1、第六章 不定積分 引言我們知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象，前面幾章我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的微分學(xué)理論，主要內(nèi)容包括導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和導(dǎo)函數(shù)的分析性質(zhì)，而其基本問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的計(jì)算給定已知函數(shù)，求出它的導(dǎo)數(shù)；但在某些實(shí)際問(wèn)題中，往往需要考慮與之相反的問(wèn)題求一個(gè)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一個(gè)給定的函數(shù)這就是所謂的積分問(wèn)題。看一個(gè)例子：例1 一個(gè)靜止的物體，其質(zhì)量為m=1， 在力 的作用下沿直線運(yùn)動(dòng)，給出物體的運(yùn)動(dòng)速度所滿足的方程。解、由所給的條件，可以利用Newton第二定理計(jì)算出物體的加速度為, 因而，若設(shè)其速度為，則。因此，這個(gè)問(wèn)題本質(zhì)就是：已知導(dǎo)函數(shù)， 求原來(lái)的函數(shù)。這類(lèi)問(wèn)題

2、在實(shí)際應(yīng)用和工程技術(shù)領(lǐng)域中還有很多，如幾何問(wèn)題中常見(jiàn)的已知切線求曲線問(wèn)題、自然界中廣泛存在的反應(yīng)擴(kuò)散現(xiàn)象等，因而，這類(lèi)問(wèn)題有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。特別是在17世紀(jì)，這類(lèi)問(wèn)題是當(dāng)時(shí)物理和幾何學(xué)中急待解決的問(wèn)題，是擺在數(shù)學(xué)家面前的重要的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)3百多年的努力，今天，這類(lèi)問(wèn)題不僅已經(jīng)得到徹底的解決，而且已經(jīng)形成了完整且完美的數(shù)學(xué)理論積分學(xué)理論：稱(chēng)這類(lèi)由導(dǎo)函數(shù) 求 原來(lái)函數(shù) 的運(yùn)算為積分運(yùn)算，研究這類(lèi)運(yùn)算及其相關(guān)的理論就是積分學(xué)理論。我們將在本章和下一章引入這種理論。為了引入這種理論，先引入基本概念。§1不定積分概念與基本積分公式一 、 原函數(shù)與不定積分我們引入積分理論中的基

3、本概念。定義1.1設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上有定義且可導(dǎo)，若， ，則稱(chēng)為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。注、由定義，若為的一個(gè)原函數(shù)，則從導(dǎo)數(shù)角度，為的導(dǎo)函數(shù)，這也反映了原函數(shù)何導(dǎo)函數(shù)的緊密關(guān)系。注、由定義還可知，原函數(shù)必可導(dǎo)，因而，具有導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。由定義，引言中提到的問(wèn)題就是計(jì)算函數(shù)的原函數(shù)。我們引入了原函數(shù)的定義，接下來(lái)自然考慮的問(wèn)題是：?jiǎn)栴}1對(duì)給定函數(shù)的 ，在什么條件下原函數(shù)存在？問(wèn)題2 若原函數(shù)存在，其個(gè)數(shù)是否唯一；在何意義下唯一？問(wèn)題3 若函數(shù)的原函數(shù)存在，如何將它求出？對(duì)問(wèn)題1原函數(shù)的存在性問(wèn)題，我們首先指出：若連續(xù)，則其原函數(shù)必存在，關(guān)于結(jié)論的證明及原函數(shù)一般的存在條件將在下一章給出。對(duì)問(wèn)題2，由

4、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，很容易得到原函數(shù)的不唯一性，這就是下述定理。定理1.1設(shè)是在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則1）、也是在上的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù)；因而，原函數(shù)不唯一。2）、在上的任何兩個(gè)原函數(shù)之間，只可能相差一個(gè)常數(shù)，即在相差一個(gè)常數(shù)的意義下，原函數(shù)是唯一的。證明：1）、結(jié)論是明顯的。2）、設(shè)F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則，故，存在常數(shù)C，使得。注、定理1.1 的證明體現(xiàn)了處理原函數(shù)問(wèn)題的思想，將積分關(guān)系轉(zhuǎn)化為微分關(guān)系來(lái)證明，即若證明的原函數(shù)是，只需驗(yàn)證：。如引言的例1，相當(dāng)于求的原函數(shù)，由于，因而，的原函數(shù)即速度為：，這是不唯一的。換句話說(shuō)，在例1 的條件下，確定的速度不唯一。但若增加條件

