1、摘要在兩種情況下分析湖水中的污染物，分別建立模型即理論模型和實際模型。理論模型是根據伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的關系建立污染物量關于時間的差分方程：伊利湖的污染物總量，安大略湖的污染物總量，在時趨于一個定值192.3077，這個定值就是安大略湖系統的平衡值；當時 安大略湖的污染程度減少到目前水平的10%；當是系統的污染物的量是一直增加的，當系統的污染物量急劇減少，大約從開始系統的污染物量幾乎保持不變。實際模型中首先根據湖水的實際更新情況重新確定湖水流入和流出占湖水總量的百分數，又由于湖水中污染物的濃度時刻變化，所以用時間微元的方法對實際污染物流出的比例進行修正。分析鋁廠排放的污染物時

2、，鋁廠排放的污染物是赤泥，根據赤泥的物化性質利用重力沉降原理求得赤泥顆粒從湖面沉降到湖底的時間，把一年分成多份，同時將鋁廠每年向湖水中排放的污染物量25單位按分成多份，每一個單位時間鋁廠排放到湖里的污染物量是單位，則安大略湖的湖水中將始終保持有0.3單位的赤泥，其余的赤泥都將在湖底沉積。綜合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情況預測了未來十年內的情況。模型中重力沉降原理指出顆粒的直徑影響沉降速度間接影響赤泥的排出量直徑越小排出量越大，同時直徑是最可能實現改進的因素。在直徑小于20um時赤泥的排出量急劇增加。為減少安大略湖的污染盡量把顆粒直徑做小。 二、問題分析伊利湖的湖水每年有38%的更新，

3、湖水的更新引起湖內污染物量的變化。假設流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又將攜帶污染物，那么伊利湖是一個沒有污染物注入只有污染物排除的系統，污染物的量逐漸減少，根據污染物排除的情況獲得伊利湖污染物量隨時間變化的關系。安大略湖湖水每年更新13%，在認為流入湖的水僅來自伊利湖的情況下，安大略湖的污染物源只有伊利湖和鋁廠，根據每一年的湖水更新量和鋁廠的排放量求一二階差分方程，用來描述安大略湖內污染物（伊利湖流入的和鋁廠排放的和）時間變化的情況。但是這些都只是很簡單的處理問題，考慮實際情況時。要有很多因素影響著伊利湖和安大略湖的污染物總量，湖水的更新不僅僅包括湖水的流入和流出還有將于

4、和蒸發等；鋁廠排放的污染物在湖水中的性質與伊利湖流入的污染物不同；湖水內污染物的量時刻變化等實際情況建立更加合理的模型。三、理論模型建立1.模型假設1.污染物在湖水中均勻分布，每一處污染物濃度相同。2.對理論模型假設每年安大略湖的湖水補充僅來自伊利湖的流入。3湖水的更新量中湖水的增加僅來自湖水的流入量，減少量僅是湖水的流出即忽略湖水的蒸發和降雨等。4.安大略湖的湖水流出速度恒定。2.符號說明：代表年份取值從1開始，初始的那年為第1年。：第年時的伊利湖的污染物總量。：第年時的安大略湖的污染物總量.3差分方程的建立和求解已知伊利湖每年的湖水更新量是38%，流入的的水流中沒有污染物，流出的湖水攜帶污

5、染物.安大略湖的湖水補充僅來自伊利湖，每年伊利湖湖水總量的38%經尼亞加拉河流入安大略湖，安大略湖的污染物消失都來自湖水的流出貢獻。安大略湖的污染物總量用函數b（n）表示，伊利湖的污染物總量用函數a(n)表示。根據伊利湖水的污染物總量的變化可得如下方程： 根據安大略湖的污染物情況列出可以表示污染物變化關系的函數式： 把和消去得到的二階差分方程如下： (1) 可得上式的齊次方程： ，。齊次方程的通解為： (2) 設（1）式的通解為： (3)(2)式代入(1)式是滿足： (3)式代入(1)式滿足。根據這樣二個規則可求出的方程：，解得，則（1）式的通解（3）變為 。已知第一年安大略湖的污染物總量是2

6、500單位即，第二年污染物總量增加至3150單位；通過MATLAB編程可求得，所以二階差分方程的通解可以代表安大略湖的污染物總量的方程為： (4)4. 系統的平衡值安大略湖污染物總量當n從1開始增長下去，逐漸趨近于0,所以隨著的增長逐漸趨近于192.3077。通過方程可以證明系統存在平衡值是192.3077,隨著時間的推移安大略湖內的污染物的流入和排除能力相同，湖內的污染物總量保持在192.3077單位。其實，通過實際情況的分析亦可得到相同的結論，已知安大略湖的污染物僅來自鋁廠和伊利湖，鋁廠每年的排入量恒定25單位；伊利湖的污染物每年流出總量中的一部分，而且沒有外界的補充，這樣時間的增長使伊利

