1、第十七單元直線與圓錐曲線的關系真題回訪考點一 直線與橢圓的綜合應用1.(2016 年全國皿卷)已知O為坐標原點,F是橢圓C_+_=1(ab)的左焦點A B分別為C的左、右頂點.P為C上一點，且PF丄x軸.過點A的直線丨與線段PF交于點M與y軸交于點E.若直線BM經過OE勺中點，則C的離心率為().A.-B.-C-D.-【解析】如圖，由題意得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0).由PF丄x軸，得P -設E(0,m),由PF/ OE得=則|MF|=.又由OE/ MF得一=則|MF|=-.由得a-c=_(a+c),即卩a=3c,e= 一.【答案】A2.(2014 年全國n卷)設Fl、F2分別

2、是橢圓 c：+=1(ab)的左、右焦點，皿是C上一點且MF與x軸垂直，直 線MF與C的另一個交點為N.(1) 若直線MN勺斜率為求C的離心率；(2) 若直線MN在y軸上的截距為 2,且|MN|=5|FiN|,求a,b.2【解析】(1)由c=-及題設知M ,2b=3ac.將b=ad代入 2b=3ac,解得1=或-=-2(舍去).故C的離心率為-.(2)由題意知，原點O為F1F2的中點,MF/y軸，所以直線MF與y軸的交點D(0,2)是線段MF的中點，故_=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|.設Nw)，由題意知 中b)，四點P1(1,1),P2(0,1)F -

3、p-中恰有三點在橢圓C上.(1) 求C的方程；(2) 設直線丨不經過F2點且與C相交于AB兩點.若直線PA與直線P2B的斜率的和為-1,證明：l過定點.【解析】(“由于F3，F4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經過P,R兩點.又由一 +一+知，橢圓C不經過點P，所以點F2在橢圓C上.解得2故C的方程為一+y=l.(2)設直線FA與直線RB的斜率分別為ki,k2,如果丨與x軸垂直，設l:x=t,由題設知t工 0,且|t|0.設A(X1,y1),BX2,y2),貝UX1+X2=-,X1X2 -.而k1+k2=+=-+-由題設k1+k2=-1，故(2k+1)X1X2+(m-1)(X1+X2)=0.

4、即(2k+1) +() -=.解得k=-當且僅當m-1 時,0.所以丨：y二x+m即y+1二(x-2),所以丨過定點(2,-1).4.(2015 年全國n卷)已知橢圓C9x2+y2=m(m：0),直線丨不過原點O且不平行于坐標軸丿與C有兩個交點AB線段AB的中點為M.(1)證明：直線0M的斜率與丨的斜率的乘積為定值(2)若丨過點，延長線段0M與C交于點P四邊形OAPBE否為平行四邊形？若能,求此時丨的斜率，若不能,說明理由.因此【解析】(1)根據題意，因為直線不平行于坐標軸，所以斜率k必然存在，故設直線丨:y=kx+b(k工 00)，則A(xi,yi),B(X2,y2),MxMyM).2222

5、222將y=kx+b代入 9x +y =m,得(k +9)x +2kbx+b -m =0,故XM=-=-,yM=kxM+b=- .于是直線OM勺斜率k。一二-，即koM-k=-9.所以直線OM勺斜率與I的斜率的乘積為定值.(2)不妨設四邊形OAPBE為平行四邊形.因為直線l過點，所以l不過原點且與C有兩個交點的充要條件是k0,且k工 3.由(1)得OM勺方程為y=-x.設點P的橫坐標為XP.由得=-，即XP=.將點一的坐標代入直線l的方程，得b=，因此x _-.四邊形OAPB為平行四邊形，當且僅當線段AB與線段OP互相平分，即 XP=2XM于是一=2X-.解得k1=4-_,k2=4+ _.因為

6、ki0,ki工 3,i=1,2,所以當I的斜率為 4-一或 4+一時,四邊形OAPB為平行四邊形.5.(2016 年全國H卷)已知橢圓E：=1 的焦點在x軸上,A是E的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于A,M兩點，點N在E上,MAL NA.(1)當t=4,|AM|=|AN|時，求AMIN勺面積;當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍【解析】(1)設Mxi，yi)，則由題意知 yo.當t=4 時橢圓E的方程為一+=1,A(-2,0).由已知及橢圓的對稱性知直線AM的傾斜角為-，因此直線AM的方程為y=x+2.將x=y-2 代入一+=1,得 7y2-12y=0,解得y=0 或y=,所以yi=.

7、因此AMN勺面積SAM=2x-xx=.(2)由題意知t3,k0,A(-_,0).將直線AM的方程y=k(x+)代入一 =1, 得(3+tk2)x2+2 -tk2x+t2k2-3t=0.由x1 (-_)=-,得X1=-一,故|AM|=|X1+_|=-.由題設知直線AN的方程為y=-(x+),故同理可得|AN|=-.由 2|AM|=|AN|,得-=-，即(k -2)t=3k(2k-1).當k=時上式不成立，因此t=- .t3 等價于 = -0,即0,由此得-或-解得_k 2 +8=16.當且僅當k1=-k2=1 或k1=-k2=-1 時取等號.【答案】A7. (2015 年全國I卷)在直角坐標系x

