1、項(xiàng)目七 概率論、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與區(qū)間估計(jì)實(shí)驗(yàn)1 概率模型實(shí)驗(yàn)?zāi)康?通過(guò)將隨機(jī)試驗(yàn)可視化, 直觀(guān)地理解概率論中的一些基本概念, 從頻率與概率的關(guān)系來(lái)體會(huì)概率的統(tǒng)計(jì)定義, 并初步體驗(yàn)隨機(jī)模擬方法. 通過(guò)圖形直觀(guān)理解隨機(jī)變量及其概率分布的特點(diǎn). 通過(guò)隨機(jī)模擬直觀(guān)加深對(duì)大數(shù)定律和中心極限定理的理解.基本命令1.調(diào)用統(tǒng)計(jì)軟包的命令<<Statistics進(jìn)行統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的處理, 必須調(diào)用相應(yīng)的軟件包, 首先要輸入并執(zhí)行命令<<Statistics以完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備工作.2.調(diào)用作圖軟件包的命令<<GraphicsGraphics.m用Mathematica作直方圖, 必須調(diào)用

2、相應(yīng)的作圖軟件包, 輸入并執(zhí)行<<Graphics這時(shí)可以查詢(xún)這個(gè)軟件包中的一些作圖命令的用法. 如輸入?BarChart則得到命令BarChart的用法說(shuō)明; 如果沒(méi)有, 則說(shuō)明調(diào)用軟件包不成功, 必須重新啟動(dòng)計(jì)算機(jī), 再次調(diào)用軟件包.實(shí)驗(yàn)舉例頻率與概率例1.1 (高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)) (教材 例1.1) 自高爾頓釘板上端放一個(gè)小球, 任其自由下落. 在其下落過(guò)程中, 當(dāng)小球碰到釘子時(shí)從左邊落下的概率為p, 從右邊落下的概率為碰到下一排釘子又是如此, 最后落到底板中的某一格子. 因此任意放入一球, 則此球落入哪個(gè)格子事先難以確定. 設(shè)橫排共有排釘子, 下面進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn):(1) 取自板

3、上端放入一個(gè)小球, 觀(guān)察小球落下的位置; 將該實(shí)驗(yàn)重復(fù)作5次, 觀(guān)察5次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的共性及每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偶然性;(2) 分別取自板上端放入n個(gè)小球, 取 觀(guān)察n個(gè)小球落下后呈現(xiàn)的曲線(xiàn).作出不同p值下5000個(gè)小球落入各個(gè)格子的頻數(shù)的直方圖, 輸入<<Statistics<<GraphicsGraphicsGaltonn_Integer,m_Integer,p_:=Module,dist=;Forl=1,l<=n,l+,k=0;t=TableRandomBernoulliDistributionp,i,1,m;DoIfti=1,k+,k-,i,1,m;dist=App

4、enddist,k;pp=Frequenciesdist;Histogramdist,BarStyle->RGBColor0,0,1;p=0.15;n=5000;m=20;Galtonn,m,pp=0.5;n=5000;m=20;Galtonn,m,pp=0.85;n=5000;m=20;Galtonn,m,p則輸出圖1.1p=0.15p=0.5p=0.85圖1.1 由圖1-1可見(jiàn): 若小球碰釘子后從兩邊落下的概率發(fā)生變化, 則高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)中小球落入各個(gè)格子的頻數(shù)發(fā)生變化, 從而頻率也相應(yīng)地發(fā)生變化. 而且, 當(dāng)曲線(xiàn)峰值的格子位置向右偏; 當(dāng)曲線(xiàn)峰值的格子位置向左偏.古典概率例1.2

5、(生日問(wèn)題) 美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)別開(kāi)生面的實(shí)驗(yàn): 在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯賽場(chǎng)上, 他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷, 請(qǐng)他們分別寫(xiě)下自己的生日, 結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩同生日. 怎么會(huì)這么湊巧呢?下面我們首先通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬伯格米尼實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)一次舊事重溫(用22個(gè)1365是可重復(fù)隨機(jī)整數(shù)來(lái)模擬試驗(yàn)結(jié)果).(1) 產(chǎn)生22個(gè)隨機(jī)數(shù), 當(dāng)出現(xiàn)兩數(shù)相同時(shí)或22個(gè)數(shù)中無(wú)相同數(shù)時(shí),試驗(yàn)停止并給出結(jié)果;(2) 重復(fù)(1)1000次, 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果并填入下表(補(bǔ)表1-1)中;(3) 產(chǎn)生40,50,64個(gè)隨機(jī)數(shù), 重復(fù)(1),(2). 表1-1r出現(xiàn)同生日次數(shù)出現(xiàn)同生日頻率4890.489

