1、等腰三角形典型例題練習 等腰三角形典型例題練習一選擇題（共2小題）1如圖，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點D到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定2如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個結論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結論的個數是（）A0B1C2D3二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB上的點，DEAC，EFAB，FDBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等

2、于_三解答題（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點O，過點O作DEBC，分別交AB、AC于點D、E請說明DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F，且DE=DF請判斷ABC是什么三角形？并說明理由7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？8如圖，在ABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，A=30&#

3、176;求證：AB=4BD9如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交于點F求證：DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線交AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，求證：BD=2CE11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF

4、=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=_點P到AB邊的距離PE=_12數學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由”小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE_DB（填

5、“”，“”或“=”） （2）特例啟發，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE_DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點E作EFBC，交AC于點F（請你完成以下解答過程）（3）拓展結論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）13已知：如圖，AF平分BAC，BCAF于點E，點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點M若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數量關系，并說明理由14如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相

6、交于點F（1）線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論（2）求BFD的度數15如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF16已知：如圖，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，連接AE、BF問線段AE與BF之間有什么關系？請說明理由17（2006郴州）如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F，CG是AB邊上的高（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關系？并加以證明；（2）若D

7、在底邊的延長線上，（1）中的結論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關系？請說明理由18如圖甲所示，在ABC中，AB=AC，在底邊BC上有任意一點P，則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+PE=CF，若P點在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關系？寫出你的猜想并加以證明等腰三角形典型例題練習參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1如圖，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，則點D到AB的距離為（）A5cmB3cmC2cmD不能確定解答：解：C=90°，AD平分BAC交BC于DD到AB的距離即為CD長CD=5

8、3=2故選C2如圖，已知C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側作等邊ACD和等邊BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N給出以下三個結論：AE=BDCN=CMMNAB其中正確結論的個數是（）A0B1C2D3分析：由ACD和BCE是等邊三角形，根據SAS易證得ACEDCB，即可得正確；由ACEDCB，可得EAC=NDC，又由ACD=MCN=60°，利用ASA，可證得ACMDCN，即可得正確；又可證得CMN是等邊三角形，即可證得正確解答：解：ACD和BCE是等邊三角形，ACD=BCE=60°，AC=DC，EC=BC，ACD+DCE=D

9、CE+ECB，即ACE=DCB，ACEDCB（SAS），AE=BD，故正確；EAC=NDC，ACD=BCE=60°，DCE=60°，ACD=MCN=60°，AC=DC，ACMDCN（ASA），CM=CN，故正確；又MCN=180°MCANCB=180°60°60°=60°，CMN是等邊三角形，NMC=ACD=60°，MNAB，故正確故選D二填空題（共1小題）3如圖，在正三角形ABC中，D，E，F分別是BC，AC，AB上的點，DEAC，EFAB，FDBC，則DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3分析：首先

10、根據題意求得：DFE=FED=EDF=60°，即可證得DEF是正三角形，又由直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關系，即可求得DF：AB=1：，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結果解答：解：ABC是正三角形，B=C=A=60°，DEAC，EFAB，FDBC，AFE=CED=BDF=90°，BFD=CDE=AEF=30°，DFE=FED=EDF=60°，DEF是正三角形，BD：DF=1：，BD：AB=1：3，DEFABC，÷，=，DF：AB=1：，DEF的面積與ABC的面積之比等于1：3故答案

11、為：1：3三解答題（共15小題）4在ABC中，AD是BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且EDF+EAF=180°，求證DE=DF分析：過D作DMAB，于M，DNAC于N，根據角平分線性質求出DN=DM，根據四邊形的內角和定理和平角定義求出AED=CFD，根據全等三角形的判定AAS推出EMDFND即可解答：證明：過D作DMAB，于M，DNAC于N，即EMD=FND=90°，AD平分BAC，DMAB，DNAC，DM=DN（角平分線性質），DME=DNF=90°，EAF+EDF=180°，MED+AFD=360°180°=180