8、Oy中，曲線Cy=_與直線I：y=kx+&a0)交于MN兩點.(1) 當k=0 時,分別求C在點M和N處的切線方程.(2)y軸上是否存在點P,使得當k變動時總有/OPMZOPN說明理由.【解析】(1)由題設可得M2_,a),N(-2_,a)或M-2_,a),N；2_,a).又因為y=所以y=在x=2 處的導數值為,C在點(2,a)處的切線方程為y-a=(x-2 ),即x-y-a=0.y=在x=-2 一處的導數值為-一,C在點(-2_,a)處的切線方程為y-a二_(x+2_),即x+y+a=0.故所求切線方程為_x-y-a=0 和_x+y+a=0.(2)存在符合題意的點.證明如下：設P(

9、0,b)為符合題意的點，皿劉/),比溝護),直線PMPN的斜率分別為hk.2將y=kx+a代入C的方程，得x -4kx-4a=0.故xi+X2=4k,xiX2=_4a.從而ki+k2=+當b=-a時，有ki+k2=0 則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故/OPMZOPN所以點 RO,-a)符合題意.8.(2017 年全國皿卷)已知拋物線Cy2=2x,過點(2,0)的直線丨交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.(1) 證明：坐標原點O在圓M上；(2) 設圓M過點只 4,-2),求直線I與圓M的方程.【解析】(1)設A(X1,y1),B(X2,y2),|：x=my+由可得y-2my

10、4=0,則丫屮2=-4.又xn,X2A,故X1X2=-=4.因此OA的斜率與OB的斜率之積為一一=-=-1.所以OAL OB故坐標原點O在圓M上.(2)由(1)可得1+2=2口乂1+乂2=0(|0+護)+4=2用+4,故圓心M的坐標為(m+2，m,圓M的半徑r=.由于圓M過點P(4,-2),因此=0,故(X-4)(X2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,(也可結論:以AB為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接寫出)即X1X2-4(x1+X2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得,y1y2=-4,X1X2=4,所以 2nn-m-1=0,解

11、得m=或m=-.22當m=時，直線I的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為，圓M的方程為(x-3)+(y-1)=10.當m=-時，直線丨的方程為 2x+y-4=0,圓心M的坐標為，圓M的半徑為一，圓M的方程為+9. (2016 年全國皿卷)已知拋物線Cy2=2x的焦點為F,平行于x軸的兩條直線丨i,l2分別交C于AB兩點，交C的 準線于P,Q兩點.(1) 若F在線段AB上,R是PQ的中點 證明AR/ FQ(2) 若厶PQF勺面積是ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程.【解析】由題意知F-.設|1：y=a,|2：y=b則ab工 0,且A,B ,P- ,Q-,R-.記過

12、A,B兩點的直線為丨，則丨的方程為 2x-(a+b)y+ab=0.(1)由于點F在線段AB上，故 1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=- =-=-b=k2.所以AR/ FQ.設丨與x軸的交點為D(X1,0),則SABF|b-a|FD|= -|b-a|-SPQI由題設可得|b-a|所以X1=0(舍去)或X1=1.設滿足條件的AB的中點為 日x,y),當AB與x軸不垂直時，由kAB=kDE可得 =(x工 1).而一=y，所以y=x-1(x工 1).2當m=-時，直線丨的方程為 2x+y-4=0,圓心M的坐標為，圓M的半徑為一，圓M的方程為+當AB與x軸垂直時,E與D重合，此

13、時E點坐標為(1,0),滿足方程y =x-1.2故所求軌跡方程為y =x-1.考點三直線、圓與圓錐曲線的綜合10. (2017 年全國H卷)設O為坐標原點，動點M在橢圓C_+y2=1 上，過M作x軸的垂線，垂足為N點P滿足(1)求點P的軌跡方程；設點Q在直線x=-3 上，且=1.證明:過點P且垂直于OQ的直線I過C的左焦點F.【解析】(1)設P(x,y),M(xo，yo)，則NKxo,O),=(x-xo,y),=(,yo).由=一，得(x-xo,y)=_(o,yo),即-解得 =代入橢圓方程一+=1,得x+y=2,2 2故點P的軌跡方程為x +y=2.(2)由題意知F(-1,0),設Q-3,t

14、),F(mn),則=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(mn),=(-3-m,t-n).由=1,得-3m-m+tn-n2=1,又由(1)知m+f=2,故 3+3m-tn=0.所以 =0,即丄.又過點P存在唯一直線垂直于OQ所以過點P且垂直于OQ的直線丨過C的左焦點F.11.(2013 年全國I卷)已知圓M(x+1)2+y2=1,圓N(x-1)2+y2=9,動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為 曲線C.(1) 求C的方程；(2)1是與圓P,圓M都相切的一條直線,1與曲線C交于AB兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.【解析】由已知得圓M的圓心為M-1,0),半徑1=

15、1；圓N的圓心為N(1,0),半徑2=3.即四邊形MPN面積的取值范圍是12,8).設圓P的圓心為P(x,y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以|PM|+|PN|=(R+ri)+(r2-R)=ri+r2=4.由橢圓的定義可知，曲線C是以MN為左、右焦點，長半軸長為 2,短半軸長為 一的橢圓(左頂點除外)，其方程為一+=1(x工-2).對于曲線C上任意一點Px,y),因為|PM|-|PN|=2R-2 2,所以 R 2，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2.2 2所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x-2)+y=4.若丨的傾斜角為 90,則丨與y軸重合，可得|AB|=2一若

