1、§66 麥克斯韋氣體速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由氣體的溫度公式可以得出氣體分子的方均根速率。例如在時(shí)，氦氣。氧氣。但我們要注意的是，方均根速率僅是運(yùn)動(dòng)速率的一種統(tǒng)計(jì)平均值，并非氣體分子都以方均根速率運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，處于平衡狀態(tài)下的任何一種氣體，各個(gè)分子均以不同的速率、沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)著。有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它們的速率可以取零到無(wú)窮大之間的任意值。而且由于氣體分子間的相互碰撞，每個(gè)分子的速度也在不斷地改變，所以在某一時(shí)刻，對(duì)某個(gè)分子來(lái)說(shuō)，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在平衡狀態(tài)下，分子

2、的速率分布遵守一個(gè)完全確定的統(tǒng)計(jì)性分布規(guī)律又是必然的。下面我們介紹麥克斯韋應(yīng)用統(tǒng)計(jì)理論和方法導(dǎo)出的分子速率分布規(guī)律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎(chǔ)上導(dǎo)出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)中也導(dǎo)出該規(guī)律。由于技術(shù)條件的限制，測(cè)定氣體分子速率分布的實(shí)驗(yàn)，直到本世紀(jì)二十年代才實(shí)現(xiàn)。1920年斯特恩（O.Stern首先測(cè)出銀蒸汽分子的速率分布；1934年我國(guó)物理學(xué)家葛正權(quán)測(cè)出鉍蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和庫(kù)士（Kusch測(cè)出釷蒸汽分子的速率分布。斯特恩實(shí)驗(yàn)是歷史上最早驗(yàn)證麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)。限于數(shù)學(xué)上的原因和本課程的要求，我們不推導(dǎo)

3、這個(gè)定律，只介紹它的一些基本內(nèi)容。 *麥克斯韋（J. C. Maxwell，18311879）英國(guó)物理學(xué)家，經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動(dòng)理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場(chǎng)和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，這個(gè)理論包括電磁現(xiàn)象的所有基本定律，并預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的電磁學(xué)通論問(wèn)世，這本書(shū)凝聚著杜費(fèi)、富爛克林、庫(kù)侖、奧斯特、安培、法拉第的心血，這是一本劃時(shí)代巨著，它與牛頓時(shí)代的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理并駕齊驅(qū)，它是人類(lèi)探索電磁規(guī)律的一個(gè)里程碑。在氣體動(dòng)理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。一、測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)裝置A 蒸汽源，常用汞蒸汽 BC 速度選擇器D

4、 顯示屏2實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)圓盤(pán)B、C以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過(guò)圓盤(pán)一次，由于分子的速率不一樣，分子由B到C的時(shí)間不一樣，所以并非所有通過(guò)B的分子都能夠通過(guò)C達(dá)到顯示屏D，只有速率滿足下式的分子才能通過(guò)C達(dá)到D即 實(shí)際上當(dāng)圓盤(pán)B、C以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，能射到顯示屏D上的，只有分子射線中速率在vv+v區(qū)間內(nèi)的分子。3實(shí)驗(yàn)結(jié)果當(dāng)圓盤(pán)以不同的角速率轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從顯示屏上可測(cè)量出每次所沉積的金屬層的厚度，各次沉積的厚度對(duì)應(yīng)于不同速率間隔內(nèi)的分子數(shù)，比較這些厚度，就可以知道在分子射線中，在不同速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率，即相對(duì)分子數(shù)。1）分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關(guān)；2）

5、速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常小；3）在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；4）改變氣體的種類(lèi)或氣體的溫度時(shí)，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點(diǎn)。 二、麥克斯韋分子速率分布定律1速率分布函數(shù)令N表示一定量的氣體所包含的總分子數(shù)，dN表示速率分布在vv+dv內(nèi)的分子數(shù)，dN/N表示在這一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。由實(shí)驗(yàn)可知，dN/N與dv成正比，且與速率v有關(guān)，我們把這個(gè)關(guān)系寫(xiě)成如下的形式式中 此函數(shù)能夠定量地反映給定氣體在平衡態(tài)下速率分布的具體情況，我們把這個(gè)函數(shù)稱為速率分布函數(shù)。2麥克斯韋氣體分子速率分布律1859年，麥克斯韋運(yùn)用統(tǒng)計(jì)理論導(dǎo)出氣體分子按速率分布的規(guī)律：當(dāng)氣體

