1、高等數學（專）教學大綱課程名稱：高等數學 專科適用專業：專科 20172017 級各專業參考教材：高等數學 王德印主編 中國傳媒 出版社一、本課程的地位、任務和作用高等數學是人們在從事高新技術及知識創新中必不可少的工具，它的內容、 思想、方法和語言已廣泛滲入自然科學和社會科學， 成為現代文化的重要組成部 分。2121 世紀是信息時代，它不僅給人類生活帶來日新月異的變化，也給“高等 數學”課程的教學增添了新的內涵。“高等數學”是高等院校的一門重要的基礎 課，通過學習使學生受到必要的高等數學教育，使其具有一定的數學素養，為后 續課程學習及今后的應用打下良好的數學基礎。二、本課程的相關課程本課程的先

2、修課程是初等數學三、本課程的基本內容及要求第一章函數，極限與連續（一）基本內容函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性、奇偶性，復合函數, 反函數，隱函數，基本初等函數的性質及其圖形，初等函數，應用問題的函數關 系的建立，數列極限與函數極限的定義及性質，函數的左、右極限，無窮小與無 窮大的概念，無窮小的性質及其比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準則， 兩個重要極限1 Xlim （1 -） exx初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質。（二）基本要求1 1 理解函數的概念，掌握表示法。2 2了解函數的有界性，單調性，周期性，奇偶性。3 3掌握簡單初等函數的性質及其圖形。4 4 會建立

3、簡單應用問題的函數關系式。5 5 理解數列極限與函數極限的概念。理解函數的左、右極限概念及極限存在與左、右極限存在的關系。sin xlimX0 x函數連續的概念，間斷點的類型,7 7掌握極限的性質、極限的四則運算法則第二章 一元函數微分學（一）基本內容 導數和微分的概念， 導數的幾何意義和物理意義， 函數的可導性與連續性之 間的關系， 平面曲線的切線和法線， 基本初等函數的導數， 導數和微分的四則運 算，復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數 的概念，某些簡單函數 n n 階導數，一階微分形式的不變性， 微分在近似計算中的 應用。（二）基本要求1 1理解導數和微分的

4、概念， 理解導數與微分的關系， 理解導數的幾何意義， 會求平面曲線的切線方程和法線方程， 了解導數的物理意義， 會用導數描述簡單 物理量，理解函數的可導性與連續性之間的關系。2 2掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數求 導公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分， 初步了解微分在近似計算中的應用。3 3會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會求反函數 的導數。4 4掌握用 洛比達 法則求未定式極限的方法。第三章 一元函數積分學（一）基本內容 原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，不定積分和定積分的換 元積分與分部積分方法，有

5、理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分。（二）基本要求 1 1理解原函數、不定積分的概念。 2 2掌握不定積分的基本公式，理解不定積分的性質，掌握不定積分的換元 法和分部積分法。4 4理解定積分的概念。 5 5掌握牛頓萊布尼茨公式。6 6掌握用定積分表達和計算一些幾何量 （平面圖形的面積、 旋轉體的體積、 平面截面面積為已知的立體體積、平面曲線的弧長） 。笫四章 向量代數與空間解析幾何（一）基本內容向量的概念，向量的線性運算， 向量的數量積和向量積的概念及運算， 兩向 量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標表達式及其運算，單位向量， 方向數與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，

6、平面方程、直線方程，平 面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角，點到平面和點 到直線的距離， 球面， 母線平行于坐標軸的柱面， 旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的 方程，常用的二次曲面方程及其圖形， 空間曲線的參數方程和一般方程， 空間曲 線在坐標面上的投影曲線方程。（二）基本要求1 1理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。2 2掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積） ，掌握兩個向量垂直、平 行的條件。3 3掌握單位向量、方向數與方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達 式進行向量運算的方法。4 4掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系（平 行、垂直、相