16、丨的傾斜角不為 90，由ri工R知I不平行于x軸，設I與x軸的交點為Q則J,可求得 Q-4,0),所以可設丨:y=k(x+4),由丨與圓M相切得=9,解得k=.當k=時,y=x+代入一=1 并整理，得7X2+8X-8=0,解得xi,2=- .所以|AB|=|x2-xi|=.當k=- 時,由圖形的對稱性可知|AB|=.綜上,|AB|=2 一或|AB|=.12.(2016 年全國I卷)設圓x2+y2+2x-15=0 的圓心為A直線丨過點B(1,0)且與x軸不重合交圓A于CD兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；設點E的軌跡為曲線C,直線丨交

17、C于MN兩點，過B且與丨垂直的直線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】(1)如圖，圓A的圓心為A(-1,0),半徑R=4,因為BE/ AC所以/C=ZEBD又因為AC=A所以/C= EDB于是/EBDhEDB所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4 為定值.因為|AB|=2,點E的軌跡是以AB為焦點，長軸長為 4 的橢圓，2由c=1 ,a=2,得b =3,所以點E的軌跡方程為一+=i(yz0).(2)因為直線l與x軸不重合，故可設丨的方程為x=my+, 過點B且與丨垂直的直線方程為y=mx-1).由得(3m+4)y2+6my9=0

18、.設M(X1,y1),Nx2,y2),貝寸y1+y2=- yy2=-得|MN|=2 2 2 2得(m+1)x-2(m-1)x+m-15=0.設P(X3,y3),QX4,y4),貝寸X3+X4=,X3X4 _得|PQ|=- - =4四邊形MPN(的面積S=|MN|PQ|=24-=24-因為斥0所以 0- W,故 12 S0?0?直線與圓錐曲線C；=0?0?直線與圓錐曲線 C C_；0)的焦點的弦中，最短的弦長是 2p.()(5) 過橢圓一+=1 的焦點的弦中，最短的弦長為一.()圓錐曲線的弦長設斜率為k( (k豐豐0)0)的直線I與圓錐曲線C相交于AB兩點，A( (xi，yi) )，B( (x2

19、，y2) )，則|AB|=|xi-X2|=- |yi-y2|=直線與圓錐曲線相交弦的中點問題中點弦問題常用 “根與系數的關系”或“點差法”求解.(1)(1)利用根與系數的關系： 將直線方程代入圓錐曲線的方程，消元后得到一個一元二次方 程, ,利用根與系數的關系和中點坐標公式建立等式求解，注意不能忽視對判別式的討論(2)(2) 點差法: :若直線l與圓錐曲線C有兩個交點AB般地， 首先設出A( (xi, ,yi),),B( (X2, ,y2) )， 代入曲 線方程，通過作差，構造出xi+X2, ,y計y2, ,xi-X2, ,yi-y2, ,從而建立中點坐標和斜率的關系四辨明兩個易誤點(i)(i

20、)直線與雙曲線交于一點時，易誤認為直線與雙曲線相切，事實上不一定相切，當直 線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線也相交于一點(2)(2)直線與拋物線交于一點時，除直線與拋物線相切外，易忽視直線與拋物線的對稱軸平 行或重合時也相交于一點2若直線y=kx與雙曲線x-y2=2 相交，則k的取值范圍是().A.(0,i)B.(-:一)C.(-i ,i)D. (-oo,-i)U(i ,+o)3過點(0,i)作直線，使它與拋物線y2=4x僅有一個公共點，這樣的直線有().A.i 條 B.2 條C.3 條D.4 條4直線y=x+i 被橢圓x2+2y2=4 所截得的弦的中點坐標是().A. -B. C. -

21、D.5(教材習題)點P是橢圓 i6x2+25y2=i600 上的一點，Fi、F2是橢圓的兩個焦點，又知點P在x軸的上方F是橢 圓的右焦點，直線PF的斜率為-4 一,則厶PFF2的面積為 _.4知識清單一、(1)相交相切相離(2)平行平行或重合基礎訓練1. 【答案】(1)X(2)X(3)V (5)V2. 【解析】雙曲線x2-y2=2 的漸近線方程為y=x,若直線與雙曲線相交，由數形結合，得k (-1,1).故選 C.【答案】C3. 【解析】過點(0,1)的直線與拋物線相切時有兩條，又與對稱軸平行的直線y=1 與拋物線也只有一個公共點 故滿足條件的直線有 3 條.【答案】C4.【解析】聯立得x2+

22、2(x+1)2-4=0,即 3x2+4x-2=0，則弦的中點的橫坐標為-_,縱坐標為-+1=,即- -，故選 B.【答案】B5.【解析】橢圓的標準方程為一+=1,則F-6,0),F2(6,0),故直線PF?的方程為y=-4 一(x-6).將直線方程代入16x2+25y2=1600,得 19x225x+650=0,解得劉=5 或X2.當X2時,y20,得-1k2,即nn+n20),則-=1,所以拋物線的方程為y2=4x.設A(X1,y1),B(X2,y2),則兩式相減，得(y1+y2)(y1-y2)=4(X1-X2)，所以直線丨的斜率為k=-=-=2 所以直線丨的方程為y-1=2(x-2),即y