5、：如設(shè)初始速度為0，即，代入得，因而，此時(shí)，速度是唯一的，即。 既然原函數(shù)不唯一，在存在的情況下，如何表示原函數(shù)就變得非常重要。因?yàn)榱己玫姆?hào)系統(tǒng)對(duì)相關(guān)理論的發(fā)展相當(dāng)重要，為此，引入不定積分。定義1.2 函數(shù)在區(qū)間上的原函數(shù)的全體稱(chēng)為在上的不定積分，記為：其中積分號(hào)，被積函數(shù)，被積表達(dá)式，積分變量。注、是一個(gè)整體記號(hào)所有原函數(shù)的表示。注、不定積分與原函數(shù)是總體與個(gè)體的關(guān)系，即若是的一個(gè)原函數(shù)，由定理1.1,我們知道，任何原函數(shù)與相差一個(gè)常數(shù)，因而，任何原函數(shù)都可以表示為，或者說(shuō)，表示了的所有原函數(shù)，因此，由不定積分的的定義，于是，=，此時(shí)稱(chēng)為積分常數(shù)，它可取任意實(shí)數(shù)。這個(gè)等式就是原函數(shù)與不定積

6、分的基本關(guān)系式，它將一個(gè)不確定的整體量所有的原函數(shù)通過(guò)一個(gè)個(gè)體具體的某個(gè)原函數(shù)確定下來(lái)，為處理不定積分問(wèn)題，如性質(zhì)研究、不定積分的計(jì)算等提供了處理的思想和方法，換句話說(shuō)，為研究不定積分的性質(zhì)，只需研究某一個(gè)原函數(shù)的性質(zhì)，為級(jí)數(shù)不定積分，只需計(jì)算一個(gè)原函數(shù)。至此，唯一性問(wèn)題也得到解決，因而，本章的主要目的就是問(wèn)題3不定積分的計(jì)算。為此，我們先在存在性的條件下，給出用于計(jì)算的基本性質(zhì)。性質(zhì)1先積后導(dǎo)正好還原。分析 要證明原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為某個(gè)函數(shù)，只需直接求導(dǎo)進(jìn)行直接驗(yàn)證，但是，由于不定積分是原函數(shù)的全體，是一個(gè)原函數(shù)族，具有不確定性，因此，為了求導(dǎo)，必須將其確定，這就聯(lián)想到不定積分的原函數(shù)表達(dá)式，通

7、過(guò)一個(gè)具體的原函數(shù)將其確定，以便進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算，這就是證明的思路。證明：設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則由定義，=，故，。性質(zhì)2先導(dǎo)后積為還原后加上一個(gè)常數(shù)（不能完全還原）。分析證明一個(gè)函數(shù)是另一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題的一般形式為，處理這類(lèi)問(wèn)題的思想是將其轉(zhuǎn)化為微分關(guān)系來(lái)驗(yàn)證，即等價(jià)于驗(yàn)證。證明：由于，因而，由定義得：。注、性質(zhì)1、2表明積分“幾乎”是微分的逆運(yùn)算。注、性質(zhì)2給出了不定積分計(jì)算的最基本的方法和公式，即只需將被積函數(shù)寫(xiě)為導(dǎo)數(shù)形式，這也成為將要給出的基本公式的計(jì)算思想。例1 證明： 。證明：由于故，。例2 證明：1）、； 2）、 。證明：由于因而，兩式同時(shí)成立。 注、例2表明，

8、同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)可以有不同的形式，有時(shí)形式上的差別是很大的。這也暗示了不定積分計(jì)算的復(fù)雜性。不定積分的幾何意義：若是的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng)的圖象為的一條積分曲線。于是，的不定積分在幾何上表示的某一條積分曲線沿縱軸方向任意平移所得一組積分曲線組成的曲線族。且曲線族中，在每一條積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處作切線，則這些切線互相平行。 yx二 不定積分的基本公式由于不定積分的定義不象導(dǎo)數(shù)定義那樣具有確定性和構(gòu)造性，這就使得不定積分的計(jì)算要比求導(dǎo)數(shù)計(jì)算難得多，因此，我們只能先按照微分法的已知結(jié)果去試探。首先，利用性質(zhì)2，我們把基本導(dǎo)數(shù)公式改寫(xiě)成對(duì)應(yīng)的基本積分公式：1、；2、；3、，；4、，；5、；6、，

