1、智浪教育普惠英才文庫(kù)第十四講 兩圓的位置關(guān)系 平面上兩個(gè)半徑不等的圓的位置關(guān)系可分為五種情況，如圖344所示利用兩圓圓心距d及兩圓半徑R，r(Rr)這三個(gè)量可以判定兩圓位置關(guān)系：(當(dāng)d=0時(shí)，兩圓又稱(chēng)為同心圓)對(duì)于半徑相等的兩個(gè)圓，在同一平面上的位置關(guān)系只有外離、外切、相交這三種情況我們知道圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條經(jīng)過(guò)圓心的直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸在由兩圓組成的平面圖形中，經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線(xiàn)即為圖形的對(duì)稱(chēng)軸利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，很容易理解和掌握由兩圓所組成的圖形中的許多性質(zhì)如圖345所示O1與O2交于A，B兩點(diǎn)，l為過(guò)O1，O2的直線(xiàn)，則l為兩圓所組成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸由軸對(duì)稱(chēng)性不難得到性質(zhì)：連心線(xiàn)l垂直平

2、分公共弦AB；外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等，即CD=EF；兩條外公切線(xiàn)的夾角被l平分，即1=2 同樣，兩圓外切、外離、內(nèi)切時(shí)的一些性質(zhì)，也可以用軸對(duì)稱(chēng)性去理解和記憶例1 如圖346所示兩圓內(nèi)切于P點(diǎn)，大圓的弦AB切小圓于Q，連結(jié)AP，BP交小圓于C，D，連接PQ交CD于H求證：(2)APQ=QPB分析 若能證出CDAB，則則QCD=2，由AB與小圓切于Q，可知AQC=1，只須證明QCD=AQC證 因?yàn)閮蓤A內(nèi)切于P點(diǎn)，過(guò)P作兩圓的公切線(xiàn)EF，所以PDC=EPC，PBA=EPA，所以PDC=PBA，ABCD從而 (2)連結(jié)CQ，則QCD=2因?yàn)锳B切小圓于Q，所以1=AQC因?yàn)锳BCD，所以AQC=QCD=2，

3、所以 1=2，即 APQ=QPB說(shuō)明 兩圓相切時(shí)，過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)，這是添輔助線(xiàn)常用的方法例2 如圖347所示P的圓心P在O上，O的弦AB所在的直線(xiàn)與p相切于C，若P的半徑為r，O的半徑為R(1)求證：PA·PB=2Rr；(2)O和P的交點(diǎn)D，AD交P于E，若O和P的面積之比為94，且PA=10，PB=4.8，求DE和AE的長(zhǎng)由這四條線(xiàn)所構(gòu)成的三角形能否相似，因此，連接PC，過(guò)A作直徑AF，連接PF，來(lái)證明PCBAPF(2)由兩圓面積為94，可知兩圓半徑之比為32，再利用2Rr=PA·PB=10·4.8可求出兩圓半徑在RtPAC與RtPAF中，可利用勾股定理分

4、別求出AC及PF的長(zhǎng)因?yàn)锳DP=F，所以cosADP=cosF=PFAF連接PE，在等腰PED中，已知PD=PE=r及cosADP，可求出DE，再利用切割線(xiàn)定理AC2=AE·AD，求出AE證 (1)過(guò)A作O的直徑AF，連接PF，PC因?yàn)锳F為O的直徑，所以FPA=90°因?yàn)锳C切P于C，所以PCB=90°又因?yàn)镻BC=F，所以PCBAPF，所以所以PA·PB=2Rr(2)因?yàn)樵O(shè)R=3x，則r=2x因?yàn)镻A·PB=2Rr且PA=10，PB=4.8，所以10×4.8=12x2，所以x=2(舍負(fù))，R=6，r=4因?yàn)镻A=10，PC=4，所

