1、平面向量知識點與2013考點精講知識網絡第1講 向量的概念與線性運算知識梳理1 .平面向量的有關概念:(1)向量的定義：既有大小又有方向(2)表示方法：用有向線段來表示向量 .有向線段的的量叫做向量.長度 表示向量的大小，用箭頭所1)2)3)4)5)2.指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用AB, BC ,表示.特別提醒:模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或| AB|.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作 0;零向量的方向不確定.單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量 .共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相

2、等的向量向量的線性運算1 .向量的加法：(1)定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法如圖，已知向量ab, *在平面內任取一點uuuA,作 ABuuirBCb,則向量AC叫做a與b的和，記uuu作 a+b,即 a+b ABuurBCuuir AC特殊情況:a bCA(3)a平行四邊形法則(a+b) +c=a+ (b+c).a b ABC(2 )對于零向量與任一向量 a,有a 0 0(2)法則： 三角形法則(3)運算律：a +b=b+a；2 .向量的減法：(1)定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 減法的三角形法則作法：在平面內取一點Q作OA= a, OB = b,則 BA= a ? b即a

3、 ? b可以表示為從向量b的終點指向向量 a的終點的向量.B注思1） AB表示a ? b.強調：差向量“箭頭”指向被減數2）用相反向量”定義法作差向量，a ? b = a +（-b）顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統一.a/b/c a ? b = a + （?b） a ? b3.實數與向量的積：（1）定義：實數 入與向量a的積是一個向量，記作入a,規定：|入a|二|入| a|.當人0時，入a的方向與a的方向相同；當 入0時，入a的方向與a的方向相反；當 入=0時，入a=0.（2）運算律： （w a）=（入 ） ）a, （入 + w ） a=入 a+ - a,（a+b）=入 a+ 入 b.特別提

4、醒：1）向量的加、減及其與實數的積的結果仍是向量。2） 重要定理：向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數入，使得b=入a,即b / a b=入 a （ aw 0）.向量重難點突破1 .重點：理解向量及與向量相關的概念，掌握向量的幾何表示，掌握向量的加法與減法，會正確運用三角 形法則、平行四邊形法則.2 .難點：掌握向量加法的交換律、結合律，并會用它們進行向量化簡與計算.3 .重難點：.問題1：相等向量與平行向量的區別答案：向量平行是向量相等的必要條件。問題2:向量平行（共線）與直線平行（共線）有區別答案：直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況

5、。問題3:對于兩個向量平行的充要條件：a / b a= b,只有bw 0才是正確的.而當b=0時，a / b zl a= X b的必要不充分條件.問題4;向量與有向線段的區別：（1）向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關：只要大小和方向相同，則這兩個向量 就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段若a M，則a b向量就是有向線段（5）兩相等向量若共起點，則終點也相同（6）若 a b,b c,則 a c；r(7)若 a/b , bc ,則 ac(8)(9) a b的充要條件是| a | |b |且a b ；若四邊形AB

6、C比平行四邊形，則ABCD,BC DA解題思路:正確理解向量的有關概念，以概念為判斷依據，或通過舉反例說明。解析：解：（1）不正確，零向量方向任意，（2） 不正確，說明模相等，還有方向 量的模為1,方向很多 （4）不正確，有向線段是向量的一種表示形式（5）（3） 不正確，單位向正確， （6）正確,（7）不正確，因若b 0,則不共線的向量a,c也有a0 , 0c。（8）不正確，如向量相等有傳遞性AB CD,BC DA（9）不正確，當a/b ,且方向相反時，即使|a | |b | ,也不能得到a b ；【名師指引】對于有關向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過舉出反例而排除或否定相

7、關命題。考點一：向量及與向量相關的基本概念1.12012高考浙江文7】設a, b是兩個非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|,則 a bB.若 a，b,則 |a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數入，使得 b=X aD.若存在實數入,使得 b=X a,則|a+b|=|a|-|b|【答案】C【命題意圖】本題考查的是平面向量，主要考查向量加法運算，向量的共線含義，向量的垂直關系。【解析】利用排除法可得選項C是正確的，|a + b| =| a| | b| ,則a, b共線，即存在實數人,使得a=入b.如選項A： | a+ b| = | a| | b|時，a, b可為