9、；7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、。牢記上述基本積分公式。注、關(guān)于公式4的說(shuō)明：當(dāng)x>0時(shí)，公式顯然成立；當(dāng)x<0時(shí)，因而，公式4仍成立。三 不定積分的運(yùn)算法則上述不定積分的公式只能給出最簡(jiǎn)單函數(shù)的原函數(shù)，為了計(jì)算更復(fù)雜的函數(shù)的不定積分，給出更進(jìn)一步的計(jì)算法則。定理1.2 （積分的線性）若函數(shù)與在區(qū)間上都存在原函數(shù)，為兩個(gè)任意常數(shù)，則 也存在原函數(shù)，且。證明：由條件得，都存在，且故，因而，。注、線性法則的一般形式為： 。例3 求。解、原式。例4 求。分析 轉(zhuǎn)化為基本公式再計(jì)算。 解、 。注、計(jì)算不定積分時(shí)，一定不要忘了積分常數(shù)C。再看一個(gè)不定積分的幾何應(yīng)用。

10、例5 已知給定曲線的切線斜率為，求此曲線。又若曲線還過(guò)（0，0）點(diǎn)，求此曲線。解、設(shè)曲線的方程為，則由微分的幾何意義，故，顯然，這是一個(gè)曲線族。若曲線過(guò)點(diǎn)（0，0）,則 0，因而，此時(shí)曲線為。例6 設(shè)，證明：在（1，1）上不存在原函數(shù)。證明：若有原函數(shù)F(x),由定義，F(xiàn)(x)可導(dǎo)因而連續(xù)，且由F(x)在x=0點(diǎn)連續(xù)，得，因而，故。又由定義，特別有，與矛盾。或：若有原函數(shù)F(x),由定義，F(xiàn)(x)可導(dǎo)，且，利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，至多有第二類(lèi)間斷點(diǎn)，但是，x0是的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。習(xí)題 1、驗(yàn)證是的原函數(shù)。 2、驗(yàn)證和都是的一個(gè)原函數(shù)。3、設(shè)在區(qū)間I上有原函數(shù)F（x），證明：對(duì)任意的，和至少有一個(gè)不存在

11、，即若為的間斷點(diǎn)，則必為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。4、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)是，計(jì)算的原函數(shù)。5、設(shè)有一個(gè)原函數(shù)為，計(jì)算的原函數(shù)。6、設(shè)，求。7、設(shè)，計(jì)算。8、計(jì)算下列不定積分。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、 7）、； 8）、；9）、； §2 不定積分計(jì)算（一）、換元積分法正如由一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以得到一般的復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣，不定積分的計(jì)算也是由簡(jiǎn)單的基本公式出發(fā)，利用技巧和運(yùn)算法則計(jì)算更復(fù)雜的不定積分。但是，相對(duì)于函數(shù)的求導(dǎo)而言，盡管不定積分的計(jì)算是求導(dǎo)的“逆運(yùn)算”，不定積分的計(jì)算仍然復(fù)雜得多，要困難得多，不僅會(huì)出現(xiàn)同一函數(shù)的不定積分可以具有完全不同形式的結(jié)果，甚至?xí)?/p>

12、現(xiàn)很簡(jiǎn)單形式的不定積分不能計(jì)算，即不能用初等函數(shù)表示的不定積分，如、等。這都表明了不定積分的計(jì)算類(lèi)型多，難度大。因此，對(duì)方法和技巧上的要求比較高，從本節(jié)開(kāi)始，我們分幾個(gè)小節(jié)的篇幅討論不定積分的計(jì)算。計(jì)算的出發(fā)點(diǎn)是針對(duì)一些特殊結(jié)構(gòu)的不定積分引入相應(yīng)的計(jì)算方法與技巧。當(dāng)然，所有方法與技巧的思想方法都是一致的：即將所求不定積分通過(guò)不同的技術(shù)處理最終轉(zhuǎn)化為能用積分基本公式或已知結(jié)論表示的不定積分，并最終得到結(jié)果。由于各種方法和技巧針對(duì)性強(qiáng)，因此，要求通過(guò)一定量的練習(xí)達(dá)到熟練掌握之目的。一、簡(jiǎn)單換元法“湊”微分法先看一個(gè)例子。例1 計(jì)算。分析與之相關(guān)的、已知的基本公式為=e+C，分析二者之差別，基本公式

