1、度量空間：把距離概念抽象化，對(duì)某些一般的集合引進(jìn)點(diǎn)和點(diǎn)之間的距離，使之成為距離空間，這將是深入研究極限過(guò)程的一個(gè)有效步驟。泛函分析中要處理的度量空間，是帶有某些代數(shù)結(jié)構(gòu)的度量空間，例如賦范線性空間，就是一種帶有線性結(jié)構(gòu)的度量空間。一、度量空間的進(jìn)一步例子1、度量空間設(shè)x是一個(gè)集合，若對(duì)于x中任意兩個(gè)元素x,y ,都有唯一確定的實(shí)數(shù)d(x,y)與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：1° 的充要條件為x=y2° 對(duì)任意的z都成立，則稱 d(x,y) 是 x,y 之間的距離，稱 d(x,y)為度量空間或距離空間。x 中的元素稱為點(diǎn)。2、常見(jiàn)的度量空間（1）離散的度量空間設(shè) x是

2、任意的非空集合，對(duì) x 中的任意兩點(diǎn) ，令 稱 為離散的度量空間。（2）序列空間S令S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對(duì)S中的任意兩點(diǎn)令 稱 為序列空間。（3）有界函數(shù)空間B(A）設(shè)A是一個(gè)給定的集合，令B(A)表示A上有界實(shí)值（或復(fù)值）函數(shù)全體，對(duì)B(A)中任意兩點(diǎn)x,y ，定義（4）可測(cè)函數(shù)空間設(shè)M(X)為X上實(shí)值（或復(fù)值）的勒貝格可測(cè)函數(shù)全體，m為勒貝格測(cè)度，若 ，對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù) 及由于 ，所以這是X上的可積函數(shù)。令（5）Ca,b空間令Ca,b 表示閉區(qū)間a,b上實(shí)值（或復(fù)值）連續(xù)函數(shù)全體，對(duì) Ca,b中任意兩點(diǎn)x,y，定義二、度量空間中的極限、稠密集、可分空間1、收斂點(diǎn)列設(shè) 是（X，

3、d）中點(diǎn)列，如果存在 ，使則稱點(diǎn)列 是（X，d） 中的收斂點(diǎn)列，x是點(diǎn)列 的極限。收斂點(diǎn)列性質(zhì)：（1）在度量空間中，任何一個(gè)點(diǎn)列最多只有一個(gè)極限，即收斂點(diǎn)列的極限是唯一的。（2）M是閉集的充要條件是M中任何收斂點(diǎn)列的極限都在M中。2、收斂點(diǎn)列在具體空間中的意義（1）n 維歐式空間中：為 中的點(diǎn)列，即： 按歐式距離收斂于x 的充要條件是 依坐標(biāo)收斂于（2）序列空間S中：為 S中的點(diǎn)列，（3）Ca,b空間設(shè) 及X分別為Ca,b 中的點(diǎn)列及點(diǎn)，（4）可測(cè)函數(shù)空間M(X)設(shè) 及 f分別為可測(cè)函數(shù)空間中的點(diǎn)列及點(diǎn)，3、稠密集，可分空間（1）設(shè)X是度量空間，E和M是X中的兩個(gè)子集，令 表示M的閉包，如果

4、，那么稱集M在集E中稠密。等價(jià)定義： 如果E 中任何一點(diǎn)x 的任何鄰域都含有集M中的點(diǎn)，就稱M在E中稠密。對(duì)任一 ，有M中的點(diǎn)列 ，使得（2）當(dāng)E=X時(shí)，稱集M為X的一個(gè)稠密子集。（3）如果X有一個(gè)可數(shù)的稠密子集時(shí)，稱X為可分空間。三、連續(xù)映射1、度量空間中的連續(xù)性設(shè) X=(X,d)，Y=（Y，d） 是兩個(gè)度量空間，T是X到Y(jié)中的映射, 如果對(duì)于任意給定 ，存在 ，使對(duì)X中一切滿足 的x，成立 則稱T在 連續(xù)。 我們也可以用集顯來(lái)定義映射的連續(xù)性連續(xù)性的極限定義設(shè)T是度量空間(X,d)到（Y，d） 中的映射，那么T在連續(xù)的充要條件為當(dāng) 時(shí)，必有2、連續(xù)映射如果映射T在X的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱T是

