1、第十課時(shí) 組合應(yīng)用題（一）教學(xué)目的 1、會(huì)區(qū)分排列問題和組合問題；2、掌握組合問題的解法。教學(xué)重難點(diǎn)組合應(yīng)用問題。教學(xué)過程 一、 復(fù)習(xí)引入：1復(fù)習(xí)排列和組合的有關(guān)內(nèi)容： 依然強(qiáng)調(diào)：排列順序性；組合無序性2排列數(shù)、組合數(shù)的公式及有關(guān)性質(zhì)： 性質(zhì)1：； 性質(zhì)2：+ 常用的等式：二、新授：例題分析 100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品。從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件 （1）一共有多少種不同的抽法； （2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少種？ （3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少種？解：（1）；（2）；（3）；（4）解法一：（直接法）；

2、 解法二：（間接法） 從8男4女中選出5名學(xué)生代表，按下列條件各有多少種選法:至少有一名女同學(xué)；至少有兩名女同學(xué)，但女甲和女乙有且只有一人當(dāng)選；至多有兩名女同學(xué)；女生甲、乙不都當(dāng)選； 必須有女同學(xué)當(dāng)選，但不得超過女同學(xué)的半數(shù)。解: (1)； (2)；(3)； (4)；(5).注：至多（至少）問題的解法：恰當(dāng)分類；排除法。 甲、乙、丙三人值周，從周一至周六，每人值兩天，但甲不值周一，乙不值周六，問可以排出多少種不同的值周表 ？解法一：（排除法）解法二：分為兩類：一類為甲不值周一，也不值周六，有；另一類為甲不值周一，但值周六，有，一共有+42種方法練習(xí)：從雙不同顏色的手套中任取只，其中恰好有一雙同

3、色的取法有種4已知集合A和集合B各有12個(gè)元素，AB中有4個(gè)元素，集合C滿足：C中有3個(gè)元素；CAB；CA，求集合C的個(gè)數(shù)。解: 方法一:. 方法二: 5 已知： 滿足AM的A有多少？若AM且A呢？若AM呢？滿足 a、bAM的 A有多少個(gè)？解：(1)(2) 變題：有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元的鈔票各一張，取其中的一張或幾張，能組成多少種不同的幣值？6 30030共有多少個(gè)正約數(shù)？其中有多少個(gè)奇約數(shù)？解: ； 約數(shù)有奇約數(shù)有變題：（其中是質(zhì)數(shù)，是非零自然數(shù)）有多少個(gè)約數(shù)。7.有11名同學(xué),其中有5人只會(huì)唱歌,有4人只會(huì)跳舞,還有2人既能唱歌又會(huì)跳舞,現(xiàn)從中選出4名唱歌4名

4、跳舞的同學(xué)組成演出小組,有多少種不同的選法?解: 方法一: 方法二:8.若a、b、c-3、-2、-1、0、1、2、3、4(1) 符合條件的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式有多少?(2) 能組成多少條對(duì)稱軸是y軸的拋物線y=ax2+bx+c?(3) 能組成多少條經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一或第三象限的拋物線y=ax2+bx+c? 解:三、小結(jié)：解決組合應(yīng)用題時(shí)要注意：1準(zhǔn)確分析事件的發(fā)生、發(fā)展過程，弄清要解決的問題是否與取出的元素的順序有關(guān)，把實(shí)際問題抽象成組合問題；2對(duì)較復(fù)雜的組合應(yīng)用題，要能根據(jù)事件的發(fā)生、發(fā)展過程對(duì)解決問題的辦法進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤诸惢蚍植剑梅诸愑?jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解決問題；3對(duì)

5、有特殊要求的問題，可優(yōu)先滿足特殊要求，即“優(yōu)限法”：優(yōu)先考慮被限制的元素和位置；也可考慮“去雜法”。四、 作業(yè)：1.課本100習(xí)題103 NO.913 2. 數(shù)學(xué)之友T10.5練習(xí)題:1有兩條平行直線和，在直線上取個(gè)點(diǎn)，直線上取個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，這樣的三角形共有（A） 2名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個(gè)路口人，則不同的分配方案有（A）種種種種3本不同的書，全部分給個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同分法的種數(shù)為（B） 4已知甲、乙兩組各有人，現(xiàn)從每組抽取人進(jìn)行計(jì)算機(jī)知識(shí)競(jìng)賽，比賽成員的組成共有 種可能。 答案： 5從1，3，5，7，9中任取3個(gè)數(shù)字，從2，4，6，8中任

6、取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成 個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。6正六邊形的中心和頂點(diǎn)共個(gè)點(diǎn)，以其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有個(gè)。7從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽。 （1）如果4人中男生和女生各選2人，有種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法。8在200件產(chǎn)品中，有2件次品。從中任取5件， （1）“其中恰有2件次品”的抽法有種； （2）“其中恰有1件次品”的抽法有種； （3）“其中沒有次品”的抽法有種； （4）“其中至少有1件次品”的抽法有種。9某科技小組有名同學(xué)

