1、相遇追及問題一、同步知識梳理1、探源我們經常在解決行程問題的過程中用到、三個字母，并用它們來分別代表路程、速度和時間。那么，為什么分別用這三個字母對應這三個行程問題的基本量呢？今天我們就一起了解一下。表示時間的，這個字母代表英文單詞，翻譯過來就是時間的意思。表示速度的字母，對應的單詞同學們可能不太熟悉，這個單詞是，而不是我們常用來表示速度的。表示物理學上的速度。與路程相對應的英文單詞，一般來說應該是，但這個單詞并不是以字母開頭的。關于為什么會用來代表路程，有一個比較讓人接受的說法，就是在行程問題的公式中，代表速度的和代表時間的在字母表中比較接近，所以就選取了跟這兩個字母位置都比較接近的來表示路

2、程。2、關于s、v、t 三者的基本關系速度×時間=路程 可簡記為：s = vt路程÷速度=時間 可簡記為：t = s÷v路程÷時間=速度 可簡記為：v = s÷t3、平均速度平均速度的基本關系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間。二、同步題型分析題型1：簡單行程公式解題【例 1】 韓雪的家距離學校480米，原計劃7點40從家出發8點可到校，現在還是按原時間離開家，不過每分鐘比原來多走16米，那么韓雪幾點就可到校？【解析】 原來韓雪到校所用的時間為20分鐘，速度為：(米/分)，現在每分鐘比原來多走16米，即現在的

3、速度為(米/分)，那么現在上學所用的時間為：(分鐘)，7點40分從家出發，12分鐘后，即7點52分可到學校【例 2】 郵遞員早晨7時出發送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地停留1小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?【解析】 法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉化為時刻。郵遞員到達對面山里需時間：12÷4+8÷5=4.6(小時);郵遞員返回到郵局共用時間：8÷4+12÷5+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小時)郵遞員回到郵局時的時

4、刻是：7+10-12=5(時).郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞員走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小時)，郵遞員是下午7+10-12=5(時) 回到郵局的。【例 3】 一個人站在鐵道旁,聽見行近來的火車汽笛聲后,再過57秒鐘火車經過他面前.已知火車汽笛時離他1360米;(軌道是筆直的)聲速是每秒鐘340米,求火車的速度?(得數保留整數)【解析】 火車拉汽笛時離這個人1360米.因為聲速每秒種340米,所以這個人聽見汽笛聲時,經過了(1360÷340=)4秒

5、.可見火車行1360米用了(57+4=)61秒,將距離除以時間可求出火車的速度. 1360÷(57+1360÷340)=1360÷6122(米)【例 4】 甲、乙兩地相距6720米，某人從甲地步行去乙地，前一半時間平均每分鐘行80米，后一半時間平均每分鐘行60米.問他走后一半路程用了多少分鐘？【解析】 方法一：由于前一半時間與后一半時間的平均速度是已知的，因此可以計算出這人步行的時間而如果了解清楚各段的路程、時間與速度，題目結果也就自然地被計算出來了應指出，如果前一半時間平均速度為每分鐘80米，后一半時間平均速度為每分鐘60米，則這個人從甲走到乙的平均速度就為每分

6、鐘走(80+60)÷2=70米這是因為一分鐘80米，一分鐘60米，兩分鐘一共140米，平均每分鐘70米而每分鐘走80米的時間與每分鐘走60米的時間相同，所以平均速度始終是每分鐘70米這樣，就可以計算出這個人走完全程所需要的時間是6720÷70=96分鐘由于前一半時間的速度大于后一半時間的速度，所以前一半的時間所走路程大于6720÷2=3360米則前一個3360米用了3360÷80=42分鐘；后一半路程所需時間為96-42=54分鐘方法二：設走一半路程時間是x分鐘，則80x+60x=6720，解方程得：x=48分鐘，因為80×48=3840（米）

7、，大于一半路程3360米，所以走前一半路程速度都是80米，時間是3360÷80=42（分鐘），后一半路程時間是48+（48-42）=54（分鐘）.評注：首先，從這道題我們可以看出“一半時間”與“一半路程”的區別在時間相等的情況下，總的平均速度可以是各段平均速度的平均數但在各段路程相等的情況下，這樣做就是不正確的其次，后一半路程是混合了每分鐘80米和每分鐘60米兩種狀態，直接求所需時間并不容易而前一半路程所需時間的計算是簡單的因此，在幾種方法都可行的情況下，選擇一種好的簡單的方法這種選擇能力也是需要鍛煉和培養的三、 課堂達標檢測檢測題1、甲、乙兩地相距100千米。下午3點，一輛馬車從甲

