1、子主題三 不定方程的背后學(xué)習(xí)目標(biāo)結(jié)合實(shí)際背景理解不定方程，主要是二元一次不定方程的涵義，認(rèn)識(shí)到不定方程的解法與一元一次的方程的聯(lián)系與區(qū)別，能夠用列舉法求出簡單的二元一次不定方程的正整數(shù)解經(jīng)歷從具體問題得到不定方程（二元一次方程）概念的過程，類比一元一次方程的解法得到二元一次不定方程、三元一次不定方程的解法，進(jìn)一步理解和掌握探究問題的基本辦法和步驟，提高探究問題的能力 在探究活動(dòng)中，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的價(jià)值，增強(qiáng)合作交流意識(shí)和利用已有知識(shí)、方法進(jìn)行自主探究意識(shí)與能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣重難點(diǎn)分析不定方程概念和不定方程的解法不定方程也是“含有未知量的等式”，學(xué)習(xí)不定方程的概念

2、重點(diǎn)是讓學(xué)生理解方程就是一種刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型，形成一種事物之間是聯(lián)系和可以互相轉(zhuǎn)化的意識(shí)；解二元一次不定方程可以利用一元一次方程的各種諸如移項(xiàng)、兩邊同做某個(gè)運(yùn)算等變形手段，不同的是，二元一次不定方程的解的個(gè)數(shù)不唯一，在遇到具體問題時(shí)可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)意義以列舉法的形式給出不定方程的解的確定性和不定性一個(gè)不定方程的解具有確定性，所謂確定性，指的是不定方程把一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境中的不同量間的等量關(guān)系確定了出來；然而，不定方程的解有具有不定性，因?yàn)檫@里不再關(guān)注具體的數(shù)值解，而是關(guān)注不同量的關(guān)系，這是進(jìn)入初中后，數(shù)學(xué)視角的一次重要改變對(duì)于大多數(shù)思維仍然處于“具體運(yùn)算階段”的初一學(xué)生來說，完成這一轉(zhuǎn)

3、變是困難的，可以通過一些具體的不定方程，主要是二元一次不定方程的多個(gè)數(shù)值解讓學(xué)生理解讓學(xué)生通過“一個(gè)二元一次不定方程的一個(gè)未知量的值決定了另一個(gè)未知量的值”理解“確定性”；通過“一個(gè)二元一次不定方程有多個(gè)解，遇到具體情形做出合理的選擇就可以了”來理解“不定性” 活動(dòng)建議方案s不定方程的背后活動(dòng)建議方案一、活動(dòng)流程框圖課題引入卡車運(yùn)煤問題幾個(gè)趣味問題二、活動(dòng)過程2.1活動(dòng)任務(wù)學(xué)生通過小組合作解決一些二元一次不定方程問題，理解不定方程的概念，認(rèn)識(shí)到方程的實(shí)質(zhì)是表示了不同量之間的等量關(guān)系，在數(shù)學(xué)中可以借助方程等式變形手段完成這些量間的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題本探究子主題設(shè)計(jì)以下兩個(gè)活動(dòng)：2.2活動(dòng)1：

4、卡車運(yùn)煤問題活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)出示問題情境（卡車問題，見媒體資源），請(qǐng)同學(xué)解決第二步：分組探究小組對(duì)上述問題進(jìn)行探究，可以給出如下小組建議：第一，每位同學(xué)首先獨(dú)立思考，然后把自己解決問題的方法、困惑和啟示與小組交流；第二，試著把卡車問題用方程表示，比較這一方程與前面學(xué)習(xí)的方程的聯(lián)系與區(qū)別，思考這類方程的解法；第三，各組記錄自己的探究過程，特別是同組同學(xué)有爭議或者最有啟發(fā)的地方，與全班交流第三步：集體交流選擇12個(gè)小組的同學(xué)匯報(bào)自己的探究結(jié)果，全班討論，老師帶領(lǐng)全班同學(xué)做出總結(jié)，建議從如下幾個(gè)方面做出總結(jié)：第一，不定方程的概念：象上面方程那樣，如果一個(gè)方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)，這樣的方程叫