23、=2x- 3,故選A.(2)設直線丨與橢圓交于A(X1,yJ,BX2,y2),則一+=1,+=1，兩式相減，得=- .又因為x1+X2=8，y1+y2=4, 所以=-，故直線丨的方程為y_2=_-(x_4),即x+2y-8=0.【答案】(1)A (2)x+2y-8=0所以=p解得k=-.題型三弦長與面積問題(1)求橢圓E的方程；過點(0,2)且傾斜角為 60的直線交橢圓E于A,B兩點，求AOB勺面積.【解析】(1)由題意得 二，且a-c=l,.a=2,c=l./.b=a-c2=3，故橢圓E的方程為一=1.過點(0,2)的直線丨的方程為y= _x+2.代入橢圓方程一+=1,可得 15x2+16x

24、+4=0,A 0 恒成立.設A(X1，yd，B(x2,y2),貝UX1+x2=xX2=,/|AB|=|X1-X2|=2點O到直線AB的距離 d=1,/SAB(=- d=求弦長時可利用弦長公式，根據直線方程與圓錐曲線方程聯立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數的關系得到兩根之和、兩根之積的代數式，然后進行整體代入弦長公式求解【變式訓練 3】已知斜率為 1 的直線丨與橢圓一+y2=1 相交于A,B兩點，則|AB|的最大值為().A.2 B. C. D.【解析】設A,B兩點的坐標分別為(xi，yi)，(X2,y2),直線I的方程為y=x+t.由消去y,得 5X2+8tx+4(t2-1)=0,則xi

25、+X2=-_t,xx= |AB|=|xi-X2|=時,|AB|max=-.【答案】C，當t=0方法對稱冋題求解策略【突破訓練】(2015 年浙江卷)已知橢圓一+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱.(1)求實數m的取值范圍；(2)求厶AOB面積的最大值(O為坐標原點).【解析】(1)(法一)由題意知 0,可設直線AB的方程為y二一x+b.22由消去,得_ X-x+b-仁0.直線y=-x+b與橢圓一+y2=1 有兩個不同的交點2=_2b+2+0,將AB的中點M-代入直線方程y=mx+，解得b=-,由得m或m.(法二)由題意知 0,設A(xi,yi),BX2,y2)是橢圓+y2=1

26、上符合條件的兩個點-+=1 ,+ =1 ,兩式相減，得-+(yi+y2)(yi-y2)=0./kAEB=-.點AB關于直線y=mx+對稱，.AA=-=-，即yoAX。，又yo=mx+-,由得xod,yo二.點Mxo,yo)在橢圓內部，.一+ 1,即 m*,.m 或m”.令t= -U一，則|AB|=且點O到直線AB的距離為d=設厶AOB勺面積為S(t),.S(t)=|AB|dh-0）的焦點的弦，則|AB|的最小值為（）.A.-B.pC.2pD.無法確定【解析】當弦AB垂直于對稱軸時，|AB|最短，此時x=,A y= ,|AB|mm=2p.故選 C.【答案】C2. （2017 福州質檢）拋物線C的

27、頂點為原點，焦點在x軸上直線x-y=0 與拋物線C交于A,B兩點若P（1,1）為線段AB的中點，則拋物線C的方程為（）.A.y=2x2B.y2=2x22C.x =2yD.y =-2x【解析】AB兩點其中一個點的坐標是（0,0）,由AB的中點坐標為（1,1）,可知另一個點的坐標為（2,2），代入y2=2px中，可得p=1 所以拋物線C的方程為y2=2x.【答案】B3.（2017 贛州二模）設雙曲線-_=1（a0,b0）的一條漸近線與拋物線y=x2+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（）.A._B.5 C._ D.-【解析】雙曲線一-=1 的一條漸近線為y=-X,聯立方程組消去y,得x?-X+

28、1=0.因為方程有唯一的解，所以= - -4=，得-=2.所以e=- =-= .選 D.【答案】D4.（2017 太原一模）已知拋物線y2=4x的焦點為F過焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,0為坐標原點，若=6,則厶AOB勺面積為（）.A. - B.2 一 C.2 D.4【解析】設直線AB的方程為y=k（x-1）.2與拋物線方程聯立可得y - -y-4=0,_則-=4-.2由弦長公式可得一-=4=6,.k=2.SSO=_XX-二X1X2 _= 故選 A.【答案】A5.- (2017 山東質檢)已知雙曲線C=1 的右焦點為F,過點F的直線I與C交于AB兩點，若|AB|=5,則滿足條件的I的條數為

29、_.【解析】因為a=4,b=5,c =9 所以F(3,0).若點AB都在雙曲線的右支上，當AB垂直于x軸時，將x=3 代入得y=_所以|AB|=5,滿足題意 若點AB分別在雙曲線的兩支上，因為a=2,所以兩個頂點的距離為 2+2=40,b0)與斜率為 1 的直線交于AB兩點，線段AB的中點為(4,1),則該雙曲線的漸近線方程是_.【解析】設A(X1，yd，B(X2,y2),則-=1,=1,兩式相減并整理，得-=-=一.T k=1,.一=1, -=士-.故雙曲線的漸近線方程為y=-x.【答案】y=-x7.(2017 年北京卷)已知拋物線Cy2=2px過點P(1,1).過點-作直線|與拋物線C交于