6、0.4768800.880.8919700.970.9709970.9970.997事實(shí)上, 設(shè)隨機(jī)選取r人, 至少有兩人同生日, 則而 輸入命令:<<StatisticsClearp,k;pk_=1-365!/(365-k)!/365k;Plotpk,k,1,100;k=23;Doxj=RandomInteger,1,365,j,1,kb0=Tablexj,j,1,k;j=0;aj=0;Whileaj=0 && k>j,m=j+1;zj+1,m=0;Whilezj+1,m=0&&k>m,zj+1,m+1=Ifb0j+1=b0m+1,1,

7、0;m+;aj+1=Sumzj+1,i,i,j+1,m;j+j,mb0j,b0mbirthdayn_Integer,k_Integer:=Moduleb,c,w,v,DoDoxi,j=RandomInteger,1,365,j,1,k;bi=Tablexi,j,j,1,k;j=0;aj=0;Whileaj=0 && k>j,m=j+1;zj+1,m=0;Whilezj+1,m=0 && k>m,zj+1,m+1=Ifbij+1=bim+1,1,0;m+;aj+1=Sumzj+1,i,i,j+1,m;j+;ci=j;di=m;vi=Sumal,l,1,

8、j;wi=Ifvi=1,1,0i,1,n;ProportionWithAtLeastTwoSame=NSumwi,i,1,n/n;PrintSumwi,i,1,n;PrintProportionWithAtLeastTwoSame;RealProb=Npk;Tablei,vi,i,1,n;b8;Printb8;b8c8,b8d8;n=1000;r=22;birthdayn,r;n=1000;r=40;birthdayn,r;n=1000;r=50;birthdayn,r;n=1000;r=64;birthdayn,r;則輸出所求概率隨人數(shù)r變化的曲線(xiàn)圖(圖1.2).圖1.2幾何概型例1.2 (

9、會(huì)面問(wèn)題) (教材 例1.2) 甲、乙二人約定八點(diǎn)到九點(diǎn)在某地會(huì)面, 先到者等20分鐘離去, 試求兩人能會(huì)面的概率.由于甲、乙二人在0,60時(shí)間區(qū)間中任何時(shí)刻到達(dá)是等可能的, 若以X,Y分別代表甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻, 則每次試驗(yàn)相當(dāng)于在邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域中取一點(diǎn).設(shè)到達(dá)時(shí)刻互不影響, 因此在區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)的可能性只與區(qū)域的面積大小成正比, 而與其形狀、位置無(wú)關(guān). 于是, 會(huì)面問(wèn)題可化為向區(qū)域隨機(jī)投點(diǎn)的問(wèn)題. 所關(guān)心的事件“二人能會(huì)面”可表示為 (圖1.3)于是, 所求概率的理論值為(A的面積)/(的面積)圖1.3下面, 我們作如下模擬試驗(yàn):(1) 模擬向有界區(qū)域投點(diǎn)n次的隨機(jī)試驗(yàn), 取, 統(tǒng)計(jì)每

10、次投點(diǎn)是否落在圖1-2所示區(qū)域A中, 若是則計(jì)數(shù)1次.(2) 改變投點(diǎn)次數(shù)統(tǒng)計(jì)落入?yún)^(qū)域A的次數(shù).輸入meetn_Integer:=Modulex,xk_:=xk=AbsRandomInteger,0,60-RandomInteger,0,60;pile=Tablexk,k,1,n;times=Countpile,x_/;0<=x<=20;Printtimes;frequence=Ntimes/nn=100;meetnn=1000;meetnn=5000;meetnn=10000;meetn則輸出所求結(jié)果, 為方便比較, 將輸出結(jié)果列于表1-2中.表1-2約會(huì)次數(shù)約會(huì)成功次數(shù)約會(huì)成功

11、頻率理論約會(huì)成功概率100580.5810005570.5570.556500028420.56841000055290.5529 從上表結(jié)果可見(jiàn), 當(dāng)約會(huì)次數(shù)越來(lái)越大時(shí), 試驗(yàn)約會(huì)成功頻率與理論約會(huì)成功概率越來(lái)越接近.例1.3（蒲豐投針試驗(yàn)）在平面上面有等距離為的一些平行線(xiàn), 向平面上隨機(jī)投一長(zhǎng)為的針. 求針與平行線(xiàn)相交的概率若以M表示針的中點(diǎn), 以x表示M距離最近平行線(xiàn)的距離,表示針與平行線(xiàn)的交角. 則針與平行線(xiàn)相交的充要條件是滿(mǎn)足于是, 蒲豐投針試驗(yàn)就相當(dāng)于向平面區(qū)域投點(diǎn)的幾何型隨機(jī)試驗(yàn). 此時(shí)由于針與線(xiàn)相交的概率(理論值)為可得當(dāng)投針次數(shù)時(shí), 試驗(yàn)值(針與線(xiàn)相交的頻率)所以有于是, 可

