數(至多只有順序不同)，即(2)成立，因此結

4、論得證。第二天(2008年7月28日上午8：0012：00) 福建 龍巖5. 求出最大的正實數，使得對于滿足的任何實數x、y、z成立不等式：。且當時，上述兩個等號可同取到，則是的最大值令，則。6. 如圖，的內切圓I分別切BC、AC于點M、N，點E、F分別為邊AB、AC的中點，D是直線EF與BI的交點。證明：M、N、D三點共線。2. 連接AD，則易知。連接AI、DM，DM與AC交于點G。因為，所以，故，從而連接IG、IC、IM，則所以I、M、C、G四點共圓，從而，因此G與N重合，即M、N、D三點共線。7. 杰克(Jack)船長與他的海盜們掠奪到6個珍寶箱，其中內有金幣枚，i=1、2、3、4、5、

5、6，諸互不相等。海盜們設計了一種箱子的布局圖(如圖)，并推派一人和船長輪流拿珍寶箱。每次可任意拿走不和兩個或兩個以上的箱子相連的整個箱子。如果船長最后所取得的金幣不少于海盜們所取得的金幣，那么船長獲勝。問：若船長先拿，他是否有適當的取法保證獲勝？ 3. 當箱子數為2時，船長有必勝之策略。【引理1】當箱子數為4時，船長有必勝之策略。當箱子數為4時，共有兩種不同的鏈結在一起的方式第一種情況第二種情況第一種情況時在開始的第一輪船長有在外部的三個箱子可挑選，船長當然挑選這三個箱子中最多金幣的箱子，海盜只能拿剩下來的兩個箱子之一，無法取得中央的箱子.經過第一輪后，船長拿到的金幣不少于海盜，此時剩下兩個箱

6、子，船長可以拿金幣較多的箱子，因此船長必勝。第二種情況時：將4個箱子黑白相間涂色，如下圖所示：若在兩個涂黑色箱子內金幣的數量總和不少于兩個涂白色箱子內金幣的數量總和，則開始時船長取所能拿到的黑色箱子，迫使海盜接下來只能取白色箱子，當海盜拿完后又露出一個黑色箱子讓船長拿，從而船長可拿光所有黑色箱子而獲勝否則船長可以拿光所有白色箱子而獲勝回到原題。假設a6內金幣的數量不少于a5，則船長先取能拿到的箱子中最多金幣的一個箱子，海盜拿后，還剩四個箱子.問題轉化為四個箱子的情形。假設a5內金幣的數量多于a6，且不妨假設a1內金幣的數量比a2多，則船長將a1, a3與a5涂白色，其他的箱子涂黑色，如下圖所示

7、現在檢驗涂白色箱子內金幣的數量總和是否不少于涂黑色箱子內金幣的數量總和.若是，則船長能拿光所有白色箱子藉由涂色法而獲勝.若否，則船長先拿a6，接下來：(A) 若海盜拿a1，則船長再依次拿而獲勝。(B) 若海盜拿a2，已知a1內金幣的數量比a2多，則船長接著拿a1.雖然船長不能拿光所有黑色箱子，但因為a1內金幣的數量比a2多，二者替換之后船長一點都不吃虧，最終仍然可獲勝(C) 若海盜拿a5，則船長接著拿a4，接著：(i)若海盜拿a1，則船長拿而獲勝(ii)若海盜拿a2，已知a1內金幣的數量比a2多，則船長接著拿a1，可獲勝。故不論原先箱子內的金幣數為多少，船長均有恰當的取法保證獲勝8. 設n為正

8、整數，表示滿足以下條件的n位數(稱為波形數)的個數：(i)每一位數碼，且，i=1、2、；(ii) 當時，與的符號相反，i=1、2、。(1) 試求的值； (2) 確定被13除得的余數。當時，稱滿足的n位波形數為A類數，其個數為；而滿足的n位波形數為B類數，據對稱性，當時，其個數也是；于是。今求：用表示末位為i的k位A類波形數的個數,則。由于，則(i)當k為偶數時，；(ii)當k為奇數時，；易知, 則。由此，所以；又由，所以。類似可求得，.一般地，當時， 今證(1)如下：對n歸納，n=5、6、7、8皆已驗證，設(1)直至n皆成立，考慮n+1情況。當n為偶數，據(i)、(ii)，而，則因為，；這時有。當n為奇數，而，, 則因為，這時也有。故(1)式對于n+1也成立，從而由歸納法得，對所有，(1)式皆成立。據(1)得，所以。今考慮的