1、數列通項公式的常見求法學案一、 觀察歸納法：觀察數列的特征，橫向看各項之間的關系結構，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通項公式。例1 寫出下列各數列的一個通項公式。21,203,2005,20007，；0.2,0.22,0.222,0.2222，； 1,0,1,0，；二、 公式法 ： 等差數列通項公式；等比數列通項公式例2等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，求數列的通項公式.解：設數列公差為成等比數列，即， 由得：，練一練：1.已知等差數列的公差大于,且是方程的兩根,數列 的前項和為,且.求數列,的通項公式； 三、累加法：若求，f(n)可以是關于n的一次函數、二次函數、

2、指數函數、分式函數形式的函數。（1） 若f(n)是常數，則為等差數列，利用等差數列通項公式即可；若f(n)是關于n的一次函數，累加后轉化為等差數列求和。例3 已知的首項，（）求通項公式。解： 練習：已知數列滿足，則=_ ；（2） 若f(n)是二次函數形式，累加后利用分組求和。例4 已知數列滿足求 （補充：）（3） 若f(n)是含指數函數形式，累加后轉化等比數列求和。例5 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由得則所以練習：已知中，求。（4）若f(n)是關于n的分式函數，累加后可裂項求和。例6 在數列中，練習：已知數列滿足，求此數列的通項公式.四 累乘法 。 -適用于： 的形式，其中f(1)f(

3、2)f(3)f(n)的值可求。例7，練習：1、2、（提高）數列各項均為正數，且五、構造法（1）形如的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為A的等比數列后，再求。（i）若A=1時，數列為等差數列；若B=0時，數列為等比數列;（ii）時方法：令，則，則為公比等于A的等比數列，利用公式求解。例8 已知數列中，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.練習1 已知，求； (2) 形如： (其中q是常數，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數列構造成等差數列即： ,令，則

4、,然后類型1，累加求通項.ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數列構造成等差數列。 即： ,令,則可化為.然后轉化為類型(1)來解，iii.待定系數法：目的是把所求數列構造成等差數列設.通過比較系數，求出，轉化為等比數列求通項.注意：應用待定系數法時，要求pq，否則待定系數法會失效。例9 已知數列滿足，求數列的通項公式。解法一（待定系數法）：設，比較系數得，則數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略練習：1、已知中，擴展視野：（3）形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數可求得，數列為等比數列。例 10 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：設比較系數得或，不妨取，（取-3 結果形式可能不同，但本質相同）則，則是首項為4，公比為3的等比數列，所以練習.數列中，若,且滿足,求.答案： .六、倒數法 形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。分子只有一項例11：解：取倒數：是等差數列，練一練：1.已知數列中，a，a，a（nN）求a七、階差法（逐項相減法） 遞推公式中既有，又有 分析：把已知關系通過轉化為數列或的遞推關系，然后采用相應的方法求解。例12已知數列的前項和滿足求數列的通項公式。解：由當時，有，經