5、做不定方程，最早對(duì)不定方程進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)家是丟番圖，所以不定方程又叫做丟番圖方程第二，不定方程的作用：一個(gè)不定方程的作用在于未知量之間的關(guān)系表達(dá)了出來，第三，二元不等方程的解：對(duì)于一個(gè)二元一次不等方程來說，給出其中一個(gè)未知量的值，就可以得到另一個(gè)量的值，兩者之間是一一對(duì)應(yīng)的，兩個(gè)值共同構(gòu)成了一個(gè)二元一次不等方程的解；在許多情形下，我們經(jīng)常用特定的方法（如列舉法）得到符合現(xiàn)實(shí)要求的不定方程的解參考資料1不定方程在方程（組）中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的方程（組）叫做不定方程（組）由于第一個(gè)大量研究不定方程的數(shù)學(xué)家是丟番圖，所以不定方程又叫做丟番圖方程如方程“”就是一個(gè)不定方程，對(duì)于每一個(gè)y 的值

6、，x必有一個(gè)相應(yīng)的值與它對(duì)應(yīng)如y=1時(shí)，x=2；y=2時(shí)，x=0.5，可見，不定方程的解有無窮多組2最早的不定方程世界上最早提出不定方程的，是我國古代的數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)西方數(shù)學(xué)界傳統(tǒng)認(rèn)為，最早研究不定方程的是巴比倫人丟番圖事實(shí)上，他要比九章算術(shù)晚兩百多年九章算術(shù)“方程”部分內(nèi)提出這樣一個(gè)問題：“今有五家共井，甲二綆不足如乙一綆；乙三綆不足如丙一綆；丙四綆不足如丁一綆；丁五綆不足如戊一綆；戊六綆不足如甲一綆；各得所不足一綆皆逮問：井深綆長各幾何？”意思是說五家人共用一井，甲用繩量井深，繩子的二倍尚不夠，所缺恰好等于乙繩長，乙用繩子的三倍尚不夠，所缺恰與丙之繩長一致，依次類推，問井深繩子各多少這事

7、實(shí)上就是一個(gè)不定方程，如果我們分別設(shè)甲、乙等繩長為x、y，就得到一個(gè)五元一次方程組：2x+y = 3yz = 4z+w=5w十u=6ux這個(gè)方程組的答案不難得到九章算術(shù)原書附有答案：井深七丈二尺一寸，甲乙丙丁戊綆長分別為二丈六尺五，一丈九尺一，一丈四尺八，一丈二尺九，七尺六寸活動(dòng)組織方式活動(dòng)主要采用小組合作探究的方式教師提出活動(dòng)任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果活動(dòng)評(píng)價(jià)方式活動(dòng)主要采用小組合作探究的方式教師提出活動(dòng)任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流、總結(jié)，師生共同

8、提煉探究結(jié)果所需學(xué)習(xí)資源不定方程.doc卡車問題.swf巧裝乒乓球.jpg巧裝乒乓球（答案）.doc如何選用汽車.jpg如何選用汽車（答案）.doc所需學(xué)習(xí)時(shí)間15分鐘2.3活動(dòng)2：幾個(gè)趣味問題活動(dòng)內(nèi)容第一步：提出探究任務(wù)出示幾個(gè)趣味：租船問題、蟋蟀與蜘蛛問題、百雞問題（見媒體資源），請(qǐng)同學(xué)解決第二步：分組探究小組對(duì)上述問題進(jìn)行探究，可以給出如下小組建議：第一，每位同學(xué)首先獨(dú)立思考，然后把自己解決問題的方法、困惑和啟示與小組交流；第二，試著每個(gè)問題用不定方程表示，根據(jù)實(shí)際情形給出答案，試著總結(jié)解決這類方程的方法；第三，百雞問題與另外兩個(gè)問題相比有何不同，解題方法能否從前面的問題中獲得借鑒；第四

9、，各組記錄自己的探究過程，特別是同組同學(xué)有爭議或者最有啟發(fā)的地方，與全班交流第三步：集體交流選擇23個(gè)小組的同學(xué)匯報(bào)自己的探究結(jié)果，全班討論，老師帶領(lǐng)全班同學(xué)做出總結(jié)，建議從如下幾個(gè)方面進(jìn)行總結(jié)：第一，二元一次不定方程的解法：可以把一個(gè)未知量通過等式性質(zhì)用另一個(gè)量表示出來；在結(jié)合具體情形寫出所有符合實(shí)際情況的解；第二，三元一次不等方程的解法：與二元一次不定方程的解類似參考資料張邱建與張邱建算經(jīng)張邱建，北魏清河（今邢臺(tái)市清河縣）人,約公元5世紀(jì)，著名的大數(shù)學(xué)家。他從小聰明好學(xué)，酷愛算術(shù)。一生從事數(shù)學(xué)研究，造詣很深。“百雞問題”是中古時(shí)期，關(guān)于不定方程整數(shù)的典型問題，邱建對(duì)此有精湛和獨(dú)到的見解。著