13、中要求：冪指數(shù)x與積分變量x形式是一致的,而要計(jì)算的不定積分中，二者是不一致的，相差因子2，為此，“湊”上因子2，使之變?yōu)閮缰笖?shù)2x的微分形式，即2dx=d(2x)，這樣形式上就與基本公式一致，可以用基本公式求解。解、原式= （e+C）。上述過(guò)程所用方法就是“湊”微分方法。其實(shí)質(zhì)就是通過(guò)分析被積函數(shù)f(x)的結(jié)構(gòu)，在微分因子dx“湊”上某個(gè)微分因子，使其成為另一因子的微分形式dx=d；然后以為基本變量，將f(x)表示為以為變量的形式g(),即f(x)=g()，然后，利用基本公式給出結(jié)果。進(jìn)一步分析例1的求解過(guò)程，可以看出，湊微分方法也可視為變量代換（換元）過(guò)程：即e+C（e+C）因此，“湊”微

14、分法也稱(chēng)簡(jiǎn)單換元法。通過(guò)以上分析，給出“湊”微分法的求解過(guò)程:=F(t)+CF(其中。分析上述求解過(guò)程可知，湊微分法能夠進(jìn)行的前提條件為：1）、能表示為；2）、能用基本公式或簡(jiǎn)單的計(jì)算得到結(jié)論。下面，利用“湊”微分法計(jì)算幾個(gè)例子。關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)要“湊”的微分因子，這個(gè)過(guò)程，通常是通過(guò)與相類(lèi)似的基本公式作比較來(lái)完成的。例2求。分析通過(guò)分析結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)本題結(jié)構(gòu)與基本公式中=類(lèi)似，可以考慮通過(guò)湊因子方法或簡(jiǎn)單換元轉(zhuǎn)換為基本類(lèi)型。解、原式=。分析下面例題的結(jié)構(gòu)，通過(guò)與基本積分公式的對(duì)比，確定湊的微分因子，然后求解；當(dāng)然，先將被積函數(shù)簡(jiǎn)化是非常必要的。 例3計(jì)算下列不定積分：1）、 ， 2）、（a>0)，

15、 3）、 ， 4)、， 5）、。 解：1）、沒(méi)有直接的對(duì)應(yīng)公式，但注意到被積函數(shù)可通過(guò)因式分解進(jìn)行化簡(jiǎn)，因此，應(yīng)先化簡(jiǎn)再分析結(jié)構(gòu)，最后計(jì)算。原式。2）、相對(duì)應(yīng)的基本公式為，故原式=。注、上面幾個(gè)例子，基本沒(méi)涉及“湊”微分法3）、原式=4）、 原式= =。5）、 原式= =-t+=。注、從解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，有時(shí)要湊的因子，正是被積函數(shù)中的某個(gè)因子。注、利用三角函數(shù)關(guān)系(包括微分關(guān)系)進(jìn)行因子之間轉(zhuǎn)化是常用的技巧。注、利用“湊”微分法時(shí)，關(guān)鍵是選擇一個(gè)合適因子湊成微分形式，因此要熟練掌握一些常用的微分形式：,， ， ，。 再看幾個(gè)復(fù)雜的例子。 例4，計(jì)算下列不定積分1） ， 2） ， 3）， 4）。