8、異向的共線向量；選項 B：若a，b,由正方形得| a+b| = | a| | b|不成立；選項 D：若存在實數 入，使得a=Xb, a, b可為同向的共線向量,此時顯然| a+ b| = | a| | b|不成立.2.12012高考四川文r r7】設a、b都是非零向量,r r r r rrA |a|b| 且 a/b b 、ab卜列四個條件中,r ra/b Dr ra b使早 早成立的充分條件是（|a| |b|r r、a 2b【新題導練】題型1.概念判析例1判斷下列各命題是否正確（1）零向量沒有方向（2）（3）單位向量都相等（4）r r解析若使-a- 2成立，則a與b方向相同，選項中只有D能保證

9、，故選D.|a| |b|點評本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.考點二：向量的加、減法【指引】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結合律等基礎知識.在求解時需將雜亂的向量運算式 有序化處理，必要時也可化減為加，減低出錯律. 題型2:結合圖型考查向量加、減法3. (2009)在 ABC所在的平面上有一點P,滿足uuPAuurPBuur uurPC AB,則PBC與ABC的面積之比是()A. 1 3解題思路: 求解.B. 12C.本題中的已知向量都集中體現在三角形中.為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實施【解析】由uur uuu

10、uurPA PB PCuuu uuu uuu uuu uuinAB,得 PA PB BA PC 0,uur 即PCuuu2AP,所以點P是CA邊上的第二個三等分點，如圖所示.故 S pbc BC PC 2S ABC BC AC 3【名師指引】三角形中兩邊對應向量已知， 可求第三邊所對應的向量. 值得注意的是，向量的方向不能搞錯.當向量運算轉化成代數式運算時，其運算過程可仿照多項式的加減運算進行.4.如圖，在A ABC中，D E為邊AB的兩個三等分點， CA=3 a, CB=2 b,求CD , CE .解析：AB =Ac +Cb = 3a+2b,因D、E為AB的兩個三等分點，故AD= 1 Ab=

11、 -a+ - b =DE , 33CD =CA + AD=3 a a+ -b =2 a+ - b, 33CE=CD + DE=2 a+ b- a+ b=a+ b.333考點三：向量數乘運算及其幾何意義 題型1:三點共線問題例4設e1，e2是不共線的向量，已知向量AB 2e1 ke2,CB e1 3e2,CD 2e1 e2,若 a,b,d 三點共線，求k的值 解題思路:證明存在實數 ，使得AB BD解析：BD CD CB e 4e2 ,使 AB BD 2G ke2得 2,k4 k 8【指引】1、逆向應用向量加法運算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡便, 個向量的和，一定要強化目標意識.2、這

12、是一個重要結論，要牢記。(e 4e2)值得一提的是，一個向量拆成兩題型2:用向量法解決幾何問題由海威迪R同聲.我附可以與咫川向崎的敷心根.W求蝶究過個阿密|成川解fhL何中的M點列和，公所以同理可 id町:電四中W咱中T諱 感M向城彳的班.力得到111工用:(1)(2)(3)向量a與b共線，b與c共線，則a與c共線。(4)向量a與b共線，則a/ b(5)向量AB/CD ,則 AB /CD 。(6)平行四邊形兩對邊所在的向量一定是相等向量。2.在四邊形ABCD43,“AB= 2無是“四邊形ABC陰梯形”A充分不必要條件 條件B、必要不充分條件C充要條件D、既不充分也不必要3.已知向量1i 0,R

13、, a1iI2, b21i,若向量a和b共線,則下列關系一定成立的是（）A、r、l1r/ l2 D4. . H E、F 分別是 ABC的 BCCAAB上的中點，且BC aCAb ,給出下列命題，其中正確命基礎鞏固訓練1.判斷下列命題是否正確，并說明理由:共線向量一定在同一條直線上o 所有的單位向量都相等。題的個數是（）ADCFA、 11 - - a21 -a2Blb25.已知:AB 3(e1 e2),6.若BEADBCeiBEe2,uuu |OAB, C三點共線A, D三點共線uuu uuuuuiruuuOB| |OA OB |則向量 OA,A.平行7.如圖，已知uuuABr uuura, A