30、不同的兩點MN過點M作x軸的垂線分別與直線OEON交于點AB,其中O為原點.(1) 求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2) 求證:A為線段BM的中點.【解析】 (1)由拋物線Cy2=2px過點 R1,1),得p=.所以拋物線C的方程為y2=x,其焦點坐標為-，準線 方程為x=-.(2)(法一)由題意，設直線丨的方程為y=kx+-(k工 0),1與拋物線C的交點為Mxi，yi)，N(X2,y2).由得 4k X+(4k-4)x+1=0 則xi+X2=,xiX2=一.因為點P的坐標為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點A的坐標為(xi,yi).因為直線ON的方程為yjx所以點B的

31、坐標為 -.因為yi+-2xi=-=- =0,所以yi+- =2xi.故A為線段BM的中點.(法二)要證A為BM勺中點，且XA,XB,XM相同，只需證 2yA=yM+yB,等式兩邊同時除以 刈,則有 2koA=ko+koN因為ko+koN+-=- =-=2.又koA=ko=i 所以等式成立，即A為線段BM的中點.8.(20i5 年四川卷)設直線丨與拋物線y2=4x相交于AB兩點，與圓(x-5)2+y2=r2(r0)相切于點M且M為線段AB的中點.若這樣的直線I恰有 4 條，則r的取值范圍是().A. (1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解析】如圖，設A(xi，yi)，B(x2

32、,y2),x0,y0),兩式相減，得(yi+y2)(yi-y2)=4(xi-x2).當丨的斜率k不存在時，符合條件的直線丨必有兩條.當k存在時,xi工X2，則有- -=2,又yi+y2=2yo,所以yok=2.由CMAB得k=-1,即yok=5-x。,因此 2=5-xo,xo=3,即點M必在直線x=3 上.將點x=3 代入y2=4x,得y2=12,則有-2_yo2 一.2 2 2因為點M在圓上所以(x0-5)+ =r,故r = +44(為保證有 4 條，當k存在時,yo工 0),所以 4r216，即 2rb)的左、右焦點分別為HF,離心率為-，點A在橢圓C上,=2,ZFAF=S0 ,過點F2與

33、坐標軸不垂直的直線丨與橢圓C交于RQ兩點,N為P,Q的中點.(1) 求橢圓C的方程；(2) 已知點M -,且MNLPQ求直線MN所在的直線方程.【解析】(1)由e=-，得a=2c，因為=2,=2a-2,由余弦定理得AF-AFcosA=IF1F2I2,2 2 2解得c=1 ,a=2，所以b =a -c =3.所以橢圓C的方程為一 L=1.(2)因為直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為y=k(x-1),P(X1，y1)，Qx2,y2),聯立得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.則X1+%=yi+y2=k(xi+X2)-2k=此時N-又M -，貝寸kM=-=-.因為MNL PC所以kM

34、N=-,得k=-或k=-.貝Lt kMt=-2 或kM=.所以直線MN勺方程為 16x+8y-1=0 或 16x+24y-3=0.12. (2017 青島市質檢)已知橢圓r:_+y2=1(a1)的左焦點為Fl,右頂點為 A,上頂點為B,過Fi,A,B三點的圓P的圓心坐標為-.(1)(1)求橢圓的方程；(2)(2)若直線丨:y=kx+n(k,m為常數,k工 0)與橢圓r交于不同的兩點M和N.1當直線丨過點E(1,0)且+2=0 時,求直線丨的方程；2當坐標原點0到直線丨的距離為一，且M0的面積為一時,求直線丨的傾斜角.【解析】(1)TA1(a,),B(,1),.扁占的中點為-，AB的斜率為-，.

35、A1B的垂直平分線方程為y-=a.圓P過點F1,AB三點，二圓心P在AB的垂直平分線上.-i=a-i，解得a=或a=-(舍去).橢圓的方程為一+y2=1.(2)設 MxWhNxv),2 2 2 2由可得(3k+1)y-2my+m3k=0,1.直線l過點E(1,0),.k+m=+2=0,A(xi-1,yi)+2(x2-1 ,y2)=(0,0).yi+2y2=0. 由可得,k=1 ,m=-1 或k=-1,m=.直線l的方程為y=x-1 或y=-x+1.2坐標原點O到直線丨的距離為一，=?m=(k+1).結合得|MN|=-|y2-y1|=X-=X - -,由得|MN|=-, -SMOP|MN|X =

36、 -.MON 的 面積為一, -=，解得k= .設直線丨的傾斜角為0廁 tan9=,/-yi+y2=,yiy2= 17.2 直線與橢圓的綜合應用必備知識橢圓的焦點弦1.1.a+c與a-c分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值2.2. 橢圓的通徑（過焦點垂直于長軸的弦）長一, ,是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值直線與橢圓的位置關系的研究方法1.1.弦長問題，應用弦長公式及韋達定理，設而不求；有關焦點弦長問題，要重視圓錐曲 線的定義的運用，以簡化運算2.2.中點弦問題，除了利用韋達定理外，要注意靈活運用“點差法”，設而不求，簡化運算.3.3.定值問題，常把變動的元素用參數表示出來，然

