1、平面向量練習題集答案典例精析題型一向量的有關概念【例1】 下列命題：向量的長度與的長度相等；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；向量與向量是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯；顯然錯；與是共線向量，則A、B、C、D可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯.故是真命題的只有.【點撥】正確理解向量的有關概念是解決本題的關鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可.【變式訓練1】下列各式：|a|；(ab) ca (bc)；在任意四邊形ABCD中

2、，M為AD的中點，N為BC的中點，則2；a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且a與b不共線，則(ab)(ab).其中正確的個數為() A.1B.2C.3D.4【解析】選D.| a|正確；(ab) ca (bc)； 正確；如下圖所示，=+且=+，兩式相加可得2，即命題正確；因為a，b不共線，且|a|b|1，所以ab，ab為菱形的兩條對角線，即得(ab)(ab).所以命題正確.題型二與向量線性運算有關的問題【例2】如圖，ABCD是平行四邊形，AC、BD交于點O，點M在線段DO上，且=，點N在線段OC上,且=,設=a, =b,試用a、b表示，.【解析】在ABCD中，AC，BD交于點O

3、，所以()(ab)，()(ab).又， ，所以bb×(ab)ab，×(ab)(ab). 所以(ab)(ab)ab.【點撥】向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內任一向量由平面內兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應用，在運用向量解決問題時，經常需要進行這樣的變形.【變式訓練2】O是平面上一點，A、B、C是平面上不共線的三點，平面內的動點P滿足()，若時，則()的值為.【解析】由已知得()， 即()，當時，得()，所以2，即，所以，所以0，所以 ()00，故填0.題型三向量共線問題【例3】 設兩個非零向量a與b不共線.(1)若ab， 2a8b， 3(ab)，求證：

4、A，B，D三點共線；(2)試確定實數k，使kab和akb共線.【解析】(1)證明：因為ab， 2a8b， 3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以， 共線.又因為它們有公共點B，所以A，B，D三點共線.(2)因為kab和akb共線，所以存在實數，使kab(akb)，所以(k)a(k1)b.因為a與b是不共線的兩個非零向量，所以kk10，所以k210，所以k±1.【點撥】(1)向量共線的充要條件中，要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數法的運用和方程思想.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與

5、聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.【變式訓練3】已知O是正三角形BAC內部一點，+2+3=0，則OAC的面積與OAB的面積之比是（）A.B.C.2D.【解析】如圖，在三角形ABC中， 230，整理可得2()0.令三角形ABC中AC邊的中點為E，BC邊的中點為F，則點O在點F與點E連線的處，即OE2OF.設三角形ABC中AB邊上的高為h，則SOACSOAESOECOE ()OE·h，SOABABhAB·h，由于AB2EF，OEEF，所以AB3OE，所以.故選B.總結提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區別，直線平行不包括共線(即重合)的情形，而向量平行

6、則包括共線(即重合)的情形.2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數，使這個實數能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當向量a與b共線同向時，|ab|a|b|；當向量a與b共線反向時，|ab|a|b|；當向量a與b不共線時，|ab|a|b|.典例精析題型一平面向量基本定理的應用【例1】如圖ABCD中,M,N分別是DC，BC中點.已知=a,=b,試用a，b表示，與 【解析】易知，即所以(2ba)， (2ab).所以(ab).【點撥】運用平面向量基本定理及線性運算，平面內任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運用值得仔細領悟.【變式訓練1】已知D為ABC的邊BC上的中點，AB

7、C所在平面內有一點P，滿足0，則等于()A.B.C.1D.2【解析】由于D為BC邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知2，因此結合0即得2，因此易得P，A，D三點共線且D是PA的中點，所以1，即選C.題型二向量的坐標運算【例2】 已知a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若u3v，求x；(2)若uv，求x.【解析】因為a(1，1)，b(x，1)，所以u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1).(1)u3v(2x1，3)3(2x，1)(2x1，3)(63x，3)，所以2x163x，解得x1.(2)uv (2x1，3