6、處于平衡態(tài)時(shí)，分布在任一速率間隔vv+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為 這個(gè)結(jié)論稱為麥克斯韋速率分布律。式中 m是分子的質(zhì)量；T是熱力學(xué)溫度；k是玻耳茲曼常量。而為 速率分布函數(shù)f(v的物理意義：f(v表示氣體分子在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。或氣體任一分子速率恰在v附近單位速率間隔內(nèi)的幾率。這樣f(v的大小就定量地反映了在溫度T時(shí)，分子按速率分布的具體情況。如果畫(huà)出f(v v的變化曲線，也就是速率分布曲線，如右圖，它與實(shí)驗(yàn)得到的分布結(jié)果吻合。說(shuō)明速率分布函數(shù)是符合實(shí)際的。為了加深地理解，我們作以下說(shuō)明： 1）幾率：在任一速率區(qū)間vv+dv上，取以分布函數(shù)的量值為高，以

7、速率間隔dv為寬的窄條的面積為，也就是分布在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率；或任一分子速率恰在該區(qū)間隔的幾率。2）表示速率分布在v1v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。或說(shuō)任一分子速率恰在v1v2區(qū)間隔的幾率。3）歸一化條件（Normalization Condition） 速率分布曲線下的總面積，表示各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的百分率的總和，即百分之百，應(yīng)等于1。 這個(gè)關(guān)系是由f(v本身的意義所決定的，或者說(shuō)是f(v必須滿足的條件，故稱其為分布函數(shù)的歸一化條件。4）速率分布曲線以速率v為橫軸，以速率分布函數(shù)f(v為縱軸，可作出速率分布曲線。由此曲線可看出，曲線有一極大值，與此極大值對(duì)應(yīng)的速率叫最

8、概然速率（最可幾速率），它的物理意義在下面討論，另外從速率分布曲線的形狀看出：具有很大速率和很小速率的分子的百分比都很小。三、氣體分子的三種統(tǒng)計(jì)速率氣體分子的速率可以在零到無(wú)窮大之間，速率很大和很小的分子的相對(duì)分子數(shù)較小，而具有中等速率的分子所占總分子數(shù)的比率較大。這里討論三種具有代表性的分子的速率，它們是分子速率的三種統(tǒng)計(jì)值。1最概然速率（the most probable speed）1）定義：從f(v與v的關(guān)系曲線圖中可以看出，f(v有一極大值，與f(v的極大值相對(duì)應(yīng)的速率叫做最概然速率，用vp表示。2）物理意義：在一定溫度下，氣體分子分布在最概然速率附近的單位速率間隔內(nèi)的相對(duì)分子數(shù)最大

9、。它的值是由速率分布函數(shù)對(duì)v求一階導(dǎo)數(shù)并令其為零得到，即因而可得用摩爾質(zhì)量表示，有注意：最概然速率并不是最大速率。2平均速率（mean speed）1）定義：大量氣體分子速率的算術(shù)平均值叫做平均速率，用表示。2）計(jì)算：如取dN代表氣體分子在vv+dv間隔內(nèi)的分子數(shù)，則平均速率可由積分計(jì)算由速率分布函數(shù)可得 因而平均速率為考慮到 和積分公式 得平均速率為 用摩爾質(zhì)量表示，有3方均根速率（root-mean-square speed）前面我們?cè)鶕?jù)理想氣體的溫度公式求得了氣體分子的方均根速率，那么用速率分布函數(shù)也可以求得同樣的結(jié)論。由平均值的定義可得。1）定義：速率平方平均值的平方根。2）計(jì)算：對(duì)于氣體分子考慮到 和積分公式 得平均速率為用摩爾質(zhì)量表示，有4關(guān)于三種速率的討論1）三種速率都與溫度的平方根成正比，與質(zhì)量的平方根或摩爾質(zhì)量的平方根成反比溫度高，vp大摩爾質(zhì)量大，vp小2）三種速率的大小順序?yàn)椋?3）三種速率各有不同的含義，也各有不同的意義討論速率分布時(shí)用最概然速率討論分子碰撞時(shí)用平均速率討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用方均根速率例4試求氮?dú)夥肿拥钠骄絼?dòng)動(dòng)能、方均根