37、后證明計算結果與參數無關.也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明.4.4.定點問題，常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點.也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明.5 5.范圍（最值）問題: : （1 1）利用判別式構造不等關系，確定參數的取值范圍（最值）；）；（2 2）利用隱含或已知的不等關系建立不等式 ，求出參數的取值范圍（最值）；）；(3)(3) 利用基本不等式，求出參數的取值范圍( (最值););(4)(4) 利用函數的值域，確定目標變量的取值范圍( (最值) )；(5)(5) 利用幾何圖形中的邊角大小關系，確定參數的取值范圍( (最值) ).?左學右考

38、1已知經過點(0,_)且斜率為k的直線I與橢圓+y2=1 有兩個不同的交點P和Q則k的取值范圍是().A. - - B.-U C.(- :_)D. (-0，-_)U( +)2已知兩定點A(-1,0)和B(1,0),動點P(x,y)在直線I：y=x+3 上移動橢圓C以AB為焦點且經過點P,則橢圓C的 離心率的最大值為().A._ B.一C. D.3若點O和點F分別為橢圓一=1 的中心點和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則 的最小值為_ .4已知橢圓C的方程為一=1,A、B為橢圓C的左、右頂點,P為橢圓C上不同于A、B的動點 道線x=4 與直線PA PB分別交于M N兩點.若點D(7,0),則過D

39、 M N三點的圓必過x軸上不同于點D的定點，其坐標為.基礎訓練1.【解析】由題意得，直線丨的方程為y=kx+一,代入橢圓方程并整理，得一X2+2_kx+1=0.直線丨與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于=8k2-4 一=4k2-20,解得kv-一或k,即k的取值范圍為-一U .故選 B.【答案】B2. 解析】 點A(-1,0)關于直線I的對稱點為A(-3,2),連接AB交直線I于點P,則橢圓C的長軸長的最小值 為|AB|=2 1,所以橢圓C的離心率的最大值為-j 故選 A.答案】A3.解析】設P(x,y)(-3Xw3,-2 yb)的離心率是一，點 R0,1)在短軸CD上，且=-1.(1)求橢圓E

40、的方程.設O為坐標原點，過點P的動直線與橢圓交于AB兩點.是否存在常數 入，使得+入 為定值？若存在，求入的值;若不存在 請說明理由.【解析】(1)由題意得，點CD的坐標分別為(0，-b)，(0，b)，又點P的坐標為(0,1)，且二1，所以橢圓E的方程為一=1.(2)當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為丫=収+1人*，0)，嗆2$2),2 2聯立得(2k +1)x +4kx-2=0.其判別式=(4k)2+8(2k2+1)0,所以X1+X2二- ,X1X2=-.從而 +入 =x1X2+y1y2+入【X1X2+(y1-1 )(y2-1)2=(1+入)(1+k)x1X2+k(X1+X2)+1=

41、-=一-入-2,當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD此時 +入 =+入 =-2-入，當入=1 時也滿足 +入 =-3.所以-解得此時+入=-3 為定值.故存在常數入=1,使得+入 為定值-3.(1) 定值問題,涉及面較多，解決此類問題以坐標運算為主，需建立相應的目標函數，然后代入相應的坐標運算結果即可.(2) 定點問題，可先用特殊值法求岀，然后再驗證，這樣可確定代數式的整理方向和目標.(3) “值的存在”問題，結論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由.這類問題常用“肯定 順推”.【變式訓練 1】(2016 年北京卷)已知橢圓 Ci=1(ab)的離心率為一，A(a,0)

42、,B(0,b),O(0,0),OAB勺面積為 1.(1)求橢圓C的方程；設 P是橢圓C上一點 道線PA與y軸交于點M直線PB與x軸交于點N,求證:|AN|BM|為定值.【解析】(1)由題意得解得2所以橢圓C的方程為-+y=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).設P(x0,y。),則+4=4.當X。工 0 時道線PA的方程為y=(x-2).令x=0，得yMF-，從而|BM|=|1-yM=1+ 直線PB的方程為y=x+令y=0,得XN=-，從而|AN|=|2-xN=2+所以|AN|BM| =-=4.當xo=0 時,yo=-1 ,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.綜上所

43、述,|AN|BM|為定值.橢圓中的定點問題題型二則兩條切線PCPD的方程分別為一+yiy=1,+列=1.因為點P在切線PCPD上所以xi+yit=1,x2+y2t=1,故C（xi，yi），Dx2,y2）均滿足方程x+ty=1,即x+ty=1 為直線CD的方程.令y=0,得x=1,故直線CD過定點（1,0）.定點問題多為兩類，一是證明直線過定點，應根據已知條件建立直線方程中斜率k或截距b的關系式，此 類問題中的定點多在坐標軸上；二是證明圓過定點，此類問題應抓住圓心，利用向量轉化相應條件，從而找岀相 應參數滿足的條件，確定定點.【變式訓練 2】設橢圓E：+=1 的焦點在x軸上.（1）若橢圓E的焦距