16、解、1）、 原式=；2）、原式=；3）、原式=；或者原式=；4）、原式=。注、例4中積分的特點(diǎn)是被積函數(shù)是由兩類(lèi)不同結(jié)構(gòu)的因子組成，處理這類(lèi)問(wèn)題的思想就是利用一定的法則，消去其中的一類(lèi)因子。換元法給出了處理這類(lèi)問(wèn)題的第一種方法。注、通過(guò)分析結(jié)構(gòu)，也可以發(fā)現(xiàn)解題的簡(jiǎn)單換元法；如題1），與基本積分公式作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)被積函數(shù)中，比較難處理的因子是，因?yàn)榛竟街蓄?lèi)似的因子是形式，因此，需要將根式去掉，可以通過(guò)換元達(dá)到目的，如令；對(duì)其它例子，也可以通過(guò)類(lèi)似的分析，確定相應(yīng)的換元公式。從而可以體會(huì)到：湊微分法或簡(jiǎn)單換元法的本質(zhì)就是通過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚恚愐蜃印Q元）將被積函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單化，這也是解決問(wèn)題的一般性思

17、想方法。例5計(jì)算：1）； 2) 。 解、1）原式= =。或用倍角公式化簡(jiǎn)更簡(jiǎn)單，原式=； 2）原式= 。注、充分利用三角函數(shù)關(guān)系式簡(jiǎn)化被積函數(shù)是常用的技巧。注、不定積分的結(jié)果形式可以不同，因此，在得到結(jié)果后，可以利用求導(dǎo)的方法驗(yàn)證結(jié)果的正確性。湊微分法具有局限性，只能用來(lái)處理簡(jiǎn)單的題目，需要進(jìn)一步引用其它的方法以解決更廣的題目。換元積分法就是處理又一類(lèi)題目的有力工具。二、換元積分法定理2.1設(shè)連續(xù)，具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，存在連續(xù)的反函數(shù)，且，則 。分析這是不定積分的驗(yàn)證的命題，處理方法是驗(yàn)證對(duì)應(yīng)的微分關(guān)系式成立，即要證明積分關(guān)系 ，只須證明等價(jià)的微分關(guān)系。證明：由于 ， 故。利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

18、，則 ，其中 或 ， 。故，因而，。定理2.1 就是換元積分法，從定理2.1可以看出，利用換元積分法計(jì)算不定積分的過(guò)程為：。從過(guò)程看，要計(jì)算不定積分首先通過(guò)換元將其轉(zhuǎn)化為，從形式上看，比更復(fù)雜，實(shí)際上正相反，比更簡(jiǎn)單，應(yīng)該是基本型，因而能容易計(jì)算出結(jié)果，因此，換元積分法的思想是通過(guò)合適的變量代換，將簡(jiǎn)化為，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算的目的。在使用換元法的時(shí)，應(yīng)先分析被積函數(shù)中復(fù)雜的因子，通過(guò)引入新變量將被積函數(shù)簡(jiǎn)單化（和湊微分法的思想是一致的）。例6計(jì)算分析復(fù)雜的因子為，故可通過(guò)引入變量代換t=,將復(fù)雜的因子化為簡(jiǎn)單因子t，但要注意，此因子的化簡(jiǎn)過(guò)程中盡可能不要使其它因子過(guò)于復(fù)雜化。解：令t=，則 ， 故原

19、式= =注、將復(fù)雜因子通過(guò)換元變?yōu)楹?jiǎn)單因子t的同時(shí)，可能會(huì)帶來(lái)被積函數(shù)中其它簡(jiǎn)單因子（包括積分變量的微分dx）的復(fù)雜化，如x，選取的換元應(yīng)使得這種復(fù)雜化不是本質(zhì)的、結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜化，否則這種換元是沒(méi)有意義的。例7計(jì)算。分析復(fù)雜的因子為，直接按多項(xiàng)式展開(kāi)計(jì)算量太大，為此，通過(guò)換元得換元將其簡(jiǎn)化。解：令t，則原式=。注、例7也可以通過(guò)變換將復(fù)雜因子簡(jiǎn)單化。例8 計(jì)算分析這是有理分式的不定積分，可由通用的有理分式積分法來(lái)解決，但有更簡(jiǎn)單的方法，這類(lèi)積分的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：分母的最高冪次項(xiàng)為單獨(dú)因子，如，因此，可通過(guò)倒代換的方法將高冪次轉(zhuǎn)移到分子上，從而降低分母的冪次。解：令，則原式= =。例9計(jì)算。分析這類(lèi)

