1、曲線積分，重積分，曲面積分是積分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它在高等數(shù)學(xué)中有著重要的地位.格林公式、高斯公式和斯托克斯公式建立了不同積分的聯(lián)系.一、溝通各積分的三個定理格林公式 設(shè)平面區(qū)域是由分段光滑閉曲線圍成，函數(shù)，在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則，這里為的邊界曲線，并取正方向.高斯公式 設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面圍成，函數(shù)、在上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，其中取外側(cè). 斯托克斯公式 設(shè)有光滑曲面，其邊界是按段光滑的連續(xù)曲線，函數(shù)、在（連同）上連續(xù)，且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.這三個公式都與曲線的正方向或曲面的正側(cè)有關(guān).因此，有必要對曲線正向與曲面正側(cè)的理論及其應(yīng)用進(jìn)

2、行系統(tǒng)的討論.二、曲線正方向的討論為方便計，下面討論時僅以一般平面曲線為例，對于相關(guān)的結(jié)論在空間曲線的推廣不作仔細(xì)說明.（一）一般的平面有向曲線設(shè)平面可求長曲線有兩個端點和.如果規(guī)定是始點，是終點，則稱為平面有向可求長曲線，方向由到，記為.下面約定：若未特別說明，則是平面光滑曲線，且總是有參數(shù)方程，. （1）（二） “參數(shù)增加方向”及其切向量規(guī)定平面光滑曲線的點為始點，為終點，此曲線的方向叫做“參數(shù)增加方向”.注1 當(dāng)平面光滑曲線用參數(shù)方程表示時，把有向曲線的方向規(guī)定與“參數(shù)增加方向”一致，會帶來方便.注意到與都是割線方向，令得切向量，稱作在點的“參數(shù)增加方向的切向量”.其方向余弦為， （2）

3、其中表示與軸正方向的夾角.注2 平面光滑曲線上在點處的單位切向量有兩個，它們平行且方向相反；雖然切向量方向與曲線的方向是兩個不同概念，但是為了表述方便，習(xí)慣上仍然說，由式（2）表示的切向量的方向與曲線的參數(shù)增加方向相同.（三）參數(shù)增加方向的法向量記平面光滑曲線上點處的單位法向量為，參數(shù)增加方向的單位切向量為，那么，為推演方便，無妨設(shè)，故，故，從而，因此參數(shù)增加方向的切向量與曲線法向量關(guān)系式有兩種， ，約定下文總是采用前一個關(guān)系式，. （3）即，.（四）有向曲線與曲線積分曲線方向?qū)τ诘诙颓€積分具有重要意義.曲線積分兩種，可統(tǒng)一定義如下：設(shè)是平面可求長曲線，起點是，終點是；是曲線的分割，用分點

4、表示：，用小弧表示：，用表示小弧的弧長， 用表示的直徑，表示的模.設(shè)函數(shù)在有定義，點，和式叫做第一型曲線積分的積分和.和叫做第二型曲線積分的積分和.曲線積分定義 若極限（、）存在，且與分割以及點的取法無關(guān)，則稱此極限為在上的第一型曲線積分（第二型曲線積分），記作（、）.注3 因為第一型曲線積分的積分和中的是小弧弧長，其數(shù)值與小弧的起點和終點無關(guān)，所以第一型曲線積分與曲線方向無關(guān).在第二型曲線積分的積分和中，是有向小弧（或向量）在軸與軸的投影，當(dāng)曲線改變方向時，與改變符號，因此，.三、曲面正側(cè)的討論（一）單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面若動點沿曲面上的任意閉路從出發(fā)回到時，指定的法線方向不變，則稱為雙側(cè)曲面；

5、若存在一個閉路，使得動點沿從出發(fā)又回到時，指定的法線方向與原指定的法線方向相反，稱為單側(cè)曲面.注4 因為帶只有一個側(cè)的曲面，故是單側(cè)曲面.常見的都是雙側(cè)曲面，對于雙側(cè)曲面，其必有兩個側(cè)，因而須指明曲面的側(cè)，用于表明曲面的方向.約定 下面只討論雙側(cè)曲面.（二）光滑曲面的正側(cè)法線方向 光滑曲面上到處都有切平面（或法線），為曲面上的一點，曲面在處的法線有兩個方向，當(dāng)取定其中一個指向為正方向時，則另一個指向就是負(fù)方向.曲面正側(cè) 設(shè)是光滑曲面，任取，選定的切平面法線的其中的一個方向為正方向，當(dāng)不越過邊界移動時，隨之確定了它任何一點的法線正方向，從而就確定了曲面的一個側(cè)，叫做曲面正側(cè)，另一側(cè)叫做曲面負(fù)側(cè).

6、注5 設(shè)光滑曲面：，因而上任一點都存在切平面，點處的法方向為和，其分別對應(yīng)于兩個相反的法方向，進(jìn)而確定曲面的兩個側(cè).注意，和的方向余弦分別是，或.（三）曲面正側(cè)與曲面積分曲面正側(cè)對于第二型曲面積分具有重要意義.曲面積分包括兩種，可統(tǒng)一定義如下：設(shè)空間有向曲面可求面積，是正側(cè)法向量，分割用個小曲面塊表示為：，用表示的直徑， 用表示的模.曲面的投影面積 曲面在平面的投影是區(qū)域，記的面積為，記的面積為，據(jù)面積定義知.正側(cè)投影面積 規(guī)定曲面在平面的正側(cè)投影面積為同理規(guī)定和.積分和 設(shè)函數(shù)在有定義，和式，叫做第一型曲面積分的積分和；和式，叫做在曲面正側(cè)的第二型曲面積分的積分和.曲面積分定義 若極限，（、