12、°，AFD+NFD=180°，MED=NFD，在EMD和FND中，EMDFND，DE=DF5在ABC中，ABC、ACB的平分線相交于點O，過點O作DEBC，分別交AB、AC于點D、E請說明DE=BD+EC分析：根據OB和OC分別平分ABC和ACB，和DEBC，利用兩直線平行，內錯角相等和等量代換，求證出DB=DO，OE=EC然后即可得出答案解答：解：在ABC中，OB和OC分別平分ABC和ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC=DBO，EOC=OCB=ECO，DB=DO，OE=EC，DE=DO+OE，DE=BD+EC6已知：如圖，D是ABC的BC邊上

13、的中點，DEAB，DFAC，垂足分別為E，F，且DE=DF請判斷ABC是什么三角形？并說明理由分析：用（HL）證明EBDFCD，從而得出EBD=FCD，即可證明ABC是等腰三角形解答：ABC是等腰三角形證明：連接AD，DEAB，DFAC，BED=CFD=90°，且DE=DF，D是ABC的BC邊上的中點，BD=DC，RtEBDRtFCD（HL），EBD=FCD，ABC是等腰三角形7如圖，ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC至E，使CE=CD連接DE（1）E等于多少度？（2）DBE是什么三角形？為什么？分析：（1）由題意可推出ACB=60°，E=CDE，然后根據三角

14、形外角的性質可知：ACB=E+CDE，即可推出E的度數；（2）根據等邊三角形的性質可知，BD不但為AC邊上的高，也是ABC的角平分線，即得：DBC=30°，然后再結合（1）中求得的結論，即可推出DBE是等腰三角形解答：解：（1）ABC是等邊三角形，ACB=60°，CD=CE，E=CDE，ACB=E+CDE，（2）ABC是等邊三角形，BDAC，ABC=60°，E=30°，DBC=E，DBE是等腰三角形8如圖，在ABC中，ACB=90°，CD是AB邊上的高，A=30°求證：AB=4BD分析：由ABC中，ACB=90°，A=30&

15、#176;可以推出AB=2BC，同理可得BC=2BD，則結論即可證明解答：解：ACB=90°，A=30°，AB=2BC，B=60°又CDAB，DCB=30°，BC=2BDAB=2BC=4BD9如圖，ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交于點F求證：DF=EF分析：過D點作DGAE交BC于G點，由平行線的性質得1=2，4=3，再根據等腰三角形的性質可得B=2，則B=1，于是有DB=DG，根據全等三角形的判定易得DFGEFC，即可得到結論解答：證明：過D點作DGAE交BC于G點，如圖，1=2，4=3，AB=AC

16、，B=2，B=1，DB=DG，而BD=CE，DG=CE，在DFG和EFC中，DFGEFC，DF=EF10已知等腰直角三角形ABC，BC是斜邊B的角平分線交AC于D，過C作CE與BD垂直且交BD延長線于E，求證：BD=2CE分析：延長CE，BA交于一點F，由已知條件可證得BFE全BEC，所以FE=EC，即CF=2CE，再通過證明ADBFAC可得FC=BD，所以BD=2CE解答：證明：如圖，分別延長CE，BA交于一點FBEEC，FEB=CEB=90°，BE平分ABC，FBE=CBE，又BE=BE，BFEBCE （ASA）FE=CECF=2CEAB=AC，BAC=90°，ABD+

17、ADB=90°，ADB=EDC，ABD+EDC=90°又DEC=90°，EDC+ECD=90°，FCA=DBC=ABDADBAFCFC=DB，BD=2EC11（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下：如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH又SABP+SACP=SABC，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、C

18、H又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空：若A=30°，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=7點P到AB邊的距離PE=4或10分析：（1）連接AP先根據三角形的面積公式分別表示出SABP，SACP，SABC，再由SABP=SACP+SABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由ABC的面積為49，求出CH=7，由于CHPF，則可分兩種情況進行討論：P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；P為BC延長線上的點時，運用結論PE=PF+CH解答：解：（1）如圖，P

19、E=PF+CH證明如下：PEAB，PFAC，CHAB，SABP=ABPE，SACP=ACPF，SABC=ABCH，SABP=SACP+SABC，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30°，AC=2CHSABC=ABCH，AB=AC，×2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖PE+PF=CH，PE=CHPF=73=4；P為BC延長線上的點時，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7；4或1012數學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=E