5、以因?yàn)锳F=2R=12，所以連接PD，PE，則PD=PE=r=4，由余弦定理有PE2=PD2+DE2-2PD·DEcosADP，因?yàn)锳C2=AE·AD=AE(AE+DE)，例3 如圖348所示ABC內(nèi)接于O，BAC=75°，AB，AC邊分別交于D，E點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)，交DE延長(zhǎng)線(xiàn)于P點(diǎn)(1)求AB，AC的長(zhǎng)；(2)求APPD的值 分析 (1)在ABC中，已知兩角及一邊，則ABC可解(2)可證明DEBC，則ADEABC，所以，AEAD=ACAB，再利用PADPEA即可求得解 (1)因?yàn)镃=60°，作AHBC于H，所以因?yàn)锽AC=75°，所

6、以BAH=45°因?yàn)锽=45°，所以BH=AH設(shè)(2)因?yàn)镻A切兩圓于A，所以B=SAC=AED，DEBC，ADEABC，從而因?yàn)镻AEPDA，所以 例4 如圖349所示在ABC中，AB=AC，一個(gè)圓內(nèi)切于ABC的外接O于M，并與AB，AC分別相切于P，Q兩點(diǎn)求證：線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)是ABC內(nèi)切圓的圓心分析 注意到所給的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，ABC的內(nèi)心一定在對(duì)稱(chēng)軸AM上，AM與PQ的交點(diǎn)I即為PQ中點(diǎn)，只需證明BI是ABC的平分線(xiàn)即可證 AB=AC且都是O的兩條弦，所以O(shè)點(diǎn)到AB，AC的距離相等，則O在BAC的平分線(xiàn)上又因?yàn)樾A與AB，AC都相切，所以小圓的圓心也在BAC的平

7、分線(xiàn)上，所以小圓的圓心、O點(diǎn)及A點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)且該直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩圓切點(diǎn)M，AM為圖形對(duì)稱(chēng)軸設(shè)AM交PQ于I，由對(duì)稱(chēng)性可知，I為PQ中點(diǎn)因?yàn)锳MPQ，AMBC，所以 QBC設(shè)APQ=2，則ABC=APQ=2連結(jié)MP，MQ，MB，BI，為AM為O直徑，所以PBM=90°，所以P，B，M，I四點(diǎn)共圓所以PBI=PMI=，所以BI平分ABC又因?yàn)锳I平分BAC，所以I為ABC內(nèi)心，所以線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)是ABC內(nèi)切圓的圓心說(shuō)明 析所求證問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)將所證明題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的易證的問(wèn)題另外，要充分利用圖形的基本性質(zhì)，如本題中圖形的軸對(duì)稱(chēng)性在解題中發(fā)揮了很大作用例5 如圖350所示在ABC的

8、各邊向外各作一個(gè)正三角形BCD，CAE，ABF求證：這三個(gè)正三角形的外接圓共點(diǎn)分設(shè) ABF與正ACE的外接圓的另一交點(diǎn)為O，要證明正BCD的外接圓也過(guò)O點(diǎn)，即證明了O，B，D，C四點(diǎn)共圓證 ABF與正ACE的外接圓交于O點(diǎn)，連接OA，OB，OC因?yàn)锳OC+E=180°，AOB+F=180°，E=F=60°，所以 AOC=AOB=120°，BOC=360°-AOC-AOB=120°又因?yàn)镈=60°，所以BOC+D=180°，所以O(shè)，B，D，C四點(diǎn)共圓，即正BCD的外接圓也通過(guò)O點(diǎn)，于是ABF，ACE，BCD的外接圓共點(diǎn)說(shuō)明 若干個(gè)圓共點(diǎn)常用的方法主要有以下兩個(gè)：(1)先證其中兩圓相交(或相切)于某點(diǎn)，然后證明此點(diǎn)在其他圓上，即把共點(diǎn)圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共圓點(diǎn)的問(wèn)題(2)找出某一定點(diǎn)，然后證明該點(diǎn)在各個(gè)所設(shè)圓上(這定點(diǎn)一般為特殊點(diǎn))練習(xí)十四 1如圖351所示O1與O2相交于A點(diǎn)，過(guò)A作直線(xiàn)交O1于C，交O2于B設(shè)M是O1O2的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，求證：MN=M