12、用蒲豐投針試驗(yàn)求值.輸入以命令, 進(jìn)行模擬試驗(yàn): buffonn_Integer,L_,a:=Module,times=0;t=; tx=TableRandomReal,0,Pi,i,1,n; ty=TableRandomReal,0,a/2,i,1,n; DoIftyk<=L/2*Sintxk,times+,times,k,1,n; frequence=Ntimes/n;pi=2*L/(frequence*a); t=Appendt,n,times,frequence,2*L/(Pi*a),pi; TableFormt,TableHeadings->None,"n&qu

13、ot;,"times","frequence","P","pi" n=1000;L=1.5;a=4;buffonn,L,an=2000;L=1.5;a=4;buffonn,L,an=5000;L=1.5;a=4;buffonn,L,an=10000;L=1.5;a=4;buffonn,L,a(1) 模擬向平面區(qū)域G投點(diǎn)N次的隨機(jī)試驗(yàn), 若投點(diǎn)落入A則數(shù)1次, 統(tǒng)計(jì)落入?yún)^(qū)域A的次數(shù)就是針與線(xiàn)相交的次數(shù), 計(jì)算針與線(xiàn)相交頻率, 并近似計(jì)算的值.(2) 改變投點(diǎn)次數(shù)N, 重復(fù)(1), 并將計(jì)算結(jié)果填入表1-3中. 表1-

14、3投針數(shù)針與線(xiàn)相交次數(shù)針與線(xiàn)相交頻率針與線(xiàn)相交概率的近似值10002000500010000239476120223830.2390.2380.24040.23830.2387323.1380830151263011983.14729注：值得注意的是這里采用的方法: 建立一個(gè)概率模型, 它與某些我們感興趣的量這里是常數(shù)有關(guān), 然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)試驗(yàn),并通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這些量. 現(xiàn)在, 隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展, 已按照上述思路建立起一類(lèi)新的方法: 隨機(jī)模擬方法.隨機(jī)變量的獨(dú)立性例1.4 常言道,“三個(gè)臭皮匠,頂個(gè)諸葛亮”. 這是對(duì)人多辦法多、人多智慧高的一種先贊譽(yù), 你可曾想到, 它可以從概率

15、的計(jì)算得到證實(shí). 下面我們來(lái)模擬: 利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)提問(wèn), 統(tǒng)計(jì)諸葛亮回答出問(wèn)題的次數(shù)以及三個(gè)“臭皮匠”回答出問(wèn)題的次數(shù)(如表1-4所示). 設(shè)諸葛亮、臭皮匠獨(dú)立解決某問(wèn)題的概率分別為:表1-4提問(wèn)次數(shù)諸葛亮答出次數(shù)臭皮匠甲答出次數(shù)臭皮匠乙答出次數(shù)臭皮匠丙答出次數(shù)臭皮匠答出次數(shù)10010005000928984511384692293465422760516053001839064544事實(shí)上, 若用表示“第i個(gè)臭皮匠獨(dú)立解決某問(wèn)題”, 則事件B“問(wèn)題被解決”可表示為則看! 三個(gè)并不聰明的“臭皮匠”居然能解決90%以上的問(wèn)題, 聰明的諸葛亮不過(guò)如此.<<Statisticszhgln

16、_Integer,p,p1,p2,p3:=Modulek=0,i,t=;t1=TableRandomBernoulliDistributionp,i,1,n;times1=Frequenciest121;t2=TableRandomBernoulliDistributionp1,i,1,n;times2=Frequenciest221;t3=TableRandomBernoulliDistributionp2,i,1,n;times3=Frequenciest321;t4=TableRandomBernoulliDistributionp3,i,1,n;times4=Frequenciest4

17、21;DoIft2i+t3i+t4i=0,k+,k,i,1,n;times=n-k;t=Appendt,n,times1,times2,times3,times4,times;TableFormt,TableHeadings->None,"n","z","a","b","c","total"n=100;p=0.9;p1=0.45;p2=0.55;p3=0.6;zhgln,p,p1,p2,p3n=1000;p=0.9;p1=0.45;p2=0.55;p3=0.6;zhgl

18、n,p,p1,p2,p3n=5000;p=0.9;p1=0.45;p2=0.55;p3=0.6;zhgln,p,p1,p2,p3離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1.5 (二項(xiàng)分布) (教材 例1.3) 利用Mathematica繪出二項(xiàng)分布的概率分布與分布函數(shù)的圖形, 通過(guò)觀(guān)察圖形, 進(jìn)一步理解二項(xiàng)分布的概率分布與分布函數(shù)的性質(zhì).設(shè), 輸入<<Statistics<<GraphicsGraphicsn=20;p=0.2;dist=BinomialDistributionn,p;t=TablePDFdist,x+1,x,x,0,20;g1=BarChartt,PlotRang