7、交等）解決有關問題。5 5理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標 軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。笫五章 多元函數微分法及其應用（一）基本內容多元函數的概念， 二元函數的幾何意義， 二元函數極限和連續的概念， 有界 閉區域多元連續函數的性質， 多元函數偏導數和全微分的概念， 全微分存在的必 要條件和充分條件， 全微分在近似計算中的應用， 多元復合函數、 隱函數的求導 法，二階偏導數，方向導數和梯度的概念及其計算，空間曲線的切線和法平面， 曲面的切平面和法線，二元函數的最大值、最小值及其簡單應用。（二）基本要求 1 1理解多元函數的概念，理解二元函數的幾

8、何意義。 2 2了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性 質。3 3理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的 必要條件和充分條件， 了解全微分形式的不變性， 了解全微分在近似計算中的應 用。4 4理解方向導數與梯度的概念并掌握其計算方法。5 5掌握多元復合函數偏導數的求法。6 6會求隱函數(包括由方程組確定的隱函數)的偏導數。7 7了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念， 會求它們方程。 8 8理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條 件，了解二元函數極值存在的充分條件， 會求二元函數的極值， 會用拉格朗日乘 數法求條

9、件極值， 會求簡單多元函數的最大值和最小值， 并會解決一些簡單的應 用問題。第六章 無窮級數(一)基本內容常數項級數的收斂與發散的概念， 收斂級數的和的概念， 級數的基本性質與 收斂的必要條件，幾何級數與 P P 級數以及它們的收斂性，正項級數的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法， 交錯級數與萊布尼茨定理， 任意項級數的絕對收斂與 條件收斂， 函數項級數的收斂域與和函數的概念， 冪級數及其收斂半徑、 收斂區 間(指開區間) 和收斂域，冪級數的和函數， 冪級數在其收斂區間內的基本性質， 簡單冪級數的和函數的求法， 函數可展開為泰勒級數的充分必要條件， 常見函數 如 ex， sinsin x x，

10、cosx，ln(1 x)，(1 x)等的麥克勞林展開式，冪級數在近似計算 中的應用。(二)基本要求 1 1理解常數項級數的收斂、發散以及收斂級數的概念，掌握級數的基本性 質及收斂的必要條件。2 2掌握幾何級數與 P P 級數的收斂與發散的條件。 3 3掌握正項級數的比較審斂法和比值審斂法，會用根值審斂法。 4 4了解函數項級數收斂域與和函數的概念。 5 5掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間及收斂區域的求法。6 6了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質，會求一些冪級數在其收斂 區間內的和函數，并會由此求某些數項級數的和。7 7了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。8 8掌握常見函數如 ex， sin

11、sin x x，cosx，ln(1 x)，(1 x)等的麥克勞林展開 式，并會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。9 9了解冪級數在近似計算上的簡單應用。第七章 微分方程(一)基本內容 微分方程的概念，微分方程的解、階、通解、初始條件和特解，變量可分離 的方程，齊次方程，一階線性方程，伯努利( BenoulliBenoulli )方程，全微分方程，可xX用簡單的變量代換求解的某些微分方程， 可降階的高階微分方程，線性微分方程 解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，高于二階的某些常系 數齊次線性微分方程，簡單的二階常系數非齊次線性微分方程， 微分方程的幕級 數解法，微分方程的簡單

12、應用問題。（二）基本要求1 1了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念2 2 掌握可分離變量方程及一階線性方程的解法3 3 會求解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解 某些微分方程。4 4 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。5 5 掌握二階常數齊次線性微分方程的解法，并會求解某些高于二階的常系 數齊次線性微分方程。四、教學方式與考核方式補充說明：教學方式與考核方式教學方式：面授輔導、平時作業考核方式：考勤、作業和考試五、參考書目1 1同濟大學應用數學系高等數學（五版）（上、下）北京：高等教育出 版社，200220022 2 殷錫鳴等高等數學上海：華東理工大學出版