20、題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是出現(xiàn)了關(guān)于x的不同的分式冪次，即出現(xiàn)根式，處理方法是通過(guò)取整代換同時(shí)消去不同的根式，化為有理分式解、令，則原式= =。最后介紹三角函數(shù)代換，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)中含有因子或者 ，通過(guò)適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)變換去掉根式。常用的三角公式有：，。例10計(jì)算：1）、，2）、，3）、 。解：1）、原式= = =，這里用到關(guān)系式：。2）、原式+C =3）、原式 =+C.注、換元法涉及題型多，技巧多，要多練。注、要牢記上述的結(jié)論，這些構(gòu)成計(jì)算更復(fù)雜的不定積分的基礎(chǔ)。習(xí)題1、用湊微分法計(jì)算下列的不定積分。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、；6）、； 7）、；8）、 9）、； 10）、；1

21、1）、；12）、。2、利用換元積分法計(jì)算。1）、； 2）、；3）、； 4）、； 5）、； 6）、；7）、； 8）、；9）、； 10）、；11）、；12）、； 13）、； 14）、。 15）、；§3 不定積分計(jì)算二、分部積分法分部積分法是計(jì)算不定積分的又一重要方法，它借助于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，實(shí)現(xiàn)被積函數(shù)各因子間的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移，通過(guò)求導(dǎo)簡(jiǎn)化被積函數(shù)或?qū)С霾欢ǚe分所滿足的方程，進(jìn)而達(dá)到不定積分計(jì)算之目地。不定積分的分部積分方法的依據(jù)下述微分運(yùn)算法則。設(shè) u,v都是可微函數(shù)，則因此，如果下述涉及到的不定積分都存在，則，因而，。這就是分部積分公式。這一公式的另一形式為：。特別，。分析上述公式表明，將不

22、定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算不定積分，觀察這兩個(gè)不定積分可知，分部積分法的實(shí)質(zhì)是：被積函數(shù)各因子間實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)移，即原積分中對(duì)因子v的求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為對(duì)因子u的求導(dǎo)。其目的是：通過(guò)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移，實(shí)現(xiàn)不定積分結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單化；因此，原則上要求要比簡(jiǎn)單，這也是利用分部積分法時(shí)選擇因子u，v的原則，即應(yīng)該這樣選擇u,v； 選擇v：使得v，結(jié)構(gòu)上變化不大； 選擇u：使得比u結(jié)構(gòu)上更簡(jiǎn)單。因此，在包含因子等的不定積分中，由于這些因子的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)沒(méi)有發(fā)生變化，故通常將這些因子選為v；而在包含因子如，等因子中，常將這些因子選為u，因?yàn)橥ㄟ^(guò)這些因子的求導(dǎo)，可以使它們有理化，如，有理化后的因子更容易處理。看幾個(gè)例子。例1計(jì)算下列不定

23、積分：1）、，2）、 ，3）、，（n>0）。解、1）、原式的被積函數(shù)中，含有兩種結(jié)構(gòu)的因子，必須改變或削去其中的一種結(jié)構(gòu)，由于導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以改變或削去某種結(jié)構(gòu)，因而，可以采用分部積分法處理，對(duì)本題，因子不能通過(guò)求導(dǎo)改變或削去，而因子可以通過(guò)求導(dǎo)削去，由此確定了分部積分時(shí)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移的因子的選擇。原式=。2）、利用分部積分公式，通過(guò)求導(dǎo)將因子的反三角函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為有理式結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)被積函數(shù)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單化。原式=。3）、通過(guò)求導(dǎo)削去對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的因子。原式。注、例子表明，當(dāng)被積函數(shù)是兩類(lèi)不同因子的積時(shí)，利用分部積分，通過(guò)導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化或消去了其中一類(lèi)因子，實(shí)現(xiàn)不定積分的計(jì)算，因此，分部積分法是處理被積函數(shù)

24、具有兩類(lèi)不同結(jié)構(gòu)的因子的積分的又一個(gè)有效方法。分部積分方法涉及到的另一類(lèi)題目是利用分部積分得到一個(gè)遞推公式或包括所求不定積分的一個(gè)方程，然后再求解。例2 計(jì)算下列不定積分：1）、I=， 2）、I=，3）、, 4)、，5)、。解 :1）、I= = = =故 ， I=。2）、 I= = =故，。注、若記 I=，J=。則可看出二者可相互轉(zhuǎn)化，即 I=， J=。也可通過(guò)求解方程組計(jì)算I，J（配對(duì)積分）。3）、若，則； 若，則 = =又，由此可計(jì)算。4）、 = =故 ， ，且，。5）、 = = =故，且 （n為偶數(shù)時(shí)，只需計(jì)算）， （n為奇數(shù)時(shí)，只需計(jì)算）。注、這類(lèi)題目需要給出遞推公式和初值。對(duì)較為復(fù)雜