5、X上的連續(xù)映射。稱集合 為集合M在映射T下的原像。定理： 度量空間X到Y(jié)的映射T是X上的連續(xù)映射的充要條件為Y中任意開(kāi)集M的原像 是X中的開(kāi)集。四、柯西點(diǎn)列和完備度量空間1、柯西點(diǎn)列設(shè) X=(X,d)是度量空間， 是X中點(diǎn)列，如果對(duì)任何事先給定的 ，存在正整數(shù) ，使當(dāng)n，m>N時(shí)，必有 則稱 是X中的柯西點(diǎn)列或基本點(diǎn)列。總結(jié)：在實(shí)數(shù)空間當(dāng)中，柯西點(diǎn)列一定是收斂點(diǎn)列；但是在一般的度量空間當(dāng)中，柯西點(diǎn)列不一定收斂，但是每一個(gè)收斂點(diǎn)列一定是柯西點(diǎn)列。2、完備的度量空間如果度量空間(X,d)中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都在(X,d)中收斂，則稱(X,d)是完備的度量空間。子空間完備性定理完備度量空間X的子空

6、間M，是完備空間的充要條件是：M是X中的閉子空間。五、度量空間的完備化1、等距同構(gòu)映射設(shè)(X,d)， 是兩個(gè)度量空間，如果存在X到 的保距映射T ，即 ，則稱 (X,d) 和 等距同構(gòu)，此時(shí) T稱為X 到 上的等距同構(gòu)映射。六、壓縮映射原理及其應(yīng)用作為完備度量空間概念的應(yīng)用，我們介紹巴納赫的壓縮映射原理，它在許多關(guān)于存在唯一性的定理（例如微分方程，代數(shù)方程，積分方程等）的證明中是一個(gè)有力的工具。在介紹壓縮映射原理前，我們來(lái)介紹壓縮映射以及不動(dòng)點(diǎn)1、壓縮映射設(shè)X是度量空間，T是X到X中的映射，如果存在一個(gè)數(shù)a ，0<a<1,使得對(duì)所有的x,y屬于X，成立 則稱T是壓縮映射。幾何意義：

7、壓縮映射就是使映射后距離縮短a倍的映射。2、不動(dòng)點(diǎn)設(shè)X為一個(gè)集合，T是X到X的一個(gè)映射，如果 ，使得 ，則稱x*為映射T的不動(dòng)點(diǎn)。3、壓縮映射定理設(shè)X是完備的度量空間，T是X上的壓縮映射，那么T有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。注意：a.完備度量空間中的壓縮映射必有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。b.完備性是保證映射的不動(dòng)點(diǎn)的存在，至于不動(dòng)點(diǎn)的唯一性，并不依賴于X的完備性。壓縮映射具有連續(xù)性，即對(duì)任何收斂點(diǎn)列 必有八、 賦范線性空間和巴拿赫空間1、賦范線性空間設(shè)X是實(shí)（或復(fù)）的線性空間，如果對(duì)于每個(gè)向量 ，有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為 與之對(duì)應(yīng)，并且滿足：1° 且 等價(jià)于x=02° 其中 a 為任意實(shí)（或復(fù)）數(shù)

8、；3° 則稱 為向量 x 的范數(shù)，稱X按范數(shù)成為賦范線性空間。 注：范數(shù)類似于普通向量的長(zhǎng)度2、關(guān)于極限的定義（依范數(shù)收斂）設(shè) 是X中一點(diǎn)列，如果存在 ，使則稱 依范數(shù)收斂于 x ，記為 或3、賦范線性空間的性質(zhì)1°賦范線性空間不僅是線性空間，也是一個(gè)度量空間。如果令 可以驗(yàn)證 的d（x，y） 是X上的距離。依范數(shù)收斂于 x 等價(jià)于 按距離收斂于x稱 d（x，y）為由范數(shù) 導(dǎo)出的距離。度量和線性結(jié)構(gòu)之間的協(xié)調(diào)性：2°范數(shù) 是 x 的連續(xù)函數(shù)。4、巴拿赫空間及常用例子完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間。（1）歐式空間 ，對(duì)每個(gè) ，定義 歐式空間 按上述范數(shù)成Banac

9、h空間。（2）空間，對(duì)每個(gè) ，定義空間 Ca，b 按上述范數(shù)成Banach空間。（3）空間 ，對(duì)每個(gè) ，定義空間 按上述范數(shù)成Banach空間。第八章 有界線性算子和連續(xù)線性泛函一、有界線性算子和連續(xù)線性泛函1、線性算子和線性泛函的定義2、有界線性算子和連續(xù)線性泛函3、相關(guān)定理4、有界線性算子的范數(shù)（算子范數(shù)）二、有界線性算子空間和共軛空間1、有界線性算子全體所成空間設(shè)X和Y是兩個(gè)賦泛線性空間， 以表示由X到Y(jié)中有界線性算子全體。當(dāng)A和B屬于， a 是所討論數(shù)域中的數(shù)，定義中加法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算如下定理1：當(dāng)Y是巴拿赫空間，也是巴拿赫空間二、共軛空間1、共軛空間的定義一般，設(shè)X是賦范線性空間，如果X中定義了兩個(gè)向量的乘積，并且滿