10、有張邱建算經(jīng)3卷。后世學(xué)者北周甄鸞、唐李淳風(fēng)相繼為該書作了注釋。劉孝孫為算經(jīng)撰了細(xì)草。算經(jīng)的體例為問答式，條理精密，文詞古雅，是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，也是世界數(shù)學(xué)資料庫中的一份遺產(chǎn)。張丘建算經(jīng)現(xiàn)傳本有92問，比較突出的成就有最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的計(jì)算，各種等差數(shù)列問題的解決、某些不定方程問題求解等。“百雞問題”是張邱建算經(jīng)中的一個(gè)世界著名的不定方程問題，它給出了由三個(gè)未知量的兩個(gè)方程組成的不定方程組的解。百雞問題是：“今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁母雛各幾何。”張邱建給出的解法也很簡單先進(jìn)，解法只有15個(gè)字：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，

11、即得”這個(gè)解法怎么來的呢？用代數(shù)方法來說明這一點(diǎn)： 設(shè)公雞為x只，母雞y只，小雞z只，則有：變形可得：解得：為了得到正整數(shù)解，令：當(dāng)t=1，2，3時(shí)，即得到三組整數(shù)解：，自張邱建以後，中國數(shù)學(xué)家對(duì)百雞問題的研究不斷深入，百雞問題也幾乎成了不定方程的代名詞，從宋代到清代圍繞百雞問題的數(shù)學(xué)研究取得了很好的成就。張邱建算經(jīng)中的“百雞問題”是世界上首次提出的三元一次不定方程及其一種解法，它是我國乃至全世界古代數(shù)學(xué)史中的一個(gè)奇葩這比歐州發(fā)現(xiàn)和研究這個(gè)問題要早一千多年活動(dòng)組織方式活動(dòng)主要采用小組合作探究的方式教師提出活動(dòng)任務(wù)，并適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)；學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行小組合作探究，完成探究任務(wù)；全班交流

12、、總結(jié)，師生共同提煉探究結(jié)果活動(dòng)評(píng)價(jià)方式所有活動(dòng)都完成后，師、生對(duì)探究活動(dòng)進(jìn)行過程性評(píng)價(jià)和效果性評(píng)價(jià)，包括學(xué)生自評(píng)和教師評(píng)價(jià)學(xué)生完成效果測試，并根據(jù)過程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表和效果測試對(duì)自己的探究過程和結(jié)果進(jìn)行自評(píng)；教師根據(jù)學(xué)生的探究過程、匯報(bào)和交流的情況，并參考學(xué)生自評(píng)的過程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表，以及學(xué)生完成的效果測試的情況對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)所需學(xué)習(xí)資源蜘蛛.jpg蟋蟀.jpg蜘蛛與蟋蟀（答案）.doc租船問題.jpg租船問題（答案）.doc數(shù)字問題.doc如何使錢正好用完.doc百雞問題.swf張邱建算經(jīng).jpg買水果.swf買筆問題.doc宿舍問題.doc所需學(xué)習(xí)時(shí)間25分鐘媒體資源學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)“丟藩都方程”過程性學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)表學(xué)習(xí)效果測試 姓名_用不定方程的方法解決下面各題：1）. 2元和5元紙幣一共有30元，問2元和5元紙幣共多少張？2）. 一個(gè)工人將100顆彈子裝入兩種盒子中，每個(gè)大盒子裝12顆，小盒子裝5顆，恰好裝完，已知盒子數(shù)大于10，兩種盒子各有多少？3）. 一次數(shù)學(xué)競賽準(zhǔn)備了22只鉛筆作為獎(jiǎng)品發(fā)給一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生，原計(jì)劃發(fā)給一等獎(jiǎng)每人6只，二等獎(jiǎng)每人3只，后來改為一等獎(jiǎng)每人9只，二等獎(jiǎng)每人4只，一、二等獎(jiǎng)的