8、地出發前往乙地，每小時走10千米；晚上9點，一輛汽車從甲地出發駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達乙地，汽車每小時最少要行駛多少千米？.【解析】 馬車從甲地到乙地需要100÷10=10小時，在汽車出發時，馬車已經走了9-3=6(小時)。依題意，汽車必須在10-6=4小時內到達乙地，其每小時最少要行駛100÷4=25(千米)檢測題2、兩輛汽車都從北京出發到某地，貨車每小時行60千米，15小時可到達。客車每小時行50千米，如果客車想與貨車同時到達某地，它要比貨車提前開出幾小時？【解析】 北京到某地的距離為：（千米），客車到達某地需要的時間為：（小時），（小時），所以客車要比貨車提

9、前開出3小時。檢測題3、甲、乙兩輛汽車分別從 A、B 兩地出發相向而行，甲車先行三小時后乙車從 B 地出發，乙車出發5 小時后兩車還相距15千米甲車每小時行 48千米，乙車每小時行 50千米求 A、 B 兩地間相距多少千米？【解析】 在整個過程中，甲車行駛了 35= 8=(小時)，行駛的路程為：48× 8 =384(千米)；乙車行駛了 5 小時，行駛的路程為： 50 ×5 =250(千米)，此時兩車還相距15 千米，所以 A 、 B 兩地間相距：38425015 =649(千米)檢測題4、一天，梨和桃約好在天安門見面，梨每小時走千米，桃每小時走千米，他們同時出發小時后還相距

10、千米，則梨和桃之間的距離是多少千米？【解析】 我們可以先求出小時梨和桃走的路程：(千米)，又因為還差千米，所以梨和桃之間的距離：(千米)檢測題5、兩列火車從相距千米的兩城相向而行，甲列車每小時行千米，乙列車每小時行千米，小時后，甲、乙兩車還相距多少千米？【解析】 兩車的相距路程減去小時兩車共行的路程，就得到了兩車還相距的路程：（千米）一、專題精講 例1、 （難度級別 ）(2009年四中入學測試題)在公路上，汽車、分別以，的速度勻速行駛，若汽車從甲站開往乙站的同時，汽車、從乙站開往甲站，并且在途中，汽車在與汽車相遇后的兩小時又與汽車相遇，求甲、乙兩站相距多少？【解析】 汽車在與汽車相遇時，汽車與

11、汽車的距離為：千米，此時汽車與汽車的距離也是260千米，說明這三輛車已經出發了小時，那么甲、乙兩站的距離為：千米例2、 （難度級別 ）有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走75米現在甲從東村，乙、丙兩人從西村同時出發相向而行，在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇. 那么，東、西兩村之間的距離是多少米?a) 甲、丙6分鐘相遇的路程：(米)；甲、乙相遇的時間為：(分鐘)；東、西兩村之間的距離為：(米).二、 專題過關檢測題1、難度級別 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走67.5米，丙每分鐘走75米，甲乙從東鎮去西鎮，丙從西鎮去東鎮，三人同時出發，丙與乙

12、相遇后，又經過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮間的路程有多少米？【解析】 那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+75）×2=270米，這距離是乙丙相遇時間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時間=270÷（67.5-60）=36分鐘，所以路程=36×（67.5+75）=5130米。檢測題2、（難度級別 ）小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間？【解析】 畫一張示意圖：圖中A

13、點是小張與小李相遇的地點，圖中再設置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離：（千米），這段距離也是出發后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是（5.4-4.8）千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是：1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分鐘）.這也是從出發到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要：130÷2=65（分鐘）.從乙地到甲地需要的時間是：13065=195（分鐘）3小時15分.

14、小李從乙地到甲地需要3小時15分.檢測題3、（難度級別 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走65米，丙每分鐘走70米，甲乙從東鎮去西鎮，丙從西鎮去東鎮，三人同時出發，丙與乙相遇后，又經過1分鐘與甲相遇，求東西兩鎮間的路程有多少米？【解析】 那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+70）×1=130米，這距離是乙丙相遇時間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時間=130÷（65-60）=26分鐘，所以路程=26×（65+70）=3510米。檢測題4、（難度級別 ）甲、乙、丙三人行路，甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，丙每分鐘走70米，甲乙從東鎮去西鎮，丙從西鎮

15、去東鎮，三人同時出發，丙與乙相遇后，又經過2分鐘與甲相遇，求東西兩鎮間的路程有多少米？【解析】 那2分鐘是甲和丙相遇，所以距離是（60+70）×2=260米，這距離是乙丙相遇時間里甲乙的路程差所以乙丙相遇時間=260÷（60-50）=26分鐘，所以路程=26×（60+70）=3380米。三、學法提煉一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間（甲的速度+乙的速度）×相遇時間速度和×

16、;相遇時間.一般地，相遇問題的關系式為：速度和×相遇時間=路程和，即二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間（甲的速度-乙的速度）×追及時間速度差×追及時間. 一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差×追及時間，即例如：假

17、設甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(0米)處，乙位于中間5米處，經過時間t后甲乙同時到達終點，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經過時間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時間t內甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時間t追了乙5米三、在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同(2)在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。一、能力培養綜合題（）例1、 小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分走 52 米，小強每分走 70 米，二人在途中的 A 處相遇。若小紅提前 4 分出發，且速度不變，小強每分走 90 米，則兩人仍在

