1、數(shù)列通項公式的常見求法學(xué)案一、 觀察歸納法：觀察數(shù)列的特征，橫向看各項之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式。例1 寫出下列各數(shù)列的一個通項公式。21,203,2005,20007，；0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0，；二、 公式法 ： 等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式例2等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.解：設(shè)數(shù)列公差為成等比數(shù)列，即， 由得：，練一練：1.已知等差數(shù)列的公差大于,且是方程的兩根,數(shù)列 的前項和為,且.求數(shù)列,的通項公式； 三、累加法：若求，f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、

2、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)形式的函數(shù)。（1） 若f(n)是常數(shù)，則為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式即可；若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和。例3 已知的首項，（）求通項公式。解： 練習(xí)：已知數(shù)列滿足，則=_ ；（2） 若f(n)是二次函數(shù)形式，累加后利用分組求和。例4 已知數(shù)列滿足求 （補充：）（3） 若f(n)是含指數(shù)函數(shù)形式，累加后轉(zhuǎn)化等比數(shù)列求和。例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以練習(xí)：已知中，求。（4）若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項求和。例6 在數(shù)列中，練習(xí)：已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項公式.四 累乘法 。 -適用于： 的形式，其中f(1)f(

3、2)f(3)f(n)的值可求。例7，練習(xí)：1、2、（提高）數(shù)列各項均為正數(shù)，且五、構(gòu)造法（1）形如的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為A的等比數(shù)列后，再求。（i）若A=1時，數(shù)列為等差數(shù)列；若B=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（ii）時方法：令，則，則為公比等于A的等比數(shù)列，利用公式求解。例8 已知數(shù)列中，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，則,所以.練習(xí)1 已知，求； (2) 形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即： ,令，則

4、,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型(1)來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項.注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略練習(xí)：1、已知中，擴展視野：（3）形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例 10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案： .六、倒數(shù)法 形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。分子只有一項例11：解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，練一練：1.已知數(shù)列中，a，a，a（nN）求a七、階差法（逐項相減法） 遞推公式中既有，又有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例12已知數(shù)列的前項和滿足求數(shù)列的通項公式。解：由當時，有，經(jīng)