7、，現(xiàn)從中選出人去參觀展覽，至少有名女生入選時(shí)的不同選法有種，求該科技小組中女生的人數(shù)。答案：女生的人數(shù)是2。第十一課時(shí) 組合應(yīng)用題（二）教學(xué)目的 1掌握分組問題的解法；2進(jìn)一步熟練組合應(yīng)用題的解法； 3培養(yǎng)思維能力和分析問題的能力。教學(xué)重難點(diǎn)排列、組合綜合問題。教學(xué)過程 一、例題分析 六本不同的書，按下列要求各有多少種不同的方法？（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本；（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分為三份，一份四本，另兩份各一本；（6）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)

8、原理得到：種；（2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得：，所以因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法。注：本題是分組中的“均勻分組”問題一般地：將個(gè)元素均勻分成組（每組個(gè)元素），共有 種方法。（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法（4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法（5）這是“部分均勻分組”問題，一共有（6）可以分為三類情況：“2、2、2型”即（1）中的分配情況，有種方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；“1、1、4型”，有

9、種方法，所以，一共有90+360+90540種方法 10個(gè)人分乘4輛相同的汽車，兩輛汽車各坐3人，另兩輛汽車各坐2人，有多少種分配方案？ 解：3（1） 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2） 四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法；第二步：從四個(gè)不同的盒中任取三個(gè)將球放入有種方法，所以，一共有144種方法4（1） 將6名運(yùn)動(dòng)員分到四所學(xué)校，每校至少一名，有多少種不同的分法？（2）從四所學(xué)校選6名運(yùn)動(dòng)員，每校至少一人，有多

10、少種不同的方案？ 解：（1） （2）（分類或用隔板法）6一樓梯分10級(jí)，某人上樓一步可上一級(jí)，也可，規(guī)定8步走完，共有多少種不同的走法？ 解: 8步中有2步是上了兩級(jí):變題1: 一樓梯分10級(jí)，某人上樓一步可上一級(jí)，也可上兩級(jí)，一共有多少種走法？解: 由上法:可分為0、1、2、3、4、5個(gè)兩級(jí)，則分別各走了10、9、8、7、6、5步.走法有:種走法；變題2: 若有n個(gè)臺(tái)階又如何？7馬路上有編號(hào)為1，2，3，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈

11、之間的6個(gè)空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法。8九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，8，從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個(gè)三位數(shù)？解：可以分為兩類情況： 若取出6，則有種方法；若不取6，則有種方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，一共有+602種方法。二、小結(jié)： 1按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合應(yīng)用題的基本思想方法；2對(duì)于有限制條件的問題，要優(yōu)先安排特殊元素、特殊位置；3對(duì)于含“至多”、“至少”的問題，宜用排除法或分類解決；4需要注意的是，均勻分組（不計(jì)組的順序）問題不是簡(jiǎn)單的組合問題，如：將個(gè)人分成組，每組一個(gè)人，顯然只有種分法，

12、而不是種 。一般地，將個(gè)不同元素均勻分成組，有種分法；5按指定的一種順序排列的問題，實(shí)質(zhì)是組合問題。二、 作業(yè)：數(shù)學(xué)之友T10.6練習(xí)題:1某班元旦聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)學(xué)生節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)教師節(jié)目。如果將這兩個(gè)教師節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 （A） 2從人中選派人到個(gè)不同的交通崗的個(gè)中參加交通協(xié)管工作，則不同的選派方法有（D） 3某班分成個(gè)小組，每小組人，現(xiàn)要從中選出人進(jìn)行個(gè)不同的化學(xué)實(shí)驗(yàn)，且每組至多選一人，則不同的安排方法種數(shù)是 （C） 45個(gè)人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數(shù)是5某學(xué)生要邀請(qǐng)10位同學(xué)中的6位參加一項(xiàng)活動(dòng)，其

13、中有2位同學(xué)要么都請(qǐng)，要么都不請(qǐng)，共有種邀請(qǐng)方法。6平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，這兩組平行線相交，可以構(gòu)成 個(gè)平行四邊形。7空間有三組平行平面，第一組有個(gè)，第二組有個(gè)，第三組有個(gè)，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構(gòu)成個(gè)平行六面體。8在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)號(hào)為的同學(xué)的考試成績(jī)，且滿足，則這四位同學(xué)的考試成績(jī)的所有可能情況有 種。9某人制訂了一項(xiàng)旅游計(jì)劃，從個(gè)旅游城市中選擇個(gè)進(jìn)行游覽。如果其中的城市、 必選，并且在旅游過程中必須按先后的次序經(jīng)過、兩城市（、兩城市可以不相鄰），則不同的游覽路線有種。10高二某班第一小組共有12位同學(xué)，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中有3個(gè)人都不坐自己原來的