20、C，如圖，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由”小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：（1）特殊情況，探索結論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：AE=DB（填“”，“”或“=”） （2）特例啟發，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關系是：AE=DB（填“”，“”或“=”）理由如下：如圖2，過點E作EFBC，交AC于點F（請你完成以下解答過程）（3）拓展結論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC若ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你直接寫出結果）分析：（1）根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求

21、出D=ECB=30°，求出DEB=30°，求出BD=BE即可；（2）過E作EFBC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證DEB和ECF全等，求出BD=EF即可；（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD=3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD=1解答：解：（1）故答案為：=（2）過E作EFBC交AC于F，等邊三角形ABC，ABC=ACB=A=60°，AB=AC=BC，AEF=ABC=60°，AFE=ACB=60°，即AEF=AFE=A=60°，AEF是等邊三角形，AE=EF=AF，ABC=ACB

22、=AFE=60°，DBE=EFC=120°，D+BED=FCE+ECD=60°，DE=EC，D=ECD，BED=ECF，在DEB和ECF中，DEBECF，BD=EF=AE，即AE=BD，故答案為：=（3）解：CD=1或3，理由是：分為兩種情況：如圖1過A作AMBC于M，過E作ENBC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，AMBENB，=，=，BN=，CN=1+=，CD=2CN=3；如圖2，作AMBC于M，過E作ENBC于N，則AMEM，ABC是等邊三角形，AB=BC=

23、AC=1，AMBC，BM=CM=BC=，DE=CE，ENBC，CD=2CN，AMEN，=，=，MN=1，CN=1=，CD=2CN=113已知：如圖，AF平分BAC，BCAF于點E，點D在AF上，ED=EA，點P在CF上，連接PB交AF于點M若BAC=2MPC，請你判斷F與MCD的數量關系，并說明理由分析：根據全等三角形的性質和判定和線段垂直平分線性質求出AB=AC=CD，推出CDA=CAD=CPM，求出MPF=CDM，PMF=BMA=CMD，在DCM和PMF中根據三角形的內角和定理求出即可解答：解：F=MCD，理由是：AF平分BAC，BCAF，CAE=BAE，AEC=AEB=90°，

24、在ACE和ABE中，ACEABE（ASA）AB=AC，CAE=CDEAM是BC的垂直平分線，CM=BM，CE=BE，CMA=BMA，AE=ED，CEAD，AC=CD，CAD=CDA，BAC=2MPC，又BAC=2CAD，MPC=CAD，MPC=CDA，MPF=CDM，MPF=CDM（等角的補角相等），DCM+CMD+CDM=180°，F+MPF+PMF=180°，又PMF=BMA=CMD，MCD=F14如圖，已知ABC是等邊三角形，點D、E分別在BC、AC邊上，且AE=CD，AD與BE相交于點F（1）線段AD與BE有什么關系？試證明你的結論（2）求BFD的度數分析：（1）根

25、據等邊三角形的性質可知BAC=C=60°，AB=CA，結合AE=CD，可證明ABECAD，從而證得結論；（2）根據BFD=ABE+BAD，ABE=CAD，可知BFD=CAD+BAD=BAC=60°解答：（1）證明：ABC為等邊三角形，BAC=C=60°，AB=CA在ABE和CAD中，ABECADAD=BE（2）解：BFD=ABE+BAD，又ABECAD，ABE=CADBFD=CAD+BAD=BAC=60°15如圖，在ABC中，AB=BC，ABC=90°，F為AB延長線上一點，點E在BC上，BE=BF，連接AE、EF和CF，求證：AE=CF分析：

26、根據已知利用SAS即可判定ABECBF，根據全等三角形的對應邊相等即可得到AE=CF解答：證明：ABC=90°，ABE=CBF=90°，又AB=BC，BE=BF，ABECBF（SAS）AE=CF16已知：如圖，在OAB中，AOB=90°，OA=OB，在EOF中，EOF=90°，OE=OF，連接AE、BF問線段AE與BF之間有什么關系？請說明理由分析：可以把要證明相等的線段AE，CF放到AEO，BFO中考慮全等的條件，由兩個等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去BOE的結果，當然相等了，由此可以證明AEOBFO；延長BF交AE于D，交OA于C，可證明BDA=AOB=90°，則AEBF解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在AEO與BFO中，RtOAB與RtOEF等腰直角三角形，AO=OB，OE=OF，AOE=90°B