13、社，200320033 3 馬知恩工科數學分析基礎（第二版）北京：高等教育出版社，200620064 4 蕭樹鐵大學數學北京：高等教育出版社，200520055 5 安徽大學數學系高等數學合肥：安徽大學出版社，20022002安徽工程大學成人高等教育 2017 年第 1 學期高等數學專復習大綱兩個重要極限Xm0sin x1,lim(11)xxX求導法則(1)u(x) v(x) u(x) v(x);(2)u(x) v(x) u (x)v(x) u(x)v(x);設y f(u), u (v), v (x),則復合函數 y f (x)的導數為dydy du dvdxdudv dx常用導數(C)0(s

14、in x)cos x(x )1x(cos x)sin x(ex) ex(In x)1xdy f(x)dx .不定積分和定積分微積分基本公式(3)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x)(v(x)0).kdx kx Ci, x c x dxC1cosxdx sin x csin xdx cosx cxxe dx e c典型例題解：limxlim逖11 a丄x 0sin(3x)x 0sin(3x) 3 392._ 若f(Jx) x2sinx，貝y f (x) _。解：令x t，即x t2，則f(t) t4si nt2，所以f(x) x4sinx23. 曲線y ex在x 1處

15、的切線方程是_。解：當x 1時y e，且歲ex，所以y(1) e,所求切線方程為dx為y e e(x 1)dxxIn |x| Cf (x)dxF(b) F(a)1.limxsin (3x)3a，則a4. 曲線y ln(1 x2)的拐點為_ 。2/、2x“/、2 2x解：y (x)2,y(x)2，令y”(x)o得x1 x(1 x )為(1,1 n2)和(1,1 n2)5.cos(2x)dx _。1 1解：cos(2x)dx cos(2x)d2x sin(2x) C1x6.lim(1)x。x2x1 11解：lim(1 )xlim(1 )2x2、ex2xx2x7. 若f (2x) ex，則f (x)

16、 _。1-t解：令2x t，即x才，則f (t) e2，所以f (x)8. 曲線y sinx在x-處的切線方程是_解：當x 1時y 1，且學cosx，所以y( ) 0，dx2為y 19. 函數y ln(1 x2)的定義域為_ 。只需1 x2大于 0 即可，所以可去一切實數，即(，10.e3xdx _。3x13x13x解：e dx e d3x -e C3311. 計算I叫坦也1，所以拐點1xe2所求切線方程x 0sin x解：li嚴丄x 0cosx sin xlim115.計算不5x 1dx5x 1解:edxe5x 1d (5x 1)15xe516 計算定積分exln xdxe解.xln xdx

17、el|nxdx2-x22 2ln x2-dxx12-x4*(e21)413.y (x22x 5)10，求dX.dx解.dy10(x22x 5)9(X22x 5)10(x22x 5)9(2x 2)4設 dx14.x2y e2ysin y，求dy.dx2xy x2dy2e2ydycosydy解：2xy x 2ecosy,所以dx dxdxdy _2xydx 2e2ycosy x2tan xxx sintanx xsinx xcosxsinx xcosx解:limlimlimx 0 x si nxx 0cosx(x sin x)x 0 x sinxlimx 01 cosxlim x 012x212.

18、計算liqX 0 xsin x22x117 求函數y x In x的單調區間和極值1值2e18.求由曲線y x2及直線y 0,x 1,所圍成的平面圖形的面積 A解：所圍圖形的面積A A；x x2dxdx解:dydx2xl nx xJe， 在（0,/-）上函數的導數小，）上函數的導數大于 0,所以在（，丄,）上函數單調遞增，函數在x，-處取得極小19.求由曲線y x3及直線y1,x0,所圍成的平面圖形的面積 A。解: 所圍圖形的面積A A13x x3dxdx1 1 1x1x44 420.tan 3x計算啊市解:tan3x limx 0sin4x33x sin 4x4ta n3x 4xlimx 034.于 0,而在上函數調