19、e->All;g2=PlotEvaluateCDFdist,x,x,0,20,PlotStyle->Thickness0.008,RGBColor0,0,1;t=Tablex,PDFdist,x,x,0,20;gg1=ListPlott,PlotStyle->PointSize0.03,DisplayFunction->Identity;gg2=ListPlott,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity;p1=Showgg1,gg2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,

20、PlotRange->All;則分別輸出二項(xiàng)分布的概率分布圖(圖1.3)與分布函數(shù)圖(圖1.4).圖1.3圖1.4從圖1.3可見(jiàn), 概率隨著的增加,先是隨之增加, 直到達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少. 而從圖1.4可見(jiàn), 分布函數(shù)的值實(shí)際上是的累積概率值.通過(guò)改變與的值, 讀者可以利用上述程序觀(guān)察二項(xiàng)分布的概率分布與分布函數(shù)隨著與而變化的各種情況, 從而進(jìn)一步加深對(duì)二項(xiàng)分布及其性質(zhì)的理解.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)例1.6 (正態(tài)分布) (教材 例1.3) 利用Mathematica繪出正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)以及分布函數(shù)曲線(xiàn), 通過(guò)觀(guān)察圖形, 進(jìn)一步理解正態(tài)分布的概率分布與分布函數(shù)的性質(zhì)

21、. (1) 固定 取 觀(guān)察參數(shù)對(duì)圖形的影響, 輸入<<Statistics<<GraphicsGraphicsdist=NormalDistribution0,1;dist1=NormalDistribution-2,1;dist2=NormalDistribution2,1;PlotPDFdist1,x,PDFdist2,x,PDFdist,x,x,-6,6,PlotStyle->Thickness0.008,RGBColor0,0,1,PlotRange->All;PlotCDFdist1,x,CDFdist2,x,CDFdist,x,x,-6,6,Pl

22、otStyle->Thickness0.008,RGBColor1,0,0;則分別輸出相應(yīng)參數(shù)的正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)(圖1.5)及分布函數(shù)曲線(xiàn)(圖1.6).圖1.5 圖1.6從圖1.5可見(jiàn):(a) 概率密度曲線(xiàn)是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線(xiàn), 即呈現(xiàn)“兩頭小, 中間大, 左右對(duì)稱(chēng)”的特點(diǎn);(b) 當(dāng)時(shí), 取得最大值, 向左右伸展時(shí), 越來(lái)越貼近x軸;(c) 當(dāng)變化時(shí), 圖形沿著水平軸平移, 而不改變形狀, 可見(jiàn)正態(tài)分布概率密度曲線(xiàn)的位置完全由參數(shù)決定, 所以稱(chēng)為位置參數(shù).(2) 固定, 取觀(guān)察參數(shù)對(duì)圖形的影響, 輸入dist=NormalDistribution0,0.52; dist1=Nor

23、malDistribution0,1; dist2=NormalDistribution0,1.52; PlotPDFdist1,x,PDFdist2,x,PDFdist,x,x,-6,6, PlotStyle->Thickness0.008,RGBColor0,0,1,PlotRange->All; PlotCDFdist1,x,CDFdist2,x,CDFdist,x,x,-6,6, PlotStyle->Thickness0.008,RGBColor1,0,0,PlotRange->All;則分別輸出相應(yīng)參數(shù)的正態(tài)分布的概率密度曲線(xiàn)(圖1.7)及分布函數(shù)曲線(xiàn)(圖1

24、.8)圖1.7圖1.8從圖1.7與圖1.8可見(jiàn): 固定, 改變時(shí), 越小, 在0附近的概率密度圖形就變得越尖, 分布函數(shù)在0的附近增值越快; 越大, 概率密度圖形就越平坦, 分布函數(shù)在0附近的增值也越慢, 故決定了概率密度圖形中峰的陡峭程度; 另外, 不管如何變化, 分布函數(shù)在0點(diǎn)的值總是0.5, 這是因?yàn)楦怕拭芏葓D形關(guān)于對(duì)稱(chēng).通過(guò)改變與的值, 讀者可以利用上述程序觀(guān)察正態(tài)分布的概率分布與分布函數(shù)隨著與而變化的各種情況, 從而進(jìn)一步加深對(duì)正態(tài)分布及其性質(zhì)的理解.隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1.7 (教材 例1.5) 設(shè)X,Y相互獨(dú)立, 都服從(0,1)上的均勻分布, 求的概率密度.理論上, 我們可用卷