7、湖內的污染物總量越來越少趨近于零，伊利湖流入安大略湖的污染物自然減少至零。從某一年開始安大略湖的污染物僅來自于鋁廠，并且流入和流出的能力相同，所以說每年鋁廠流入安大略湖的25單位的污染物的同時，安大略湖也要通過每年13%湖水的更新中把25單位的污染物排走，污染物再湖水中平均分布，鋁廠流入的25單位的污染物相當于安大略湖污染物平衡時的污染物總量的13%。根據這個關系我們可以分析出安大略湖的污染物平衡值是192.3077。通過實際分析出來的平衡值和方程顯示的平衡值相統一。5.污染物減少到目前水平10%的時間和系統的長期表現目前污染物總量為2500單位，減少到10%即250單位左右。對污染物總量和時

8、間繪二維圖形如圖1所示。通過MATLAB計算由表1可知道時污染物總量，時。由這些數據可以知道現在作為第一年，要等到第35年污染物總量才能低于現在水平的10%。表1.年份-污染物總量（單位）年份污染物量污染物減少量年份污染物總量污染物減少量年份污染物總量污染物減少量1250035245.958.0269192.7780.0723150.-65036238.9786.9770192.7170.0633354.50-204.537232.916.0771192.6640.0543308.5945.9138227.6335.2872192.6170.0553129.88178.7139223.0414

9、.5973192.5770.0462888.37241.5140219.0453.9974192.5420.0372624.92263.4541215.5693.4875192.5120.0382362.64262.2842212.5453.0176192.4850.0392113.95248.6943209.9142.6577192.4620.02101884.88229.0744207.6252.2878192.4420.02111677.70207.1845205.6342.0079192.4240.018121492.57185.1346203.9011.7380192.4090.01

10、5131328.48164.0947202.3941.5181192.3960.013141183.84144.6448201.0831.3182192.3840.012151056.85126.9949199.9421.1483192.3740.0116945.636111.2150198.9500.9984192.3660.00817848.43497.2051198.0860.8685192.3580.00818763.59084.8452197.3350.7386192.3510.00719689.60473.9953196.6810.6887192.3460.00520625.130

11、63.9754196.1130.5788192.3410.00521568.97156.1655195.6180.4989192.3360.00522520.07248.956195.1870.4390192.3320.00423477.50442.5757194.8130.3791192.3290.00324440.45437.0558194.4870.3392192.3260.00325408.21132.2459194.2040.2893192.3240.00226380.15328.0660193.9570.2594192.3220.00227355.73924.4161193.743

12、0.2195192.3200.00228334.49721.2462193.5560.1996192.3180.00229316.01518.4863193.3940.1697192.3170.00130299.93416.0964193.2530.1498192.3160.00131285.94413.9965193.1300.1299192.3150.00132273.7712.1766193.0230.11100192.3140.00133263.1810.5967192.9300.0934253.9689.2168192.8490.07把上表的數據繪制成二維圖形可以直觀的看出污染物總量

13、和污染物減少量隨時間變化的趨勢，從圖1中可以明顯的看出系統的長期情況安大略湖的污染物總量僅在前三年的范圍內值增長的，從第四年開始污染物總量的值開始下降，從第四年開始的前20年下降速度非常的快，圖2 也說明了安大略湖系統的污染物量逐漸趨于穩定，從第四十年開始污染物變化量幾乎為0。 圖1.污染物總量與時間的關系 圖2污染物變化量與時間關系實際模型建立符號說明：實際情況下第年時的伊利湖的污染物總量。：實際情況下第年時的安大略湖的污染物總量.：修正后的伊利湖污染物每年排除的百分數，可直接表示污染物變化情況。：修正后的伊利湖每年排到安大略湖污染物的百分數，可直接表示伊利湖排到安大略湖的污染物情況。：修正

14、后的安大略湖污染物每年排放的百分數，可直接表示污染物變化情況。模型假設1鋁廠向安大略湖排放的污染物中只有赤泥，而且赤泥顆粒在湖水中的運動和分布相互獨立。2.對于安大略湖除伊利湖的流入含有污染物外，降雨和其他支流都不含有污染物。3.由于安大略湖的平均水深較深，在污染物（赤泥）沉降到湖底以后，只能在湖底層附近移動，不能浮起。4.設污染物（赤泥）在湖中沉積過程中以勻速下沉，其速度符合重力沉降原理。5湖水的密度為正常水的密度即為。6湖底初始時已有的赤泥的量為0。安大略湖是安大略省西端中最小的五大湖,平均深度86米(283英尺)，流入安大略湖的水中79%是伊利湖通過安大略省西端尼亞加拉河流入的，剩下的流