44、為 1,求橢圓E的方程；（2）設F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內的點 道線F2P交y軸于點Q并且RP丄RQ.證明:當a變化時,點P在某定直線上.2 2【解析】（1）因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為 1 所以 2a-1=,解得a =.故橢圓E的方程為一+.設 Px0，y0），F1（-c,0）,F2（c,0）,其中c=-.由題設知X0工c,則直線F1P的斜率=,直線F2P的斜率故直線F2P的方程為y=（x-c）.當x=0 時,y=，即點Q的坐標為.因此，直線F1Q的斜率為-=-1.【例 3】(2017 河南洛陽統考)已知橢圓的中心是坐標原點Q焦點在x軸上，離心率為一，坐標原

45、點O到過右焦點F且斜率為 1 的直線的距離為一.(1) 求橢圓的標準方程.(2) 設過右焦點F且與坐標軸不垂直的直線丨交橢圓于P,Q兩點,在線段QF上是否存在點Mm0)，使得|MP|=|MQ|?若存在，求出m的取值范圍若不存在，請說明理由.【解析】(1)設橢圓的方程為 一+=1(ab)，F(c，0)(c0)，由坐標原點O到直線x-y-c=0 的距離為，得 =一，解得c=1.又e=-=, a=，b=1. 橢圓的標準方程為一+y2=1.(2)假設存在點Mm0)(0m0 恒成立,/.X1+x2=- ,X1X2 .設線段PQ的中點為Nx0，y。)，貝寸x0=-=- ,y0= k(X0-1 )=-.T

46、|MP|=|MQ|,. MNLPQ.kMNkp=-1,將代入橢圓E的方程，由于點Px0,y。)在第一象限，解得X0=a2,y0=1-a2,即點P在定直線x+y=1 上.題型三橢圓中的范圍與最值冋題化簡得-(2a2-l).即- k=-1, m=-2k 0,.0mb0)右焦點的直線x+y- _=0 交M于AB兩點，P為AB的中點，且0P的斜率為-.(1) 求M的方程；(2)C,D為M上的兩點若四邊形ACBD勺對角線CDLAB求四邊形ACB面積的最大值【解析】(1)設A(X1,y1),B(x2,y2),則一+_=1,_+_=1,兩式相減，得+-=0.因為 =-1,設P(X0,y。),又P為AB的中點

47、，且OP的斜率為-,所以ydX0,即卩y+y2=(x1+X2),解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2)，即a2=2c2.又因為c=一,所以a2=6.所以M的方程為一+=1.(2)因為CDL AB直線AB的方程為x+y-一=0,設直線CD的方程為y=x+m將x+y-_=0 代入一=1,得 2x2-4_x=0,解得x=0 或x=一.不妨令A(0, 一),B - 一，可得|AB|=.將y=x+m代入一+=1,得 3x2+4mx-2nn-6=0,設C(X3,y3),Dx4,y4),則|CD|=又因為=16斥-12（2吊-6）刃,即-2mb,2 2解得a =3，b =2，所以橢圓E的離心率e=(2)

48、依題知圓F的圓心為原點，半徑r=2,|AB|=2 :所以原點到直線AB的距離d= -二=1.因為點P的坐標為存在，設為k.所以直線AB的方程為y-1=k，所以直線AB的斜率即kx-y- k+1=,所以d=l,解得k=0 或k=2當k=0 時道線PQ的方程為x=, 所以|PQ|的值為點P縱坐標的兩倍，即|PQ| =2X1=2.當k=2 一時，直線PQ的方程為y-仁- -，代入橢圓E的方程一 +=1,消去y并整理，得34x2-10_x-21=0.設點Q的坐標為(為屮)，所以一+X1，解得x1=-,所以|PQ|=(1) 由待定系數法求出a,b,c,再根據離心率的定義求橢圓E的離心率.(2) 先根據垂

49、徑定理求圓心到直線AB的距離，再根據點到直線的距離公式求直線AB的斜率，然后根據垂直關系求直線PQ的斜率，最后聯立直線PQ與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求|PQ|.【解析】如圖所示，點P與點F2關于直線y=x對稱, OP=Q=OF=c,PF丄PF.又vtan /PFF2=,FF2=2c,.PF=2b,PF=2a.點P在雙曲線上， PF-PR=2a? 2b-2a=2a?b=2a?e=-=一.【答案】D3.(2017 長沙月考)已知橢圓 J+_=1(0vm)的左、右焦點分別為Fi、F2,過點Fi的直線交橢圓于A,B兩點，B處的切線斜率為 1,則線段|AF|=（）.A. 1B. 2C.3D. 4

50、【解析】x2=2y,.y=x.拋物線C在點B處的切線斜率為 1,.B - . -/x2=2y的焦點為F - ,直線丨的方程為y=-,： |AF|=1,故選 A.【答案】A2.（2017太原模擬）已知點R、F2是雙曲P與點F2關A. - B. C.2 D.1.（2017 天水一模）過拋物線C：x2=2y的焦點F的直線丨交拋物線C于A、B兩點，若拋物線C在若|AF2|+|BF2|的最大值為 10,則m的值為_.【解析】由 0mb)的離心率為一,F1,F2是橢圓的兩個焦點,P是橢圓上任意一點，且厶PFF2的周長是 4+2 一(1) 求橢圓C的方程；(2) 設橢圓C的左、右頂點分別為A B,過橢圓C上