25、積公式直接求出的密度函數(shù):下面, 我們作如下模擬試驗(yàn):(1) 產(chǎn)生兩組服從(0,1)上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù) 取計(jì)算(2) 用數(shù)據(jù)作頻率直方圖, 并在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出用卷積公式求得的密度函數(shù)圖形作比較.輸入<<StatisticsClearg1,t,t1,t2;t=;n=1000;g1x_:=50*Which0<=x<=1,x,1<=x<=2,2-x,True,0;pic1=Plotg1x,x,0,2,PlotStyle->Thickness0.01,RGBColor0,0,1;t1=RandomArrayUniformDistribution0,

26、1,n;t2=RandomArrayUniformDistribution0,1,n;Dot=Appendt,t1i+t2i,i,n;p1=Histogramt;Showpic1,p1,DisplayFunction->$DisplayFunction;則在同一坐標(biāo)系中輸出所求頻率直方圖與密度函數(shù)的圖形(圖1.9).圖1.9 觀(guān)察方差變化對(duì)正態(tài)分布的影響 例1.8 設(shè)X, Y, Z都是連續(xù)型隨機(jī)變量, 均服從正態(tài)分布: .取, 輸入下列命令語(yǔ)句, 分別產(chǎn)生服從的三組隨機(jī)數(shù), 并畫(huà)出其直方圖. 輸入<<Statisticsn=2000;data1=RandomArrayNorm

27、alDistribution0,1.52,n;Histogramdata1,PlotRange->All;data2=RandomArrayNormalDistribution0,1,n;Histogramdata2,PlotRange->All;data3=RandomArrayNormalDistribution0,0.52,n;Histogramdata3,PlotRange->All;則根據(jù)所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù), 輸出如下直方圖（圖1.101.12）.圖 1.10圖 1.11圖 1.12 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 例1.9 設(shè)B服從上的均勻分布, (A為常數(shù)), X和Y的相關(guān)系數(shù)為

28、. 產(chǎn)生服從的個(gè)隨機(jī)數(shù), 取, 對(duì)應(yīng) ,分別繪出X和Y的散點(diǎn)圖, 觀(guān)察對(duì)散點(diǎn)圖的影響. 輸入命令<<StatisticsClearx, y; n = 50;covara_ := Module,t1 = RandomArrayUniformDistribution0, 2Pi, n;xt_ = Cost; yt_ = Cosa + t;g1 = ParametricPlotxt, yt, t, 0, 2Pi,PlotStyle -> RGBColor1, 0, 0, DisplayFunction -> Identity;txy = TableCost1i, Cosa +

29、 t1i, i, n;g2 = ListPlottxy, PlotStyle -> PointSize0.02,DisplayFunction -> Identity;Showg1, g2, DisplayFunction -> $DisplayFunction;a = 0; covara;a = Pi/3; covara;a = Pi/2; covara;a = Pi; covara;則依次輸出 ,時(shí)的如下散點(diǎn)圖（圖1.13）.圖 1.13 從上述圖形可見(jiàn), 當(dāng)較大時(shí), X和Y的線(xiàn)性關(guān)系較緊密, 特別當(dāng)時(shí), X和Y之間存在線(xiàn)性關(guān)系; 當(dāng)較小時(shí), X和Y的線(xiàn)性關(guān)系較差, 特別

30、當(dāng)時(shí), X和Y不相關(guān). 伯努利定理的直觀(guān)演示 例1.10 (1) 產(chǎn)生個(gè)服從兩點(diǎn)分布的隨機(jī)數(shù), 其中統(tǒng)計(jì)1出現(xiàn)的個(gè)數(shù), 它代表次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻數(shù), 計(jì)算; (2) 將(1)重復(fù)組, 對(duì)給定的, 統(tǒng)計(jì)組中成立的次數(shù)及其出現(xiàn)的頻率. 輸入命令<<Statisticsp=0.5;eps=0.05;m=100;out=;Forn=10,n<=2000,n*=3,t=;dist=;h=0;Fori=1,i<=m,i+,dist=RandomArrayBinomialDistribution1,p,n;na=Frequenciesdist;h=Absna21/n-p;t=App

31、endt,h;times=Countt,x_/;x>=eps;out=Appendout,n,times,Ntimes/m;TableFormout,TableHeadings->None,"n","time","frequence"則輸出 將上述結(jié)果真理成下表形式:n出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的頻率10720.7230540.5490250.25270150.1581000.00從上表可見(jiàn): 隨著的增大, 泊努利實(shí)驗(yàn)中事件的頻率與概率的偏差不小于的概率越來(lái)越接近于0, 即當(dāng)很大時(shí), 事件的頻率與概率有較大偏差的可能性很小, 由實(shí)際推