7、，）存在，且與分割以及點的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù)在上的第一型曲面積分（第二型曲面積分），記作（，）.注6 因為第一型曲面積分的積分和中的是小曲面塊的面積，其數(shù)值與小曲面塊的側(cè)無關(guān)，所以第一型曲面積分與曲面的正側(cè)無關(guān).在第二型曲面積分的積分和中，是小曲面塊的正側(cè)在坐標(biāo)平面的投影面積，當(dāng)曲面的側(cè)改變方向時，、和改變符號，因此第二型曲面積分也改變符號.四、曲線正向與曲面正側(cè)的結(jié)合（一）右手法則設(shè)是空間上的光滑曲面，其邊界曲線為，取定的一側(cè)為正側(cè)，伸開右手手掌，以拇指方向指向確定側(cè)的法線方向，其余四指伸開微曲，并使曲面在手掌的左側(cè)，其余四指所指的方向就是邊界線的正向. 這種方法是由曲面正側(cè)來規(guī)定曲

8、線正方向，叫做右手法則.注5 右手法則也用于從曲線正方向去規(guī)定曲面正側(cè).（二）兩個公式中的右手法則約定：當(dāng)空間上的光滑曲面與坐標(biāo)平面平行時，如果未特別指明，總是規(guī)定與光滑曲面垂直的坐標(biāo)軸的正方向是的正側(cè)法向量.比如把平面上的區(qū)域視為光滑曲面時，軸的正方向就是其正側(cè)法方向，或者說，平面上的區(qū)域的上側(cè)就是其正側(cè).在斯托克斯公式的表述中已經(jīng)要求光滑曲面的側(cè)與其邊界曲線，符合右手法則.根據(jù)上面的約定，格林公式中區(qū)域與其邊界曲線，也符合右手法則.五、曲線正向與曲面正側(cè)的應(yīng)用（一）曲線正向的應(yīng)用例1 計算 ，其中為任何不包含原點的閉區(qū)域的邊界線.解 因為，在上述區(qū)域上連續(xù)且相等，于是，所以由格林公式立即可

9、得.注5 在格林公式中，令，則得到一個計算平面區(qū)域的面積的公式：.例2 計算曲線積分,其中為連續(xù)函數(shù)，為連接點到的任何路線，但與線段圍成已知大小為的面積.解 設(shè)， ，則.（1）若為逆時針方向，補(bǔ)充直線段：，構(gòu)成封閉路線，由于，均在封閉半圓的內(nèi)部連續(xù)，利用格林公式有.（2）若為順時針方向，同理可求.例3 計算曲線積分，其中是從到的上半圓周.解 設(shè)，則，補(bǔ)充直線段：構(gòu)成封閉路線，由于，均在封閉半圓的內(nèi)部連續(xù)，利用Green公式有.（二）復(fù)連通區(qū)域上的積分與路線無關(guān)性定理 下列條件在平面單連通區(qū)域和復(fù)連通區(qū)域中等價：（1）在開區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān)；（2）存在使得，即， ，此時稱在內(nèi)是全微分，稱為的原

10、函數(shù).（3）對于內(nèi)任何封閉路徑，即內(nèi)簡單逐段光滑封閉定向曲線，有.（三）曲面正側(cè)的應(yīng)用例4 應(yīng)用高斯公式計算曲面積分，其中是單位球面的外側(cè).解 由高斯公式，有.例5 利用斯托克斯公式計算曲線積分，其中為平面與球面的交線，取逆時針方向為正.解 由斯托克斯公式可得.其中在三個平面上的投影區(qū)域分別為橢圓，橢圓，直線，其面積分別為，所以.例6 計算，其中是平面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的下側(cè).解 補(bǔ)充平面塊：，方向取上側(cè)使構(gòu)成封閉曲面的外側(cè)，由高斯公式得.其中：在平面上投影區(qū)間為，面積為.例7 計算曲面積分，其中是上半球面的外側(cè).解 添加一曲面，取下側(cè)為正向，則與構(gòu)成一封閉曲面，外側(cè)為正向，故.例

11、8 若是平面上的閉曲線，它所包圍區(qū)域的面積為，求，其中依正向進(jìn)行.解 因為，由斯托克斯公式，得.這里，是以平面閉曲線為邊界的平面.例9 計算，其中是與的交線.的部分，曲線的方向規(guī)定為從原點進(jìn)入第一卦限.解 記，由斯托克斯公式，所求積分，其中為球面上圍成的最小球面塊下側(cè)，而的方向余弦為，所以，由于關(guān)于平面對稱，從而，所以.結(jié)論確定曲線正向與曲面正側(cè)后，正確運用格林公式、高斯公式以及斯托克斯公式，使用公式前一定要注意區(qū)分三個公式成立的條件，靈活運用高斯公式和斯托克斯公式可以簡化某些曲面積分與曲線積分的計算，可以讓我們更直觀的解決問題.參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）M.第三版.北京：高等教育出版社，2009.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下冊同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解M.第三版.北京：高等教育出版社，20093 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.武漢：崇文書局,2009.4 陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析(下冊)M.第三版.北京：高等教育出版社,2007.5 白越等.淺談利用高斯公式計算積分J，中國教育發(fā)展研究2010年第6期6 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊）M.第二版.北京：高等教育出版社，1998.7李日光.歐苡.非光滑