1、第九講 無(wú)窮級(jí)數(shù)9.1 級(jí)數(shù)的知識(shí)框架9.1.1 級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)1叫做無(wú)窮級(jí)數(shù)2稱為部分和,若稱無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂3性質(zhì)1） 收斂到，則收斂到.2） ,收斂到,則級(jí)數(shù)收斂到.3） 在級(jí)數(shù)中去掉,加上或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.4） 如果級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)(4)仍收斂,且其和不變.5） 收斂,則9.1.2 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)9.1.3 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 冪級(jí)數(shù)2 付氏級(jí)數(shù) 狄利克雷收斂定理要求總體理解概念，重點(diǎn)掌握冪級(jí)數(shù)9.2 例題例1 判別下列說(shuō)法正確與否1）數(shù)列與級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；2）收斂，發(fā)散，則發(fā)散；3）發(fā)散，發(fā)散，則發(fā)散；4）收斂，收斂

2、，則收斂；5）發(fā)散，發(fā)散，則發(fā)散；6）收斂，則收斂；7）收斂，則收斂；8）收斂，則收斂；9），收斂，則收斂。解 1）錯(cuò)；2）對(duì)；3）錯(cuò)；4）錯(cuò)；（5）錯(cuò)；（6）錯(cuò) ;(7)錯(cuò)；（8）錯(cuò)；（9）。例2 選擇題1）設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下面結(jié)論正確的是（A）若收斂，則，當(dāng)時(shí)，；（B）若發(fā)散，則，當(dāng)時(shí)，；（C）若，當(dāng)時(shí)，則收斂；（D）若，當(dāng)時(shí)，則發(fā)散；解 選D （A）反例，當(dāng)偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；（B）反例，（C）反例(B)2) 設(shè)收斂（A）則；（B）又設(shè)當(dāng)時(shí)，則收斂。（C）又設(shè)收斂，則收斂。D）設(shè)收斂，則收斂。解 C（A）反例，（B）見(jiàn)例1（8）；（D）見(jiàn)例1（4）（C），當(dāng)時(shí)，3）設(shè)收斂，則（A）絕對(duì)收斂；

3、（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）不定。解 （D） （A）反例，（B）同（A）；（C）反例3) 級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)（A）發(fā)散；（B）條件收斂；（C）絕對(duì)收斂；（D）斂散性不定。解 （C）因收斂，當(dāng)時(shí)，當(dāng)收斂，所以收斂。例3 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(正項(xiàng)級(jí)數(shù))1；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. 解 （略）（1）注意比較極限形式；（2）會(huì)用無(wú)窮小等價(jià)分析；（3）放大法常用。例4 判別級(jí)數(shù)的斂散性，是絕對(duì)收斂還是條件收斂1解 令（），單增，即單減。又，由萊布尼茲收斂法，原級(jí)數(shù)收斂。又發(fā)散，理由，故原級(jí)數(shù)收斂。2解 因?yàn)橛墒諗浚试?jí)數(shù)絕對(duì)收斂。例5 （抽象級(jí)數(shù)的斂散性）（1）已知于

4、上連續(xù)，單減，且，記。證明 收斂，且其和。分析：，故。即單增，有上界，從而有極限，即原（抽象）級(jí)數(shù)收斂。（2）若，都收斂，且，證明 收斂。證 ，而收斂，則收斂，從而收斂。（3）設(shè)收斂，絕對(duì)收斂，證明：絕對(duì)收斂。證 收斂，收斂收斂，有界，即存在，使，故原級(jí)數(shù)收斂。（4） 若正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)上升且有上界，試證明：級(jí)數(shù)收斂。證：?jiǎn)握{(diào)上升，有上界，必有極限，從而有界，存在，使記單增有上界，必有極限，故原級(jí)數(shù)收斂。（小結(jié)：抽象單調(diào)有界）9.3 關(guān)于冪級(jí)數(shù)9.3.1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑于收斂域一、基本內(nèi)容1 若，則2 于內(nèi)收斂。（且內(nèi)閉一致收斂）二、例題例1 求的收斂域。解 令，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，即時(shí)級(jí)數(shù)

5、收斂。解得或級(jí)數(shù)收斂。例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域。解 ，。當(dāng)時(shí)，發(fā)散。當(dāng)時(shí)，收斂。則，即是收斂域。例3 求的收斂域。解 ，得，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，當(dāng)，發(fā)散，收斂域?yàn)槔? 設(shè)在點(diǎn)條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為_(kāi)，收斂區(qū)間為_(kāi) (4,-5<x<3)解 于點(diǎn)收斂，但布絕對(duì)收斂，則是收斂區(qū)間得端點(diǎn)，4，。例5 設(shè)收斂半徑為3，則的收斂區(qū)間為（2，4）解求導(dǎo)后收斂半徑不變，故，從。9.3.2 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、基礎(chǔ)內(nèi)容1或2直接法：僅用上述公式展開(kāi)，研究收斂性3間接法，由如下基本公式演繹展開(kāi)1）2）3）4）5）6）7）二、例題 例1 將于點(diǎn)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。解 例2 將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).解 因?yàn)樵俜e分

6、,由,得例3 將展開(kāi)成得冪級(jí)數(shù)。解 ，故說(shuō)明：1. 如例2，例3求導(dǎo)后易于展開(kāi)，之后積分 2. 被展函數(shù)最多出現(xiàn)的是ln，arctan，這兩類函數(shù)。 3積分后注意考察。9.3.3 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)一、 基本方法1 使用函數(shù)展開(kāi)公式（7個(gè)公式應(yīng)用）2 變換之后使用公式，求導(dǎo)，積分公式可和型變回原型3 和式求導(dǎo)（或積分）于原式結(jié)合微分方程，求和二、 例題例1 求的和函數(shù)解 記 例2 求的收斂域及和函數(shù)。解 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂域?yàn)榱?則例3 求的收斂域及和函數(shù)。解 易得令，解方程得例4 求的和解 考察，則即為所求。易得收斂半徑，而 。說(shuō)明：例1，2，3體現(xiàn)了三種基本方法，例4是一種應(yīng)用。9.4 付氏級(jí)數(shù)付氏級(jí)數(shù)基本知識(shí)點(diǎn)有兩點(diǎn)：函數(shù)展開(kāi)成付氏級(jí)數(shù)；付氏級(jí)數(shù)的收斂性。一、 函數(shù)展開(kāi)成付氏級(jí)數(shù)1定義于上，連續(xù)或分段連續(xù)。2定義于上其中3定義于上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)，做奇延拓，則展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，做偶延拓，則4定義于上將展成正弦級(jí)數(shù)，做奇延拓，則 將展成余弦級(jí)數(shù)，做偶延拓