32、斷原理, 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí), 便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替概率.中心極限定理的直觀(guān)演示例1.11 (教材 例1.6) 本例旨在直觀(guān)演示中心極限定理的基本結(jié)論: “大量獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布近似服從正態(tài)分布”. 按以下步驟設(shè)計(jì)程序:(1) 產(chǎn)生服從二項(xiàng)分布的個(gè)隨機(jī)數(shù), 取, , 計(jì)算個(gè)隨機(jī)數(shù)之和以及; (2) 將(1)重復(fù)組, 并用這組的數(shù)據(jù)作頻率直方圖進(jìn)行觀(guān)察. 輸入<<Statistics<<GraphicsGraphicsm=1000;n=50;p=0.2;t=;dist=;Fori=1,i<=m,i+,dist=RandomArrayB

33、inomialDistribution10,p,n;ysum=CumulativeSumsdist;nasum=(ysumn-10*n*p)/Sqrtn*10*p*(1-p);t=Appendt,nasum;Histogramt,FrequencyData->False;則輸出圖1-14.圖1-14從圖1-14可見(jiàn), 當(dāng)原始分布是二項(xiàng)分布, 比較大時(shí), 個(gè)獨(dú)立同分布的的隨機(jī)變量之和的分布近似于正態(tài)分布.實(shí)驗(yàn)習(xí)題1. (拋硬幣實(shí)驗(yàn)) 模擬拋擲一枚均勻硬幣的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)(可用0-1隨機(jī)數(shù)來(lái)模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果), 取模擬n次擲硬幣的隨機(jī)實(shí)驗(yàn). 記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 觀(guān)察樣本空間的確定性及每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偶然性,

34、 統(tǒng)計(jì)正面出現(xiàn)的次數(shù), 并計(jì)算正面出現(xiàn)的頻率. 對(duì)不同的實(shí)驗(yàn)次數(shù)n進(jìn)行實(shí)驗(yàn), 記錄下實(shí)驗(yàn)結(jié)果,通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)的結(jié)果, 你能得出什么結(jié)論?程序提示:<<Statisticsn=100;t=;Dot=Appendt,RandomInteger,i,n;data=Frequenciest;times=data21;p=Ntimes/n2. (抽簽實(shí)驗(yàn)) 有十張外觀(guān)相同的撲克牌, 其中有一張是大王, 讓十人按順序每人隨機(jī)抽取一張, 討論誰(shuí)先抽出大王.甲方認(rèn)為: 先抽的人比后抽的人機(jī)會(huì)大.乙方認(rèn)為: 不論先后, 他們抽到大王的機(jī)會(huì)是一樣的. 究竟他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)?程序提示:用110的隨機(jī)整數(shù)來(lái)模擬

35、實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 在110十個(gè)數(shù)中, 假設(shè)10代表抽到大王, 將這十個(gè)數(shù)進(jìn)行全排, 10出現(xiàn)在哪個(gè)位置, 就代表該位置上的人模擬到大王.輸入<<Statisticschouqiann_Integer:=Moduletimes,tt,times=TableRandomInteger,1,10,i,n;tt=Frequenciestimes;Printtt;TableNtti1/n,i,1,10n=100;chouqiannn=1000;chouqiannn=5000;chouqiann則分別輸出模擬實(shí)驗(yàn)100次, 1000次, 5000次的結(jié)果, 將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析, 給出分析結(jié)果.注

36、: 理論上, 易證明每個(gè)人抽到大王的機(jī)會(huì)均等.3. (泊松分布) 利用Mathematica在同一坐標(biāo)系下繪出取不同值時(shí)泊松分布的概率分布曲線(xiàn), 通過(guò)觀(guān)察輸出的圖形, 進(jìn)一步理解泊松分布的概率分布的性質(zhì).程序提示:<<Statistics<<GraphicsGraphicsp=1;dist=PoissonDistributionp;t=Tablex,PDFdist,x+1,x,0,20;gg1=ListPlott,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity;gg2=ListPlott,PlotJoin

37、ed->True,DisplayFunction->Identity;p1=Showgg1, gg2;4. (二項(xiàng)分布的正態(tài)分布逼近) 用正態(tài)分布逼近給出二項(xiàng)分布 , 并將得到的近似值與它的精確值比較.程序提示:<<Statistics<<GraphicsGraphicsn=40;p=0.2;dist=BinomialDistributionn,p;t1=Tablex,PDFdist,x,x,0,n;gg1=ListPlott1,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity;gg2=List

