1、開一數學組教研材料 （裂項相消法求和之再研究 ） 張明剛一項拆成兩項，消掉中間所有項，剩下首尾對稱項基本類型：1.形如型。如；2.形如an型；3.4.5.6.形如an型7.形如an型；8.9.形如an型；10.11.12.13.14.15.利用兩角差的正切公式進行裂項把兩角差的正切公式進行恒等變形，例如 可以另一方面，利用，得16 利用對數的運算性質進行裂項對數運算有性質，有些試題則可以構造這種形式進行裂項.17 利用排列數或組合數的性質進行裂項排列數有性質，組合數有這樣的性質，都可以作為裂項的依據.例7 求和：分析 直接利用可得結果是.18.求和：.有，從而.裂項相消法求和之再研究一項拆成兩

2、項，消掉中間所有項，剩下首尾對稱項 一、多項式數列求和。（1）用裂項相消法求等差數列前n項和。即形如的數列求前n項和此類型可設左邊化簡對應系數相等求出A,B。例1：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。（2）用裂項相消法求多項式數列前n項和。即形如的數列求前n項和。此類型可上邊化簡對應系數相等得到一個含有m元一次方程組。說明：解這個方程組采用代入法，不難求。系數化簡可以用二項式定理，這里不解釋。解出。再裂項相消法用易知例2：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。二、二、多項式數列與等比數列乘積構成的數列。（1）用裂項相消法求等比數列前n項和。即形如的數列求前n項和。這里不妨設。（時為常數列，前

3、n項和顯然為）此類型可設，則有，從而有。再用裂項相消法求得例3：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有，從而有，故。（2）用裂項相消法求等差數列與等比數列乘積構成的數列前n項和。即形如的數列求前n項和。此類型通常的方法是乘公比錯位錯位相減法，其實也可以用裂項相消法。這里依然不妨設，（時為等差數列，不再贅述。）可設，則有，從而得到方程組，繼而解出A，B。再用裂項相消法求得例4：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有，從而得到方程組，解得。（3）用裂項相消法求多項式數列與等比數列乘積構成的數列前n項和。即形如的數列求前n項和。此類型有一個采用m次錯位相減法的方法求出，但是當

4、次數較高時錯位相減法的優勢就完全失去了。同樣這里依然不妨設，（時為多項式數列，不再贅述。）下面介紹錯位相減法的方法：設。先對上式化簡成的形式，其中是用來表示的一次式子。同樣讓對應系數相等得到一個m元一次方程組，用代入法可以解出再用用裂項相消法求得。例5：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：設，則有從而得到，解得，所以事實上裂項求和適合用于所有能將化成形式的所有數列，與存在形式上相似性，從而利用待定系數法的方式得到的表達式，最終可以得到。這里部分可用倒敘相加法的數列不能使用此法是因為它沒有一個統一形式不帶省略號的前n項和公式。例如調和數列也不能用此法，事實上調和數列是不可求前n項和的數列。

5、四、結論。 從上面的論斷不難得出裂項相消法，適合所有可求前n項和的數列。不愧為數列求前n項和的萬能方法。不過值得肯定的是有部分數列利用裂項相消法，不易找出它的裂項方法，尤其是與指數函數，對數函數，三角函數這些比較高級的基本初等函數相關的初等函數。對于前兩個大點得出的結論，我們當然也可以使用待定系數法來求，只是不要忘記它們都是用裂項相消法證明出來的結論。保留原來的參數得到結論也可以使用，從而直接得出待定參數的值，但對記性的要求很高，這里就不再啰嗦。例6：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：設則所以，解得，所以例7：已知數列的通項公式為，求它的前n項和。解：例8：已知數列的通項公式為，求它的前n項和，。解：，作業：1、請用裂項相消法求下列各數列的和.（1）已知數列的通項公式為，求它的前n項和。（2）已知數