51、的一點D作x軸的垂線交x軸于點E若點C滿足ABL BCAD/ OC連接AC交DE于點P,求證:PD=PE.【解析】(1)由e,知-=,所以ca.因為PFF2的周長是 4+2_,所以 2a+2c=4+2，所以a=2,c=,所以b=a-c2=1,所以橢圓C的方程為一+y2=1.由(1)得A(-2,0),B(2,0),設D(xo,yo),所以日xo,O).因為AB丄BC設Q2,yi),所以=(xo+2，yo),=(2，yi).由AD/ 0C得(xo+2)yi=2yo,即y=,所以直線AC的方程為=,整理得y=-(x+2).又點P在直線DE上將x=xo代入直線AC的方程，可得yj,即點P的坐標為 一，

52、所以P為DE的中點 所以PD=PE.6.(2oi7 漢中市質檢)已知直線丨:y=kx+一與y軸的交點是橢圓Cx2+=1(m：o)的一個焦點.(1) 求橢圓C的方程.(2) 若直線丨與橢圓C交于A B兩點，是否存在k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點0?若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.【解析】(1)因為直線l：y=kx+一與y軸的交點坐標為F(0,_),所以橢圓Cx2=1(m：0)的一個焦點坐標為F(0,_),所以橢圓的焦半距c=一所以m=C+1=3+1=4,2故橢圓C的方程為一+x=t(2)將直線l的方程y=kx+一代入一+x2=1 并整理，得(k2+4)x2+2_kx-1=0

53、.設點A(X1,y1),B(x2,y2),則X1+X2二-xX2二-.假設以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點Q則 =0,即X1X2+y1y2=0.又y1y2=kx1X2+ k(X1+X2)+3,經檢驗知，此時0,符合題意.故存在k=士二，使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O.7.(2017 太原五中二模)已知橢圓C_+_=1(ab3)的左、右焦點分別為Fi(-1,0)、F2(1,0),點A二-在橢圓C上.(1) 求橢圓C的標準方程.(2) 是否存在斜率為 2 的直線I,使得當直線丨與橢圓C有兩個不同交點MN時，能在直線y二上找到一點P在橢圓C上找到一點Q滿足=?若存在，求出直線l的方程

54、；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題意得橢圓C的半焦距c=1,橢圓C的標準方程為+一=1 (a21).點A 在橢圓上，-一+-=1 (a 1),解得=2.2故橢圓C的標準方程為一+y=1.(2)假設存在這樣的直線，設直線l的方程為y=2x+t,點Mx1，yJNx2,y2),P-,Qx4,y4),MN勺中點為D(x0,y。),由_得 9x2+8tx+2t2-2=0,2 2X1+X2=-且 =(8t)-36(2t -2)0,則-3t3,.y1+y2=2(X1+X2)+2t=,.y0=-二.知,四邊形PMQ為平行四邊形而D為線段MN的中點，因此,D也是線段PQ的中點，y=-，可得y4=又J -

55、3vt3,.-vy4v-1,點Q不在橢圓上.故這樣的直線丨不存在.8. (2017 福州模擬)已知點A(-4,0)，直線丨:x二 1 與x軸交于點B動點M到AB兩點的距離之比為(1)求點M的軌跡C的方程；設C與x軸交于E,F兩點,P是直線I上一點，且點P不在C上,直線PEPF分別與C交于另一點三點共線.【解析】(1)設點Mx,y),依題意,=:化簡得x2+y2=4，即軌跡C的方程為x2+y=4.22由(1)知曲線C的方程為x+y =4,令y=0,得x=2,不妨設E(-2,0),F(2,0),如圖.設P(-1,y0),Sx1,y1),T(x2,y2),則直線PE的方程為y=yb)的右焦點為(一,

56、0),且經過點-過點M的直線丨與橢圓C交于A,B兩點(點A在x軸的上方).(1)求橢圓C的方程；若|AM|=2|MB|,且直線I與圓Qx2+y2二相切于點N求|MN|的長.【解析】(1)由題意知c=一,且一+- =1,解得b=1 所以a =4,2所以橢圓C的方程為-+y=1.設Mm)0)，直線l:x=ty+m,A(X1,y1),B(X2,y2),由|AM|=2|MB|,得y1=-2y2.由得(t2+4)y2+2mty+m4=0._則y1+y2=-,y1y2=由yy2=-2y+y2=-2y2+y2=-y2,得yy2=-2 -2=-2(y+y2).-，點M是x軸上的一點-2 2 2 2即=-2 -

57、，化簡得(m-4)(t +4)=-8t m.22因為原點0到直線丨的距離 d=，又直線丨與圓Ox+y二相切,2 2所以=一，即卩t =m-1.得 21n4-16ni-16=0,即(3riT-4)(7ni+4)=0,22解得mi,此時t =-,滿足0,此時M 或- ,在 Rt OMN中MN|=-=，所以|MN|的長為.10.(2017 佛山質檢)已知橢圓G：-=1(ab0)的焦距為 4,左、右焦點分別為Fi、F2,且G與拋物線G：y2=x的交點所在的直線經過F2.(1) 求橢圓G的方程；(2) 分別過點F1、F2作平行直線m n,若直線m與G交于AB兩點，與拋物線G無公共點，直線n與G交于GD兩點,其中點AD在x軸上方，求四邊形AFF2D的面積的取值范圍.【解析】(1)依題意