1、精選優質文檔-傾情為你奉上函數的單調性與導數講義1函數的單調性與其導函數的正負間的關系設函數yf(x)在區間(a，b)內可導，若f(x)>0則f(x)在（a,b）內單調遞增；若f(x)<0則f(x)在（a,b）內單調遞減；若f(x)0恒成立，則f(x)為常數函數。2一般地，如果一個函數在某一范圍內的導數的絕對值較大，說明函數在這個范圍內 ，這時，函數的圖象就比較“ ”；反之，函數的圖象就比較“ ”3利用導數求函數單調區間的基本步驟(1)確定函數f(x)的定義域； (2)求導函數f(x)；(3)由f(x)>0(或f(x)<0)，解出相應的x的取值范圍當f(x)>0時

2、，f(x)在相應的區間上是增函數；當f(x)<0時，f(x)在相應區間上是減函數(4)結合定義域寫出單調區間(2)在某個區間內f(x)>0(f(x)<0)是函數f(x)在此區間內為增(減)函數的充分條件，而不是必要條件如果出現個別點使f(x)0，不會影響函數f(x)在包含該點的某個區間內的單調性例如函數f(x)x3在定義域(，)上是增函數，但由f(x)3x2知，f(0)0，即并不是在定義域內的任意一點處都滿足f(x)>0.可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是：對任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子區間內都不

3、恒等于零利用導數求函數的單調區間需注意的問題(1)討論函數的單調區間時，先要確定函數的定義域； (2)如果一個函數的單調區間不止一個，這些單調區間中間一般不能用“”連接【例1】 求下列函數的單調區間 (1)f(x)x3x；f(x)x2ln x；思路探索 先確定函數的定義域，再對函數求導，然后求解不等式f(x)>0與f(x)<0，并與定義域求交集從而得相應的單調區間 則x(0，)，令y<0，即ex1<0，則x(，0)，yexx1的單調增區間(0，)，單調減區間為(，0)利用導數判斷函數的單調性【例2】 證明：函數f(x)在區間(0，e)上是增函數f(x)，又例3已知f(x

4、)是f(x)的導函數，f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象只可能是()解析從f(x)的圖象可以看出，在區間內，導數遞增；在區間內，導數遞減.即函數f(x)的圖象在內越來越陡峭，在內越來越平緩.題型三已知函數單調性求參數的取值范圍【例4】 已知函數f(x)x2(x0，常數aR)若函數f(x)在x2，)上是單調遞增的，求a的取值范圍根，024×1×3a>0，a>0.a的取值范圍為(，0)題型四用單調性與導數關系證不等式【例5】 (12分)當x0時，證明不等式ln xxx2.則f(x)y<0，即y在(，0)內是減函數函數的單調性與導數講義變式【變式1】 求函

5、數f(x)3x22ln x的單調區間解函數的定義域為(0，)，f (2)f(x)2x(ex1)x2；f(x)；f(x)sin x(1cos x)(0x<2). 【變式2】 試證明：函數f(x)在區間上單調遞減證明f(x)，又x，則cos x<0，xcos xsin x<0，f(x)<0，f(x)在上是減函數變式3 f(x)是函數yf(x)的導函數，若yf(x)的圖象如圖所示，則函數yf(x)的圖象可能是() 【變式4】 (1)已知函數f(x)x3bx2cxd的單調減區間為1，2，求b，c的值(2)設f(x)ax3x恰好有三個單調區間，求實數a的取值范圍解(1)函數f(x)的導函數f(x)3x22bxc，由題設知1<x<2是不等式3x22bxc<0的解集【變式5】 當0x時，求證：xsin xx3.證明設g(x)xsin xx3，x，g(x)1cos xx22.0，xin xx3.【6】 已知a>0，且a1，證明函數yaxxln a在(，0)內是減函數x，0sin xx，解析由導函數的圖象可知，當x<0時，f(x)>0，即函數f(x