15、動支流來自安大略省西端盆地(14%)和降水(7%)。 93%的湖水從安大略省西端的圣勞倫斯河流出，其余的7%是蒸發失去。安大略湖的總蓄水量是1688立方千米，伊利湖的總蓄水量是1638立方千米。安大略湖的污染物來源主要是伊利湖湖水的流入和鋁廠廢物的排放。鋁廠排放的廢物主要是赤泥,赤泥是從鋁土礦中提煉氧化鋁后排出的工業固體廢物。赤泥的化學成分為：、 、;赤泥的物理性質是：顆粒直徑008025mm。1.伊利湖的污染物模型對于伊利湖，伊利湖的污染物總量沒有外界的補充，污染物隨著伊利湖湖水的流出逐漸減少。每年的湖水更新量是38%，其中補充的水量包括降雨（7%）和河流流入，他們都不包含污染物，排除的水量

16、包括河流的流出和蒸發其占所有的更新量的（7%）；所以每年湖水通過尼亞加拉排除的更新量是用。由于污染物的量隨時間連續變化，所以不能用35%水流量的更新直接表示污染物的排除，對35%作如下修正。將一年的時間分為m份，每一份時間內流出的水流量占總水流量的0.31/m,則可以知道每一份時間過后湖中剩余的污染物量：=當m趨向于無窮時，即所以35%修正后的結果為，。每年伊利湖中污染物的量減少29.5%。所以伊利湖中污染物的量可以表示為： n=1,2,32.安大略湖污染物量對于安大略湖的情況污染物的來源只有伊利湖的流入和鋁廠的排放，研究安大略湖的污染物情況時把伊利湖流入的污染物和鋁廠排放的污染物分開考慮分別

17、建立模型。2.1源自伊利湖的污染物通過網上資料總結得到以下湖泊河流以及降水蒸發之間的關系見圖3圖3.伊利湖與安大列湖的關系每年伊利湖流入安大略湖的水流量占安大略湖湖水更新部分（13%）的79%，這是因為安大略湖的79%的水是來自伊利湖的。根據這個關系可以知道每年從伊利湖流入安大略湖的水流量Q=13%*79%*1688=175.552立方千米，這部分占伊利湖湖水總量的10.7%也就是說每年伊利湖的污染物通過這10.7%湖水更新流入安大略湖。由于伊利湖中湖水的流出是連續的，湖水中的污染物的量也是連續變化的，因此在求解污染物每年流出的量的百分數時不能直接使用10.7%，對10.7%修正，修正方法同伊

18、利湖模型中的相同。將一年的時間分為m份，每一份時間內流出的水流量占總水流量的0.107/m,則可以知道每一份時間過后湖中剩余的污染物量：=當m趨向于無窮時，即，所以10.7%經修正后的結果是，可以直接描述每年伊利湖中排放到安大略湖的污染物量。安大略湖的湖水每年更新13%，而更新的湖水93%來自湖水的流出，7%是湖水的蒸發，湖水的蒸發對污染物的排除是沒有貢獻的。所以每年安大略湖的湖水通過圣勞倫斯河流出更新是13%*93%=12.09%。安大略湖污染物的量也是隨著時間連續變化的，通過上面提到的百分數的修正，=當m趨向于無窮時，即。則每年安大略湖排除的污染物的百分比修正后的結果是：，。根據安大略湖污

19、染物流入和排除關系可得到差分方程： 可得上式的齊次方程： ；，。方程的通解為： 已知安大略湖第一年的污染物總量是2500單位，第二年3150單位。從鋁廠污染物的計算中可以知道，由于鋁廠排放的赤泥在湖水中溶解的十分的少絕大部分沉到湖底，我們假設安大略湖水體中的污染物都是伊利湖排放來的。通過和可以求解出，安大略湖中來自伊利湖的污染物隨時間變化的方程：。近十年的情況如圖2所示。通過圖4可以觀察到，那些源于伊利湖的污染物在安大略湖中從第三年開始呈線性下降趨勢。由于伊利湖內的污染物逐漸減少，排入到安大略湖的污染物自然也減少，照這個趨勢一致走下去，伊利湖和安大略湖內來自伊利湖的污染物都將減少至0。 圖4.