8、)(2x，1) (2x1)3(2x)0x1.【點撥】對用坐標表示的向量來說，向量相等即坐標相等，這一點在解題中很重要，應引起重視.【變式訓練2】已知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.則函數y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2的最大值為.【解析】設b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos，sin)(cos ，sin )(a141)2b22(cos，sin)(cos ，sin )2822cos()，所以y的最大值為284. 題型三平行(共線)向量的坐標運算【例3】已知ABC的角A，B，C所對的邊分別

9、是a，b，c，設向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求證：ABC為等腰三角形；(2)若mp，邊長c2，角C，求ABC的面積.【解析】(1)證明：因為mn，所以asin Absin B. 由正弦定理，得a2b2，即ab.所以ABC為等腰三角形.(2)因為mp，所以m·p0，即a(b2)b(a2)0，所以abab.由余弦定理，得4a2b2ab(ab)23ab，所以(ab)23ab40.所以ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C×4×.【點撥】設m(x1，y1)，n(x2，y2)，則mnx1y2x2y1；mnx1x

10、2y1y20.【變式訓練3】已知a，b，c分別為ABC的三個內角A，B，C的對邊，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，且ab10，則ABC周長的最小值為()A.105B.105C.102D.102 【解析】由mn得2cos2C3cos C20，解得cos C或cos C2(舍去)，所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab，由10ab2ab25，所以c275，即c5，所以abc105，當且僅當ab5時，等號成立.故選B.典例精析題型一利用平面向量數量積解決模、夾角問題【例1】 已知a，b夾角為120°，且|a|4，|b|2，求

11、：(1)|ab|；(2)(a2b) ·(ab)；(3)a與(ab)的夾角.【解析】(1)(ab)2a2b22a·b1642×4×2×12，所以|ab|2.(2)(a2b) ·(ab)a23a·b2b2163×4×2×2×412.(3)a·(ab)a2a·b164×2×12.所以cos ，所以.【點撥】利用向量數量積的定義、性質、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓練1】已知向量a，b，c滿足：|a|1，|b|2，cab，且ca，則a與b的

12、夾角大小是. 【解析】由cac·a0a2a·b0，所以cos ，所以120°.題型二利用數量積來解決垂直與平行的問題【例2】 在ABC中，(2，3)， (1，k)，且ABC的一個內角為直角，求k的值.【解析】當A90°時，有·0，所以2×13·k0，所以k； 當B90°時，有·0，又(12，k3)(1，k3)，所以2×(1)3×(k3)0k；當C90°時，有·0，所以1k·(k3)0，所以k23k10k.所以k的取值為，或.【點撥】因為哪個角是直角尚未確定

13、，故必須分類討論.在三角形中計算兩向量的數量積，應注意方向及兩向量的夾角.【變式訓練2】ABC中，AB4，BC5，AC6，求···.【解析】因為2·2·2·(··)(··)(··)·()·()·()···42625277.所以···.題型三平面向量的數量積的綜合問題【例3】數軸Ox，Oy交于點O，且xOy，構成一個平面斜坐標系，e1，e2分別是與Ox，Oy同向的單位向量，設P為坐標平面內

14、一點，且xe1ye2，則點P的坐標為(x，y)，已知Q(1，2).(1)求|的值及與Ox的夾角；(2)過點Q的直線lOQ，求l的直線方程(在斜坐標系中).【解析】(1)依題意知，e1·e2，且e12e2，所以2(e12e2)2144e1·e23.所以|.又·e1(e12e2) ·e1e2e1e20.所以e1，即與Ox成90°角.(2)設l上動點P(x，y)，即xe1ye2，又l，故，即(x1)e1(y2)e2 ·(e12e2)0.所以(x1)(x1)(y2) ·2(y2)0，所以y2，即為所求直線l的方程. 【點撥】綜合利用向量線性運算與數量積的運算，并且與不等式、函數、方程、三角函數、數列、解析幾何等相交匯，體現以能力立意的命題原則是近年來高考的命題趨勢.【變式訓練3】