14、Cr uuir b, BDrA. a3b4B.-b C.答案:uuur解析：ADuurABuurBDuurAB8.已知 a + b =e 3e2 , a -答案：e1i -e229.已知a(k21)e2,b答案:k21 2k210.如圖,OAB 中,OC1b2CFCDB,C,2ei e2D三點共線D三點共線uurOB的關系是不確定uuu3DC3 uur -BC4b = e12e2則下列關系一定成立的是(綜合拔高訓練-buuuABr r uuur a,b表示ADD.3r a43 uuur (AC4，用向、e2表不 a =-*(2t 1)e1 3e21八一 一Loa, od4r4ouuinAB)1

15、bC，且a/b ,試求t關于k的函數。1OB , AD與BC交于M點，設OA 2a, OB b,(1)試用a和b表示向量OM (2)在線段AC上取一點E,線段BD上取一點F,使EF過M點，設OEOF OB。求證：1 O第2講 平面向量的基本定理與坐標表示知識梳理1.平面向量基本定理：如果 e , &是同一平面內的兩個不共線 不共線向量，那么對于這一平面內的任向量a ,有且只有_一對實數入1,入2使2=入10)+入2e2特別提醒：M 皿(i)我們把不共線向量 e、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；rur uu(3)由定理可將任一向量 a在給出基底0、e2的

16、條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式推入1,入2是被a, 0 , e2唯一確定的數量2 .平面向量的坐標表不如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個r rr單位向量_ i、j作為基底.任作一個向量a ,由平面向量基本定理r知，有且只有一對實數 x、y ,使得a xi yj O1 ,r我們把(x, y)叫做向量a的(直角)坐標，記作ra (x, y)C2其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，。2式叫做向量的坐標表示. r與a相等的向量的坐標也為(x,y).rrr特別地，i (1,0), j (0,1), 0 (0,0)，特別提醒：設OA xi yj ,則向量

17、OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點 A的坐標(x, y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示3 .平面向量的坐標運算rrr r(1)若a (為，必)，b 卜小)，則 a b=(x1 x2,y y),r ra b= (x1 x2,y y2)兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差uuu若 A(x1，y1), B(x2,y2),則 AB % x1，y2 y1一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標rr(3)若 a (x, y)和實數，則 a ( x, y)實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量

18、的相應坐標4 .向量平行的充要條件的坐標表示：設 a=(xi, y 1), b =(X2, y 2)其中b ?aa / b ( b?0)的充要條件是x1y2x2yl 0重難點突破1 .重點：(1) 了解平面向量基本定理及其意義，了解基底和兩個非零向量夾角的概念，會進行向量的分解及正交分解；(2)理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算，會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算；2 .難點：用坐標表示的平面向量共線的條件，能用向量的坐標形式判斷兩向量以及三點是否共線3 .重難點：(1)平行的情況有方向相同和方向相反兩種r問題1：和a = (3, 4)平行的單位向量是 ；錯解：因為a的模等于

19、5,所以與a平行的單位向量就是1 a,即(3,9)555錯因：在求解平行向量時沒有考慮到方向相反的情況。正解：因為a的模等于5,所以與a平行的單位向量是1 a,即(、，一4)或(一、，：)55555熱點考點題型探析考點一：平面向量的坐標表示與運算uuruuinuuir1.12012高考廣東文3】若向量AB (1,2), BC (3,4),則ACA. (4,6) B. ( 4, 6) C.(2, 2) D. (2,2)【答案】A【解析】選Auur uur uurAC AB BC (4,6)第3講平面向量的數量積知識梳理1 .兩個非零向量夾角的概念已知非零向量a與b,作OA = a, OB = b

20、 ,則一/ ao b= e （ow e w汽）叫a與b的夾角.特別提醒：向量a與向量b要共起點。2 .平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量a與b ,它們的夾角是0 ,則數量| a| b |cos?_叫a與b的數量積，記作 a?b ,即有a?b = | a| b |cos?特別提醒：（1） （ow e wn）.并規定0與任何向量的數量積為 0.（2） 兩個向量的數量積的性質：設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1） e ? a = a? e =| a |cos?；2） a?b ? a?b = 03） 當 a與 b 同向時，a?b = | a| b | ；當 a與b 反向時，