20、安大略湖中來自伊利湖的污染物變化情況對應上圖的的未來三年的數據如表2所示。在第五年污染物的總量又回到了初始的水平。表2.未來三年由伊利湖流入安大略湖的污染物的預測年份第一年第二年第三年第四年第五年污染物量25003510306727992504 2.2鋁廠排放的赤泥考慮安大略湖的污染物實際情況，實際情況中污染物除了伊利湖的湖水流入攜帶污染物外，僅有鋁廠向安大略湖排放鋁廠的廢物。通過查詢資料可知鋁廠像安大略湖排放的廢物是赤泥，因此只需要知道赤泥在湖水中的存在情況就可以描述鋁廠的排放對安大略湖污染物量的影響。赤泥的化學物理組成決定了赤泥不能像一般污染物一樣溶解在湖水中，并在湖水中擴散，隨湖水的流出

21、而排除湖水系統。實際上赤泥以顆粒的形式在湖水中向下沉降，絕大多數的赤泥會沉降到湖底，不能夠隨著水流排除到圣勞倫斯河中，為驗證這一情況，下面做出一些討論。符號說明：赤泥顆粒從湖頂沉積到湖底的時間。：湖水的密度水的密度。：污染物顆粒在水中的平均速度。：赤泥顆粒的直徑（0.16mm）。：赤泥的密度。：水的粘滯系數。：重力加速度。：安大略湖的平均水深。：赤泥顆粒從湖面沉到湖底的時間內鋁廠向湖內排放的赤泥的量。：赤泥每年隨湖水排除的污染物的量。：第年時湖底積累的赤泥的量。：第年安大略湖總的污染物量。：沉降雷諾數。赤泥顆粒在水中運動時的速度非常的小，所以忽略到加速段的影響，認為赤泥顆粒在水中沉降的速度是勻

22、速的重力沉降原理模型：當K>69.1時為湍流區（Newton牛頓區下限段）；當2.62<K<69.1時為過渡區（Allen阿倫區）；當K<2.62時為滯留區（Stokes斯托克斯區）。數群K值判斷法：算得根據=4.71，確定赤泥顆粒的沉降在重力沉降原理模型中的過渡區那么有 求得 已知安大略湖的平均水深為86米，那么赤泥從湖面沉降到湖底的平均時間將的單位換算成年：把作為一個單位時間，那么一年一共由83.3個單位時間組成；已知鋁廠一年向安大略湖龐芳的污染物的總量為25單位，那么每一個時間內排放到安大略湖的赤泥的量為，單位。由于每一個單位時間是顆粒從湖面沉降到湖底的時間，每一

23、個單位時間鋁廠排放到湖里的污染物量是單位，那么湖水里將始終保持有0.3單位的赤泥，隨著時間推移，排入到安大略湖的赤泥越來越多，湖水中始終保持0.3單位的量，更多的赤泥就在湖底沉積。沉在湖底的赤泥在沒有外界清楚地情況下降一直在湖底積累，湖水中含有的0.3單位的赤泥可以隨著湖水的流出而部分排除。安大略湖的湖水每年更新13%，其中93%是安大略湖湖水的流出，其余是湖水的蒸發，湖水的蒸發對污染物的排除沒有作用，所以在湖水中污染物始終保持0.3單位的情況下每年有，單位，每年鋁廠排放的25單位污染物中只有0.036被排除，剩下的24.964單位都將沉積到湖底。到第年時湖底積累的赤泥的量： =1,2,3安大

24、略湖的污染物量由伊利湖的流入和鋁廠的排放組成，安大略湖污染物總量與時間的關系函數式：。未來十年的發展情況如圖5，對未來的十年預測如表3中所示. Figure 5.實際安大略湖污染物情況Time12345678910The total amount of pollutant 2500.03175.03116.92873.92604.02350.82124.41925.01750.81599.2The total amount of red mud024.96449.9274.89299.856124.82149.7174.74199.71224.67The total amount of pollutant from Erie2500315030672779.92504.22226.01974.61750.31551.11374.5表3.實際情況下安大略湖的污染物情況預覽未來十年赤泥在湖底逐年累積，流出部分非常的少而由伊利湖流入的污染物逐年減少，總污染物量的減少是伊利湖污染物減少的作用。模型結果的分析不同的數群判斷法值對應不同的區域，其中當時為湍流區（Newton牛頓區下限段）；當時為過渡區（Allen阿倫區）；當時為滯留區（Stokes斯托克斯區）。換算成顆粒直徑為：當時污染物沉降處于滯留區，當時污染物沉降處于過渡區，當時污染物沉降處于湍流區。分別將過渡區