38、Plott1,PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity;p1=Showgg1,gg2;t=TablePDFdist,x+1,x,x,0,n;g1=BarChartt,PlotRange->All,DisplayFunction->Identity;dist=PoissonDistributionn*p;t2=Tablex,PDFdist,x,x,0,n;gg1=ListPlott2,PlotStyle->PointSize0.02,DisplayFunction->Identity;gg2=ListPlott2,P

39、lotJoined->True,PlotStyle->Dashing0.02,Thickness0.015;p2=Showgg1,gg2;p=Showp1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All;p3=Showg1,p2,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotRange->All; 在上述程序中, 通過(guò)改變與的值, 可給出用正態(tài)分布逼近各種參數(shù)下二項(xiàng)分布的具體結(jié)果.實(shí)驗(yàn)2 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握利用Mathematica求來(lái)自某個(gè)總體的一個(gè)樣本的樣本均值、中

40、位數(shù)、樣本方差、偏度、峰度、樣本分位數(shù)和其它數(shù)字特征, 并能由樣本作出直方圖.基本命令1.求樣本數(shù)字特征的命令(1) 求樣本list均值的命令Meanlist;(2) 求樣本list的中位數(shù)的命令Medianlist;(3) 求樣本list的最小值的命令Minlist;(4) 求樣本list的最大值的命令Maxlist;(5) 求樣本list方差的命令Variance list;(6) 求樣本list的標(biāo)準(zhǔn)差的命令StandardDeviationlist;(7) 求樣本list的分位數(shù)的命令Quantilelist,;(8) 求樣本list的階中心矩的命令CentralMomentlist,

41、n.2.求分組后各組內(nèi)含有的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的命令BinCounts基本格式為BinCounts數(shù)據(jù),最小值,最大值,增量例如,輸入BinCounts1,1,2,3,4,4,5,15,6,7,8,8,8,9,10,13,0,15,3則輸出4,4,5,1,2它表示落入?yún)^(qū)間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別是4, 4, 5, 1, 2.注: 每個(gè)區(qū)間是左開(kāi)右閉的.3.作條形圖的命令BarChart基本格式為BarChart數(shù)據(jù),選項(xiàng)1,選項(xiàng)2,其中數(shù)據(jù)是,或的形式.而為條形的高度,為條形的中心.在數(shù)據(jù)為的形式時(shí)默認(rèn)條形的中心是.常用選項(xiàng)有BarSpacing數(shù)值1,BarGroupSpacing數(shù)值2.例如, 輸入BarCh

42、art4,1.5,4,4.5,5,7.5,1.10,5,2,13.5,BarGroupSpacing->0.1則輸出如圖2.1的條形圖.圖2.1實(shí)驗(yàn)舉例樣本的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)例2.1 (教材 例2.1) 在某工廠(chǎng)生產(chǎn)的某種型號(hào)的圓軸中任取20個(gè), 測(cè)得其直徑數(shù)據(jù)如下:15.28 15.63 15.13 15.46 15.40 15.56 15.35 15.56 15.38 15.2115.48 15.58 15.57 15.36 15.48 15.46 15.52 15.29 15.42 15.69求上述數(shù)據(jù)的樣本均值,中位數(shù),四分位數(shù);樣本方差,極差,變異系數(shù),二階、三階和四階中心矩;求偏度,

43、峰度,并把數(shù)據(jù)中心化和標(biāo)準(zhǔn)化.輸入<<Statisticsdata1=15.28,15.63,15.13,15.46,15.40,15.56,15.35,15.56,15.38,15.21,15.48,15.58,15.57,15.36,15.48,15.46, 15.52,15.29,15.42,15.69; (*數(shù)據(jù)集記為datal*)Meandata1 (*求樣本均值*)Mediandata1 (*求樣本中位數(shù)*)Quartilesdata1 (*求樣本的0.25分位數(shù), 中位數(shù), 0.75分位數(shù)*)Quantiledata1,0.05 (*求樣本的0.05分位數(shù)*)Quan

44、tiledata1,0.95 (*求樣本的0.95分位數(shù)*)則輸出15.440515.4615.355,15.46,15.5615.1315.63即樣本均值為15.4405,樣本中位數(shù)為15.46,樣本的0.25分位數(shù)為15.355,樣本的0.75分位數(shù)15.56, 樣本的0.05分位數(shù)是15.13, 樣本的0.95分位數(shù)是15.63.輸入Variancedata1 (*求樣本方差*)StandardDeviationdata1 (*求樣本標(biāo)準(zhǔn)差*)VarianceMLEdata1 (*求樣本方差*)StandardDeviationMLEdata1 (*求樣本標(biāo)準(zhǔn)差*)SampleRange