21、a?b = ?| a| b |.特別的 a?a = | a |2或| a |a a4)cos? = a b ;|a|b|5)| a?b | a w。卻不能推出b=c.因若a、b夾角為。i, a、c夾角為。2,則由p*p-a b = a c得 |a| | b |cos0 i=|a |- | c|cos。2 及 a |w 0,只能得到| b |cos 0 i=| c|cos 0 2,即b、c在a方向上投影相等，而不能得出 b=c (見 圖）. 若 a、b、cC R,貝U a(bc)=(ab)c( 結合律)成立，但對于向量 a、b、c”U(a - b) c與 a ( b - c)都是無意義的，這是因

22、為 a 6與6 c是數量，已不再是向量了，而數量與向量是沒有點乘定義的.同時，(a - b) c w a( b - c),這是因為數量a - b與向量c相乘是與c共線的向量，而數量b - c與向量a相乘則是與a共線的向量，所以一般二者是不等的.這就是說，向量的數量積是不滿足結合律的.(4)若a、bC R則|a-b|=|a| |b| ,但對于向量a、b,卻有 a b w ai b ,等號當且僅當a / b 時成立.這是因為 | a b |=| a | | b | |cos 0 | 而 |cos 0 | 1.熱點考點題型探析考點一：平面向量數量積的運算【名師指引】a b a b 0是一個常用的結論

23、。例1.12012高考全國文9】uuuABC中，AB邊的高為CD,若CBr uuu r r r r r a,CA b, a b 0,|a| 1,|b| 2,uuur則AD/、1r1 r/、2r2r/、3 r3r(A) -ab(B) -a-b(0 -ab333355【答案】DG 4r 4,r (D a b 55考點二利用數量積處理夾角的范圍 題型1:求夾角及其范圍 例212012高考湖北文13】已知向量a= (1,0), b= (1,1),則(I )與2a+b同向的單位向量的坐標表示為 ;(n)向量b-3a與向量a夾角的余弦值為 。【答案】(I)巫晅；(n)空10105【解析】(I)由a = 1

24、,0 ,b= 1,1，得2a b = 3,1 .設與2a b同向的單位向量為 c= x,y，則y 1, 且 x,y3y x 0,3 10,10 故c = :10.10近叵.即與2a1010b同向的單位向量的坐標為3而 10, 1010(n )由 a= 1,0 ,b= 1,1 ,得 b 3a =2,1 .設向量b 3a與向量a的夾角為cosb 3a ga b 3a|a|2,1 g1,0、5 12.5【點評】本題考查單位向量的概念，平面向量的坐標運算，向量的數量積等 .與某向量同向的單位向量一 般只有1個，但與某向量共線的單位向量一般有 2個，它包含同向與反向兩種 .不要把兩個概念弄混淆了 今年需

25、注意平面向量基本定理，基本概念以及創新性問題的考查 第4講平面向量的應用知識梳理1.利用向量處理幾何問題的步驟為：(1) 建立平面直角坐標系；(2) 設點的坐標；(3) 求出有關向量的坐標；(4) 利用向量的運算計算結果；(5) 得到Z論.2 .平面向量在物理中的應用如圖5-4-3所示，一物體在力 F的作用下產生位移 S,(6) 那么力F所做的功：W= |F| |S| cos a .r r r r r r3 .重要不等式： |a|b| ago |a|b|特別提醒：常用于求參數的范圍重難點突破1 .重點：會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題，如確定力或速度的大小以及方向2 .難點：加

26、強數學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力3 .重難點：.1.熟悉向量的性質及運算律；2能根據向量性質特點構造向量；3 .熟練平面幾何性質在解題中應用；4 .熟練向量求解的坐標化思路.5,認識事物之間的內在聯系；6.認識向量的工具性作用，加強數學在實際生活中的應用意識，熱點考點題型探析考點一：平面向量在平面幾何 題型1.用向量證明幾何題例1已知：如圖所示，ABC比菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AdBD 解題思路：對于線段的垂直，可以聯想到兩個向量垂直的充要條件，而對于 這一條件的應用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標形式的充要條件.解析：證法一：AC = AB + AD ,BD