14、座位，其他9人的座位不變，共有種不同的調(diào)換方法。11某興趣小組有名男生，名女生： （1）從中選派名學(xué)生參加一次活動(dòng)，要求必須有名男生，名女生，且女生甲必須在內(nèi)，有種選派方法；（2）從中選派名學(xué)生參加一次活動(dòng)， 要求有女生但人數(shù)必須少于男生，有種選派方法；（3）分成三組，每組人，有種不同分法。12一條連椅有6個(gè)座位，3人就坐，3個(gè)空位恰有2個(gè)連在一起的坐法有種多少種?（用數(shù)字作答） 72 13甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值兩天班，若甲不值周一、乙不值周六，則可排出不同的值班表數(shù)為多少？解：若甲值周六：；若甲不值周六：合計(jì):24+18=42種.第十二課時(shí) 組合應(yīng)用題（三）教學(xué)目的 1、掌握

15、幾何中組合問題的解法；2、會(huì)將幾何圖形歸納為一個(gè)組合模型；3、培養(yǎng)思維能力和分析問題的能力。教學(xué)重難點(diǎn)排列、組合綜合問題。教學(xué)過程 一、例題分析1如圖是由12個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)到點(diǎn)的不同路徑之中，最短路徑有 條。解：總攬全局：把質(zhì)點(diǎn)沿網(wǎng)格線從點(diǎn)A到點(diǎn)的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向上，不同走法的區(qū)別在于哪三步向上，因此，本題的結(jié)論是：2平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)紅點(diǎn)，6個(gè)白點(diǎn)，除了3個(gè)白點(diǎn)共線外，其余無三點(diǎn)共線，求過同色的點(diǎn)所作的直線條數(shù)？解: 3半圓的直徑AB上有異于A、B的4個(gè)點(diǎn)，半圓周上有異于A、B的6個(gè)點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作三角形，共有多少個(gè)？以

16、這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作圓，共有多少個(gè)？以這10個(gè)點(diǎn)中的4點(diǎn)作四邊形共有多少個(gè)？ 解: (1) 推廣：若加上A和B計(jì)12個(gè)點(diǎn)呢?； 前三項(xiàng)是不用A和B，第四項(xiàng)是同時(shí)用A和B，后面A和B用一個(gè)；或 第一項(xiàng)是弧上8個(gè)點(diǎn)，第二項(xiàng)直徑上選一點(diǎn)(不含A和B)，第三項(xiàng)是直徑上一點(diǎn)(要去掉AB同時(shí)選的一種情況).(2) ；(3) 4一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)連一條弦，共有多少條弦？如果任意三條弦在圓周內(nèi)都不共點(diǎn)，則這些弦在圓周內(nèi)的交點(diǎn)有多少個(gè)？ 解: (1)；(2)圓周上四點(diǎn)可構(gòu)成一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，只有對(duì)角線的交點(diǎn)在圓內(nèi).5平面上有9條直線，按下列條件，可圍成多少個(gè)三角形？其中有4條平行，此外無任何兩條平行

17、，也無任何三線共點(diǎn)？其中有4線共點(diǎn)，此外無任何兩條平行，也無任何三線共點(diǎn)？解: (1)； (2)6 在AOB的邊OA上除了頂點(diǎn)O外有5個(gè)點(diǎn)，OB邊上除點(diǎn)O外有6個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)（包括點(diǎn)O）作頂點(diǎn)，能組成多少個(gè)三角形？解: 7從1-9九個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)作直線中的a、b、c且，則有多少條不同的直線？ 解: 注意重復(fù):123，246，369；124，248；134，268；234，468共要減去5個(gè)。8正方體的12條棱中共有多少條異面直線？用正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)連線，可構(gòu)成多少對(duì)異面直線？ （3）以正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)為頂點(diǎn)，可組成多少個(gè)四面體？解： （1）任取一條棱，有4條棱與它異面，由于異

18、面是相互的，故符合題意的異面直線共有（對(duì)） （2）考慮到任意兩個(gè)頂點(diǎn)的邊線情況比較復(fù)雜，直接計(jì)算有困難。 換個(gè)角度來看，用正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成個(gè)四面體，而每一個(gè)四面體有3對(duì)異面直線，故有（對(duì)） （3）正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，任取4個(gè)頂點(diǎn)的組合數(shù)為個(gè)，其中四點(diǎn)共面的情況分2類：構(gòu)成表面的有6組；構(gòu)成對(duì)角面的有6組，所以，能形成四面體（個(gè)）練習(xí)：以一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線共有 對(duì)。解：由上題可知以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有58個(gè)，每個(gè)四面體的四條棱可以組成3對(duì)異面直線，因此以一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)連成的異面直線共有3×58174對(duì)。另解：對(duì)。9四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)及各棱的中點(diǎn)中取三個(gè)點(diǎn)，使它們和A點(diǎn)在同一平面內(nèi)，不同的取法有多少種？四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)的不同取法有多少種？解：（1）過A點(diǎn)的每一側(cè)面中有（個(gè)） 過A點(diǎn)的每一