1、巧用面積法 妙解幾何題人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 上冊(cè)上冊(cè) 1何謂面積法 在求解平面幾何問題的時(shí)候，根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，用面積或面積之間的關(guān)系表示有關(guān)線段間的關(guān)系，從而把要論證的線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對(duì)所論問題來進(jìn)行求解的方法，稱之為面積法。 抓住面積不但能把平面幾何知識(shí)變得更容易學(xué)，而且使幾何問題變得更簡(jiǎn)捷，更有趣味。2溫故知新填空：填空：1.若ABC DEF，且ABC的面積為25，則DEF的面積為 。2.已知AD為ABC的中線，則S ABD與S ACD的大小關(guān)系為 。3.(1)平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線AC把它分成兩

2、個(gè)三角形ABC 、ADC，則S ABC與S ADC的大小關(guān)系為 。(2)平行四邊形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)E，連結(jié)EB、EC，則S EBC與S平行四邊形ABCD的關(guān)系為 。4.已知直線a b，點(diǎn)M、N為b上兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B為a上兩點(diǎn)，連結(jié)AM、AN、BM、BN，則S AMN 與S BMN的大小關(guān)系為 。25SABD=SACDSABC=SADCSABD=1/2S平行四邊形ABCDSAMN=SBMN3用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)： 全等三角形的面積相等； 三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分； 平行四邊形的對(duì)角線把其分成面積相等的兩部分； 三角形的面積等于同底（或等底）等高的平行四邊形的面積

3、的一半； 同底（或等底）等高的三角形面積相等。4例題講解 證線段相等例1.已知：ABC中，A為銳角，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，求證：BD=CE.ABCDE分析：此題運(yùn)用三角形全等可以解決，但考慮到有“高” ，不妨用面積法來試試，可用SABC=1/2ABCE=1/2ACBD來完成。證明：證明： ABC中，中，BDAC于于D，CEAB于于E SABC=1/2ABCE=1/2ACBD又又AB=ACBD=CE用面積法好簡(jiǎn)單喲！5變式訓(xùn)練1.已知：等腰ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，垂足分別為E、F.求證：DE=DF.ABCDFE分析：此題用三角形全等可完成，

4、但題中出現(xiàn)兩條“垂線段”，可考慮面積法，連接AD，則SABD=SACD，由AB=AC，可得DE=DF.62.平行四邊形ABCD中，BEAC于E，DFAC于F，求證：BE=DF變式訓(xùn)練ABCDEF分析：此題可以用平行四邊形和全等三角形的知識(shí)解決，但出現(xiàn)兩條“垂線段”，且都垂直于同一條線段，可考慮面積法，根據(jù)S平行四邊形ABCD=2S ABC=2SADC可得證。7 證線段的和差關(guān)系例2.（1）已知： ABC中，AB=AC，P為底邊BC上一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，BFAC于F，求證：PD+PE=BF.ABCPFED分析：此題可構(gòu)造矩形來證明，但較麻煩。考慮到題中有三條“垂線段”，可嘗試面積法

5、。連接AP，根據(jù)SABC=SABP+SACP，結(jié)合AB=AC，可得證。證明：證明： BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABP+ SACP1/2ACBF=1/2ABPD+1/2ACPEAB=AC PD+PE=BF8（2）若P為 ABC的底邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并證明。ABCPFDE分析：雖然題目條件發(fā)生了變化，但思路不變，方法不變，還是用面積法。連接AP，根據(jù)SABC=SABP-SACP，結(jié)合

6、AB=AC，可得到正確的結(jié)論:PD-PE=BF。證明：證明： BFAC于于F S ABC=1/2ACBF PDAB于于D，PEAC于于E S ABP=1/2ABPD， SACP=1/2ACPE S ABC= S ABPSACP1/2ACBF=1/2ABPD1/2ACPEAB=AC PDPE=BF93.（1）已知等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，PDAB，PEBC，PFCA，垂足分別為D、E、F，又AH為ABC的高，求證：PD+PE+PF=AH.變式訓(xùn)練AHEFDBCP分析：考慮到題中出現(xiàn)了三條“垂線段”和一條“高”，可嘗試面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)SABC=SABP+SBCP+SACP，由AB=B

7、C=AC，可得證PD+PE+PF=AH10（2）若P是等邊ABC外部一點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論，并說明理由。ABCFDEHP分析：此題的條件雖然發(fā)生了變化，但是思路、方法不變，還是應(yīng)用面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)SABC=SABP+SACPSBCP，由AB=BC=AC，可得正確結(jié)論：PD+PFPE=AH11 證角相等例3.點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊ACD和等邊BCE，連接BD、AE交于O點(diǎn)，再連接OC，求證：AOC=BOC.ABCDEO分析：要證AOC=BOC，可證點(diǎn)C到AO、BO的距離相等

8、，如此就要過C點(diǎn)作CPAE于P，CQBD于Q，證CP=CQ，可考慮面積法，證ACEDCB,則有 SACE =SDCB 且AE=BD，可得CP=CQ。PQ證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)C作作CPAE于于P，CQBD于于Q，ACD、BCE是等邊三角形是等邊三角形 AC=DC，EC=BC，ACD=ECB=60 ACE=DCB=120 ACE DCB SACE =SDCB ，AE=BD CP=CQ OC平分平分AOB，即即AOC=BOC.12變式訓(xùn)練4.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)E、F，使AF=CE，且AF與CE交于點(diǎn)P，連接BP，求證：BP平分APC分析：要證BP平分APC，可證點(diǎn)B到AP

9、、CP的距離相等，故過B作BGAF于G，BHCE于H，連接BF、BE。由于AF=CE，只要SABF=SBCE即可，而SABF=SBCE=1/2S平行四邊形ABCD，所以BG=BH，命題得證。ABCDFEGH13課堂小結(jié) 面積法是平面幾何中論證線段關(guān)系的一種較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法； 使用面積法的前提是：題中要有“垂線段”，若沒有“垂線段”，則要結(jié)合角平分線的性質(zhì)或判定構(gòu)造“垂線段”； 使用面積法解題的關(guān)鍵在于：抓住圖形之間的面積關(guān)系，進(jìn)而利用面積公式轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系。要記住喲！要記住喲！14課后練習(xí)1.RtABC中，BAC=90，AB=3，M為邊BC上一點(diǎn)，連接AM，若將ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好

10、落在邊AC的中點(diǎn)B處，那么點(diǎn)M到AC的距離是 。2. ABC中，AB=AC，A=120，BC=6，PEAB于E，PFAC于F，則PE+PF= 。ABCMB第1題CPBAEF第2題153. ABC中，ABAC，BD和CE分別為AC、AB上的高，求證：BDCE.4.以ABC的邊AB、AC為邊長(zhǎng)，在BC的同側(cè)作正方形ABEF和正方形ACGH，連接FH，過點(diǎn)A作ADBC于D，延長(zhǎng)DA交FH于點(diǎn)M，求證：FM=HM.ABCDE第3題ABCEFGHMD第4題165.設(shè)E是ABC的角平分線AD上一點(diǎn)，連接EB、EC，過C作CFBE交AB的延長(zhǎng)線于F，過B作BGEC交AC的延長(zhǎng)線于G，求證：BF=CG.（提示：SBEF=SBEC=