25、的題目，可以通過(guò)分部積分削去不易計(jì)算的那部分，或?qū)⒈环e函數(shù)化簡(jiǎn)為完全微分形式，從而達(dá)到計(jì)算整個(gè)不定積分。例3 計(jì)算。解、法一、分析 被積函數(shù)有兩種結(jié)構(gòu)的因子，但是，不能直接通過(guò)求導(dǎo)改變或削去其中的一個(gè)因子，為此，我們先對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，特別是對(duì)計(jì)算中難以處理的部分進(jìn)行簡(jiǎn)化，本題中應(yīng)先簡(jiǎn)化分母，然后用分部積分法在相應(yīng)的項(xiàng)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)抵消不能計(jì)算的部分，達(dá)到計(jì)算的目的。 法二、利用倍角公式簡(jiǎn)化被積函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為完全微分形式。注、兩種方法的思想是一致的。習(xí)題1、計(jì)算下列不定積分。1）、，n>2； 2）、；3）、； 4）、；5）、； 6）、；7）、；8）、；9）、； 10）、；2、給出

26、下列不定積分的遞推公式。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、。3、設(shè)為的原函數(shù)，且，計(jì)算。§4 不定積分的計(jì)算三、有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分稱(chēng)形如的函數(shù)為有理函數(shù)，其中分別為n次，m次多項(xiàng)式；相應(yīng)地，稱(chēng)積分為有理函數(shù)的不定積分，本節(jié)討論這種不定積分的計(jì)算。 1、代數(shù)知識(shí)給定有理函數(shù)（有理分式），當(dāng)n<m時(shí)， 稱(chēng)其為真分式， 當(dāng)nm時(shí)，稱(chēng)其為假分式。由于對(duì)假分式可做如下分解： 假分式=多項(xiàng)式+真分式因此，對(duì)有理函數(shù)的不定積分，只需考慮真分式的不定積分。真分式不定積分的計(jì)算，關(guān)鍵在于實(shí)現(xiàn)對(duì)真分式的分解，將其分解為最簡(jiǎn)分式形式，因此，只需解決最簡(jiǎn)分式的不定積分的計(jì)算。

27、下面的兩個(gè)結(jié)論屬于代數(shù)知識(shí)。定理4.1 <多項(xiàng)式分解 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式總可分解為一系列實(shí)系數(shù)一次因子和二次因子的乘冪之積，其中 ，定理4.2 真分式分解 設(shè) 為有理真分式，具有定理4.1中的分解形式，則成立如下分解：+由定理4.2可知，任何一個(gè)真分式都可分解為如下兩種因子之和： ， ， 其中 k ， ， .上述兩個(gè)有理式稱(chēng)為最簡(jiǎn)分式。2、最簡(jiǎn)分式的不定積分計(jì)算先考慮形如的最簡(jiǎn)分式不定積分。顯然，容易計(jì)算，。其次考慮最簡(jiǎn)分式的不定積分。當(dāng)C=0，D=1時(shí)，其中。此結(jié)果已知，見(jiàn)§3例3。當(dāng)C0時(shí)，故， ；=，>1。至此，有理分式的不定積分可以從理論上徹底解決。上述分析表明，有理分

28、式不定積分的計(jì)算通過(guò)將有理分式進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分式，最終轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分式不定積分的計(jì)算，因此，有理式的因式分解是計(jì)算過(guò)程中非常關(guān)鍵的。3、真分式的分解舉例 對(duì)一個(gè)假分式，我們能夠非常容易地將其分解為多項(xiàng)式和真分式的和，因此，我們只討論如何用定理4.1和定理4.2將具體給定的真分式分解為最簡(jiǎn)分式，即如何確定分解式中相應(yīng)的系數(shù)，我們給出具體確定方法。1）、 解方程組方法設(shè)定理4.2的分解結(jié)果成立，將右端通分，等式兩端的分子相等，因此兩端對(duì)應(yīng)的同冪次項(xiàng)的系數(shù)相等，由此得到一個(gè)方程組，求解方程組即可。例1將真分式解、 由定理4.2，可設(shè)則有，比較各項(xiàng)系數(shù)得求解得，故，。上述方法是最基本的，但存在計(jì)