27、= AD AB ,AC - BD = ( AB + AD ) ( AD AB )=| AD | 2 | AB | 2=0AC BD證法二：以OO在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標系， 設B(O, O), A(a, b) , C(c, O)則由| AB| = | BCM導 a2+b2 = c2AC = BC - BA = (c, Q (a, b) = ( ca, b),BD = BA + BC = ( a, b) + ( c, O) = ( c+a, b)AC BD =c2-a2-b2=OAC BD 即 AC! BD【名師指引】如能熟練應用向量的坐標表示及運算,則將給解題帶來一定的方便.通過向

28、量的坐標表示，可以【新題導練】1.證明:解析設 AC= bCB= a,則 AD =AC +CD = b+1 a, EB2ECCB = b+a2A,GG E共線 .可設 AG=X ADEG =則 AG =入 AD =入(b+1 a)=2 1、入b+一入a,2EG = EB = (i( b+ a)= wb+a, 22 AE EGAG 即：一b + ( (1 b+a)=入b+1入a2入)+ ( 1 ?X+-)b = 0a,b不平行,uiurAG2 uur -AD32.已知M(4,0),N(1,0),若動點P(x,y)滿足uuuu MNuur uuuMP 6|NP|,求動點P的軌跡方程.解析MP (x

29、 4,y),MN(3.0), PN(1x, y)由已知得 3(x 4)6而 x)2 ( y)2 ,把幾何問題的證明轉化成代數式的運算，體現了向量的數與形的橋梁作用。三角形重心與頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍化簡得3x2 4y222一 x y ,12,即 1 ,這就是動點P的軌跡方程.考點二：平面向量與三角函數、函數等知識的綜合應有用 題型1:與函數綜合題例312012高考陜西文71設向量(1. cosr）與 b =（-1 , 2 cos ）垂直，則 cos2 等于 （）A工r2C .0C.【解析】向量 a與b垂直，.2,1 cos 2cos 0, 2cos 1.2-cos2 2cos0

30、 .故選C.考點三：平面向量在物理中的應用 題型1：用向量解決物理問題例4設炮彈被以初速V。和仰角 大時，炮彈飛行的距離最遠 .拋出（空氣阻力忽略不計）.當初速度V0的大小一定時，發射角 多解題思路:上述問題中涉及速度等物理量，可根據平面向量的基本定理和物理問題的需要，把為水平方向和豎直方向兩個不共線的向量，再利用運動學知識建立數學模型，最后利用向量的知識求解V0分解解析：將V0分解為水平方向和豎直方向兩個分速度V1和V2,則| V 1|=| V 01cos| V2|=| V0| sin ,由物理學知識可知，炮彈在水平方向飛行的距離S =| v 1| - t =| v 01cos - t （t

31、是飛行時間）炮彈在垂直方向的位移是0=| V 2| t - gt2 （g是重力加速度）22由得t=2|v0|sin ,代入得S = 2|v0| sin cos2v0 sin 2由于| V0|一定，所以當二45。時，S有最大值.故發射角=45。時，炮彈飛行的距離最遠 .例5某人騎車以每小時 a公里的速度向東行駛，感到風從正東方向吹來，而當速度為 東北方向吹來，試求實際風速和方向.2 a時，感到風從解題思路:利用向量知識解決物理中有關“速度的合成與分解”解析： 設a表示此人以每小時 a公里的速度向東行駛的向量, 無風時此人感到風速為 ？a,設實際風速為v,那么此時人感到的風速為 v ? a,設OA=? a , OB=?2 a PO + OA = PA . . PA = v ? a ,這就是感到由正北方向吹來的風速, PO + OB =PB PB = v ?2a ,于是當此人的速度是原來的2倍時所感受到由東北方向吹來的風速就是 PB ,由題意：？PBO= 45?,PA?BO BA= AO從而， POB等腰直角三角形， PO= PB= J2 a 即：|v | = J2 a.實際風速是 J2 a的西北風【名師指引】 加強數學應用意識，提高分析問題，解決問題的能力第八章 綜合運用用解題思