18、 A 處相遇。小紅和小強兩人的家相距多少米？ 【解析】 因為小紅的速度不變，相遇的地點不變，所以小紅兩次從出發到相遇行走的時間不變，也就是說，小強第二次走的時間比第一次少 4 分鐘。（70×4）÷（90-70）=14 分鐘 可知小強第二次走了 14分鐘，他第一次走了 144=18 分鐘； 兩人家的距離：（52+70）×18=2196（米） 例2、 甲、乙兩人沿 400 米環形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加 2 米秒，乙比原來速度減少 2 米秒，結果都用 24 秒同時回到原地。求甲原來的速度。a) 因為相遇前后甲，乙的速

19、度和沒有改變，如果相遇后兩人和跑一圈用 24 秒，則相遇前兩人和跑一圈也用 24 秒。以甲為研究對象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程與以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 米/秒 例3、 (2008年日本小學算術奧林匹克大賽)上午點整，甲從地出發勻速去地，點分甲與從地出發勻速去地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的倍，乙速度不變；點分,甲，乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從地出發時是點 分a) 點分相遇，此時甲距離地的距離是甲走了分鐘的路程，點分時乙到達目的地，說明乙走這段路程花了分鐘，所以乙的速度是甲速度的兩倍，當甲把速

20、度提高到原速的倍時，此時甲的速度是乙速度的倍，甲從相遇點走到點花了分鐘，因此乙原先花了（分鐘），所以乙是點分出發的二、能力點評變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于這種分段變速問題，利用算術方法、折線圖法和方程方法解題各有特點。算術方法對于運動過程的把握非常細致，但必須一步一步來；折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；方程的優點在于無需考慮得非常仔細，只需要知道變速點就可以列出等量關系式，把大量的推理過程轉化成了計算行程問題常用的解題方法有公式法即根據常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包

21、括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；圖示法在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具示意圖包括線段圖和折線圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；比例法行程問題中有很多比例關系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數值更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數值的情況下，只能用比例解題；分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用這時通常把不勻速的運動分為勻速的

22、幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結果結合起來；方程法在關系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設條件關系最多的未知量為未知數，抓住重要的等量關系列方程常常可以順利求解學法升華一、知識收獲1、探源我們經常在解決行程問題的過程中用到、三個字母，并用它們來分別代表路程、速度和時間。那么，為什么分別用這三個字母對應這三個行程問題的基本量呢？今天我們就一起了解一下。表示時間的，這個字母代表英文單詞，翻譯過來就是時間的意思。表示速度的字母，對應的單詞同學們可能不太熟悉，這個單詞是，而不是我們常用來表示速度的。表示物理學上的速度。與路程相對應的英文單詞，一般來說應該是，但這

23、個單詞并不是以字母開頭的。關于為什么會用來代表路程，有一個比較讓人接受的說法，就是在行程問題的公式中，代表速度的和代表時間的在字母表中比較接近，所以就選取了跟這兩個字母位置都比較接近的來表示速度。2、關于s、v、t 三者的基本關系速度×時間=路程 可簡記為：s = vt路程÷速度=時間 可簡記為：t = s÷v路程÷時間=速度 可簡記為：v = s÷t3、平均速度平均速度的基本關系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間。二、方法總結相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,

24、B之間這段路程，如果兩人同時出發，那么相遇路程甲走的路程+乙走的路程甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間（甲的速度+乙的速度）×相遇時間速度和×相遇時間.一般地，相遇問題的關系式為：速度和×相遇時間=路程和，即追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程甲走的路程-乙走的路程甲的速度×追及時間-乙

25、的速度×追及時間（甲的速度-乙的速度）×追及時間速度差×追及時間. 一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差×追及時間，即例如：假設甲乙兩人站在100米的跑道上，甲位于起點(0米)處，乙位于中間5米處，經過時間t后甲乙同時到達終點，甲乙的速度分別為和，那么我們可以看到經過時間t后，甲比乙多跑了5米，或者可以說，在時間t內甲的路程比乙的路程多5米，甲用了時間t追了乙5米在研究追及和相遇問題時，一般都隱含以下兩種條件：(1)在整個被研究的運動過程中，2個物體所運行的時間相同(2)在整個運行過程中，2個物體所走的是同一路徑。二是多人相遇追及問題，即在同一直線上，3個或3個以上的對象之間的相遇追及問題。所有行程問題都是圍繞“”這一條基本關系式展開的，比如我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質也是這三個量之間的關系轉化由此還可以得到如下兩條關系式：多人相遇與追及問題雖然較復雜，但只要抓住這兩條公式，逐步表征題目中所涉及的數量，問題即可迎刃而解三、技巧提煉 只要抓住兩個公式，結合線段圖幫助分析題意。課后作業1、 小白從家騎車去學校，每小時千米，用時小時，回來以每小時千米的速度行駛，需要多少時間？