29、算量大的缺點(diǎn)，各種技巧可用于求解過(guò)程，簡(jiǎn)化計(jì)算。2）、 取特殊值的方法。設(shè)定理4.2的分解成立，通過(guò)取 x為特殊的值確定各系數(shù)。例2 將真分式分解為最簡(jiǎn)分式。解、由定理4.2，設(shè)=通分可得取 得 ；取， 得 取， 得 。將代入然后取，則，故。注、還有一些技巧也可用于系數(shù)的確定，如，極限，求導(dǎo)等。注、由于有理函數(shù)不定積分的計(jì)算主要是有理函數(shù)的分解，因此，具體不定積分的計(jì)算，我們就不再舉例。值得指出的是，上述給出的有理函數(shù)的分解計(jì)算方法是這類(lèi)不定積分處理的基本方法，雖然對(duì)給定的一個(gè)題目來(lái)說(shuō)，這個(gè)方法肯定能計(jì)算出結(jié)果，但是，根據(jù)具體結(jié)構(gòu)選擇合適的方法也許更簡(jiǎn)單。例3 計(jì)算真分式的不定積分。分析若直接

30、用真分式分解定理轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)分式的不定積分的計(jì)算，可以看到解題過(guò)程較為復(fù)雜，分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)采用下述方法更簡(jiǎn)單。解：原式由于， ，故， 原式。二、三角函數(shù)有理式的積分。含有三角函數(shù)的不定積分的計(jì)算較為復(fù)雜，通常來(lái)說(shuō)技巧性強(qiáng)，但是對(duì)特定結(jié)構(gòu)的三角函數(shù)的不定積分，其計(jì)算仍具某種規(guī)律性。本小結(jié)，討論三角函數(shù)有理式的積分。設(shè)是兩個(gè)變?cè)猽，v的有理函數(shù)，由于其它三角函數(shù)都可通過(guò)三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為因此，三角函數(shù)的有理式都可轉(zhuǎn)化為形式，因而，我們只討論形如的三角函數(shù)有理式的不定積分的計(jì)算。計(jì)算的一般性方法就是萬(wàn)能代換法，即通過(guò)變量代換，將其化為有理函數(shù)的不定積分，事實(shí)上，若令，則利用三角公式 ：，而，故，故

31、，后者便是有理函數(shù)的不定積分，其計(jì)算是已知的。例4 計(jì)算。解、利用萬(wàn)能公式，則，故 原式= = =。萬(wàn)能代換法是處理三角函數(shù)有理式積分的普通方法，但是，借助三角函數(shù)之間特殊的關(guān)系式，針對(duì)特殊結(jié)構(gòu)的三角函數(shù)有理式的不定積分采用特殊的方法則更為簡(jiǎn)單。如例4的下述解法更簡(jiǎn)單。例4的解法2、 原式= =。因此，我們必須在掌握基本方法的基礎(chǔ)上，對(duì)具體問(wèn)題具體分析，利用其自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)尋找最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法。再看一系列特殊結(jié)構(gòu)的題目。如:.。.上述例子充分利用了三角函數(shù)的積化和差公式、倍角公式，特別是倍角公式是偶次冪正（余）弦函數(shù)降冪的有效方法。下面的例子也很有技巧性。例5 求。解、原式。充分利用三角函數(shù)的微分性質(zhì)是這類(lèi)不定積分計(jì)算的又一技巧。例6 求1）、，2）、。分析1）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是分子和分母具有相同的結(jié)構(gòu)，都是asinx+bcosx形式，不僅如此，其微分形式保持結(jié)構(gòu)不變性: d(asinx+bcosx)=(acosx-bsinx)dx因而，可將分子按分母和分母的微分形式進(jìn)行分解，從而，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。解、1）由于 ，故，若令則 A=2，B=1，因而，原式=。注、總結(jié)一下這類(lèi)題目的特點(diǎn)和求解方法如下：第一