南昌大學第七屆高等數學競賽(09級數學專業類)試題答案_第1頁
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1、精選優質文檔-傾情為你奉上南昌大學第七屆高等數學競賽（數學專業類2009級）試題及答案 序號： 姓名： _ 學院: 專業： 學號： 考試日期： 2010年10月題號一二三四五六七八九總分累分人 簽名題分309999998 8 100得分一、 填空題(每空 3 分，共 30分) 1、求極限= ；2、函數不可導點的個數是 1 ；3、=；4、設，則=；5、函數在區間0, 上的最大值為；6、設，則=；7、若 （） ，則=；8、函數在處的n階泰勒展開式（帶佩亞諾型余項）為；9、若，則=； 10、存在的柯西準則是，,當，時，有二、設函數在處連續，對對每一個成立，證明：是常值函數.證明：對每一個，令，及在的

2、連續性，得結論得證。三、證明：函數在上不一致連續.證明：對， ，但是有 所以，函數在上不一致連續.四、設，證明數列收斂證明：又單調增加且有上界，所以數列收斂五、設在上可導，且，試證：存在(0, ),使得. 證明：令 所以在(0, )達到最大值，故存在(0, ),使得即六、設在上可微，且，M是的上界，則M.證明：由拉格朗日定理及，知存在c=于是，M七、設函數在上有定義且在每一點處函數的極限存在，求證：在上有界. 證明：，設在處的極限為，則，有，從而。由為的開覆蓋及有限覆蓋定理得，存在有限個小開區間也是的開覆蓋。記M為，中的最大數，則有，有，使得，于是八、任意給定實數，令，（），證明存在且不依賴于.證明：設，由，及介值定理，有，使。下證：，存在介于c與x之間的，使得可證：當時，且=令即得。九、設函數在上單調增加，對于任何，在上可積，且

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