45、data1 (*求樣本極差*)則輸出0.0206050.1435440.01957480.139910.56即樣本方差為0.020605, 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.143544, 樣本方差為0.0195748 樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.13991, 極差為0.56.注: Variance給出的是無(wú)偏估計(jì)時(shí)的方差, 計(jì)算公式為, 而VarianceMLE給出的是總體方差的極大似然估計(jì), 計(jì)算公式為,它比前者稍微小些. 輸入CoefficientOfVariationdata1(*求變異系數(shù).變異系數(shù)的定義是樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比*)則輸出0.00929662輸入CentralMomentdata1,2(*求樣本

46、二階中心矩*)CentralMomentdata1,3 (*求樣本三階中心矩*)CentralMomentdata1,4 (*求樣本四階中心矩*)輸出為0.0195748-0.001000410.000984863 輸入Skewnessdata1(*求偏度,偏度的定義是三階中心矩除以標(biāo)準(zhǔn)差的立方*)Kurtosisdata1(*求峰度,峰度的定義是四階中心矩除以方差的平方*)則輸出-0.3652872.5703上述結(jié)果表明:數(shù)據(jù)(data1)的偏度(Skewness)是-0.365287,負(fù)的偏度表明總體分布密度有較長(zhǎng)的右尾,即分布向左偏斜.數(shù)據(jù)(data1)的峰度(Kurtosis)為2.5

47、703. 峰度大于3時(shí)表明總體的分布密度比有相同方差的正態(tài)分布的密度更尖銳和有更重的尾部. 峰度小于3時(shí)表明總體的分布密度比正態(tài)分布的密度更平坦或者有更粗的腰部.輸入ZeroMeandata1(*把數(shù)據(jù)中心化,即每個(gè)數(shù)據(jù)減去均值*)則輸出-0.1605,0.1895,-0.3105,0.0195,-0.0405,0.1195,-0.0905,0.1195,-0.0605,-0.2305,0.0395,0.1395,0.1295,-0.0805,0.0395,0.0195,0.0795,-0.1505,-0.0205,0.2495輸入Standardizedata1 (*把數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,即每個(gè)數(shù)據(jù)

48、減去均值,再除以標(biāo)準(zhǔn)差, 從而使新的數(shù)據(jù)的均值為0,方差為1*)則輸出-1.11812,1.32015,-2.16309,0.135846,-0.282143,0.832495,-0.630467,0.832495,-0.421472,-1.60577,0.275176, 0.971825,0.90216,-0.560802,0.275176,0.135846, 0.553836,-1.04846,-0.142813,1.73814讀者可驗(yàn)算上述新數(shù)據(jù)的均值為0,標(biāo)準(zhǔn)差為1.作樣本的直方圖例2.2 (教材 例2.2) 從某廠(chǎng)生產(chǎn)的某種零件中隨機(jī)抽取120個(gè), 測(cè)得其質(zhì)量(單位:g)如表2-1所

49、示. 列出分組表, 并作頻率直方圖. 表2-1 200 202 203 208 216 206 222 213 209 219 216 203 197 208 206 209 206 208 202 203 206 213 218 207 208 202 194 203 213 211 193 213 208 208 204 206204 206 208 209 213 203 206 207 196 201 208 207205 213 208 210 208 211 211 214 220 211 203 216206 221 211 209 218 214 219 211 208 221

50、 211 218218 190 219 211 208 199 214 207 207 214 206 217219 214 201 212 213 211 212 216 206 210 216 204220 221 208 209 214 214 199 204 211 201 216 211221 209 208 209 202 211 207 220 205 206 216 213222 206 206 207 200 198輸入 <<Statistics <<Graphicsdata2=200, 202, 203, 208, 216, 206, 222, 21

51、3, 209, 219,216, 203, 197, 208, 206, 209, 206, 208, 202, 203, 206, 213, 218, 207, 208, 202, 194, 203, 213, 211, 193, 213, 208, 208, 204, 206, 204, 206, 208, 209, 213, 203, 206, 207, 196, 201, 208, 207, 213, 208, 210, 208, 211, 211, 214, 220, 211, 203, 216, 221, 211, 209, 218, 214, 219, 211, 208, 221

52、, 211, 218, 218, 190, 219, 211, 208, 199, 214, 207, 207, 214, 206, 217, 214, 201, 212, 213, 211, 212, 216, 206, 210, 216, 204, 221, 208, 209, 214, 214, 199, 204, 211, 201, 216, 211, 209, 208, 209, 202, 211, 207, 220, 205, 206, 216, 213, 206, 206, 207, 200, 198;先求數(shù)據(jù)的最小和最大值. 輸入Mindata2Maxdata2得到最小值190,最大值222.取區(qū)間189.5,222.5,它能覆蓋所有數(shù)據(jù).將189.5,222.5等分為11個(gè)小區(qū)間,設(shè)